加练21 几何探究之探究性问题-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

几何探究之探究性问题

1．【问题初探】

（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题：

，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系．

（1）小红的做法是：如图2，过点作．

（2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．

请你选择一名同学的做法，写出证明过程．

【归纳总结】

（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．

如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系；

【学以致用】

（3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数．

2．【问题初探】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围；

（1）我们可以用如下的方法解决问题：延长到点E，使，连接，可以判定_________，所以_________，在中，可求出的取值范围是_________，则中线的取值范围是_________；

【类比分析】

（2）如图2，的直角顶点与直角边的中点重合，连接，若，，，求的长．

【方法迁移】

（3）如图3，将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中的直角顶点与的中点重合，边和边交于点，边和边交于点，连接．请判断线段，线段和线段的等量关系，并说明理由．

3．【问题初探】

（1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．

①小聪同学给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，得到与的数量关系，进而求出的度数．

②小慧同学给出另一种解题思路：在上截取，使得，连接，得到与之间的数量关系，进而求出的度数．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

【类比分析】

（2）王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答．

如图，菱形中，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，探究与的数量关系．

【学以致用】

（3）如图，在中，，，，为上一点，满足.为延长线上一点，，与延长线交于点，求的长．

4．【问题初探】

在数学活动课上，王老师提示出了一个问题：如下图1，在平行四边形中，点E在上，点P在上，交于点F，，．