8.3正态分布学案-2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8．3　正 态 分 布

1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．

2. 通过具体实例，借助频率直方图了解正态分布的特征．

3. 了解正态分布的“3σ”原则．

活动一  背景引入

前面讨论的二项分布、超几何分布是刻画离散型随机变量分布的数学模型，在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值．这类随机变量就是连续型随机变量．例如，在必修“统计”一章中给出的金属棒长度的样本数据如下：

6.02　6.01　6.04　5.94　5.97　5.96

5.98　6.01　5.98　6.02　6.00　6.03

6.07　5.97　6.01　6.00　6.03　5.95

6.00　6.00　6.05　5.93　6.02　5.99

6.00　5.95　6.00　5.97　5.96　5.97

6.03　6.01　6.00　5.99　6.04　6.00

6.02　5.99　6.03　5.98

你能确定测量一次，其测量的结果在区间(5.97，6.03)上的概率吗？

要解决这样的问题，就要了解随机试验所得数据的分布规律．为此，将这组数据以0.02为组距进行分组，可得频率直方图．

思考1►►►

以上频率直方图有什么特征？如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的折线有什么特征？

 

 

 

活动二  了解正态密度曲线和正态分布的概念

思考2►►►

函数f(x)＝，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．

 

 

1. 正态密度曲线

(1)  正态密度曲线的定义：

函数P(x)＝，x∈R，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称P(x)的图象为正态密度曲线．

(2)  正态密度曲线图象有如下特征：

①曲线位于x轴上方，以x轴为渐近线；

②当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值；

④曲线与x轴之间的区域面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越扁平，总体的分布越分散；σ越小，曲线越尖陡，总体的分布越集中，如图2所示．

   

图1                    图2

2.  正态分布

设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b]，P(a<X≤b)是正态密度曲线下

方和x轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2).