专题四 代数与几何综合题-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

口中考宝典·数学（广东专用版） 专题四 代数与几何综合题 动点问题 例1，(2022·广东)如图，抛物线y=x2十bx十c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点，A(1,0), AB=4,点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标 248 第四部分题型专题突破 0 动线问题 例2.(2022·北部湾)已知∠MON=a,点A,B分别在射线OM,ON上运动，AB=6. (1)如图1，若α=90°，取AB中点D,点A,B运动时，点D也随之运动，点A,B,D的对应点分别为 A',B',D',连接OD,OD.判断OD与OD'有什么数量关系？证明你的结论； (2)如图2，若α-60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点O与点C的最大距离： (3)如图3，若a=45°，当点A,B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出 △AOB面积的最大值. M D 60 45 0 B B'N 0 N B N 图1 图2 图3 249 口中考宝典·数学（广东专用版） 动面问题 例3.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4)：矩形ABCD的顶 点A与点O重合，AD,AB分别在x轴，y轴上，且AD=2,AB=3. (1)求该抛物线的解析式； (2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动， 同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒(0≤≤ 3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ①当一号时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； ②设以P,N,C,D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大 值；若不存在，请说明理由。 图2 250新爆标中考宠典然学（广东专用版） .设点F的坐标为(x,1), ∴x2-4x十3=1，解得x1=2-√2，x-2+√2， 由22得Q(”) y=2x-2, .点F的坐标为(2一√2,1)和(2十√2,1)： :点P在线段AB上，-3<<1， ②以AP为对角线构造平行四边形， ∴n的取值范围为一6<<2， ,点A,E的纵坐标为0， ∴点F的纵坐标为一1，此时点P,F重合， 则S△aN=S△GrA一S△M阳 不存在这种情况，舍去 =2×(1-2)×4-2×(1-2)×(22) 综上所述，符合条件的F点有两个，即(2一√2,1)和 (2+2,1). =-言a+2+2. 【综合训练】 .当n=一2时，即P(-1,0)时，Sa0最大，最大值 1.解：(1)抛物线y=x十bx十c经过原点O,且对称轴是直 为2. 线x=2, 例2解：(1)OD=OD,证明如下：：∠AOB=a=90°，AB ∴c-0,-台-2，则6=-4,6-0， 的中点为点D,0D=子AB, 抛物线的解析式为y=x2一4x: :D为AB'的中点， (2)设点B(a,a-4a),y=x2-4x=(x-2)2-4, ∠A'OB=a=90°， 点A(2,-4), .OD-A'B'. 则OA2=22+4=20,OB=a2+(a2-4a)2, :AB=A'B',∴OD=OD; AB=(a-2)2+(a2-4a+4)2 ①若OB=OA3+AB,则a+(a一4a)°=20+(a (2)如答图1，取AB的中点T,连接0 OT,CT,OC, 答图1 2)十(a2-4a十4)2， 解得a-2会)减a-号B(停，-）) :以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC, :CT⊥AB,∠ACT=∠BCT=2∠ACB=45,AC= 则直线OB的解析式为y=一号 BC.CT-AT-BT--AB-3. 当x=2时，y=一3， 即P(2,-3),.1=(-3+4)÷1=1: :OT+CT≥OC(当且仅当点T在线段OC上时，等号 ②若AB=OA+OB, 成立)， 则(a-2)3+(a2-4a+4)=20+a2+(a-4a)2, ∴.当O,T,C在同一直线上时，CO最大 解得a-0(会)或a=号B(号号) 在△ACO和△BCO中， AC=BC. 则直线OB的解析式为y一之 :J∠ACO=∠BCO,∴△ACO2△BCO(SAS), CO=CO. 当x=2时，y=1,即P(2,1), .=[1-(-4)]÷1=5: ÷∠A0C-∠B0C=7∠A0B=2×60=30 6③若OA2=AB+0B,则20=(a-2)2+(ad2-4a+4)2+ CT⊥AB,即OT⊥AB,.OB=2BT=2X3=6, d2+(d-4a)2,整理得d-8a2+21a-18=0, ∴.0T=√OB-BT下=35， a3-3a°-5a2+15a+6a-18=0,a(a-3)-5a(a-3)+ ∴0C=0T+CT=3,5+3: 6(a-3)=0,(a-3)(a3-5a+6)=0, (3)如答图2，当点A,B运动到OA (a一3)'(a-2)=0,则a=3或a=2(含)， =OB时，△AOB的面积最大， ∴.B(3,-3),∴.直线OB的解析式为y=一x, 证明如下： 当x=2时，y=-2,即P(2,-2), 以AB为斜边在其右侧作等腰直 ∴.t=[-2-(-4)]÷1=2. 角三角形ABC,连接OC交AB于 个45 综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5. 0 B N 点T,在OT上取点E,使OE= 专题四代数与几何综合题 答图2 BE,连接BE. 例1解：(1)：点A(1,0),AB=4, 由(2)可知，当OC⊥AB时，OC最大，BT=3, 点B的坐标为（一3,0）. ÷当OA=OB时，∠B0C=号∠A0B=号×45- 1 将点A(1,0),B(一3,0)代人函数解析式中，得 0=1+b十C:解得b=2,c=-3, 22.5. 0=9-3b+c, 此时OT最大，△AOB的面积最大， “抛物线的解析式为y=x2十2x一3； OE=BE,∴.∠OBE=∠BOC=22.5° (2)由(1)得抛物线的解析式为y=x2+2x一3， ∴∠BET=∠OBE+∠BOC=45°. 顶点式为y=(x十1)一4，则C点坐标为（一1，一4）， OT⊥AB,.∠EBT=90°-∠BET=45° 由B(一3,0)，C(一1，一4)可求直线BC的解析式为 ∴·∠EBT=∠BET=45°， y=-2x-6. .ET-BT-3,OE=BE=VET+BT=32 由A(1,0),C(一1，-4)可求直线AC的解析式为y= ∴.0T=OE+ET=32+3, 2x-2. PQ∥BC, Sm=号AB:0T=是×6x(3E+3)=9E+9, 设直线PQ的解析式为y=一2x十，与x轴交于点 综上，当点A,B运动到OA=OB时，△AOB的面积最 P(0) 大，△AOB而积的最大值为9√2+9. 24 参考著来 例3解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x一2)2十4， O(0,0)在抛物线上， 11,解：根据题意得甲的工作效率为日，乙的工作效率为方， .0=a(-2)2十4，解得a=-1, 1 ∴.所求抛物线的解析式为y=一(x一2)产十4= 所以甲、乙两人一起完成这项工程所需时间为上十工 a -x2+4x; (2)0当=号时，点P的坐标为（受，号）】 . ,M(2,4),E(4,0),设直线ME的解析式为y=kx十b, 12.解：原式= ÷() (a-3)* 则日二得伦 b=8, -+ a-2 .直线ME的解析式为y=一2x十8， =a-3) a-2 当x-受时y-3≠号“点P不在直线ME上： (a+3)(a-3) ②0<t<3时，点P的坐标为(t,),N(t,-t+4t), 3 a+3 .|PN|=-+3t, 解不等式“号<1，得a<3, S=Samw+Sam=21CDI·ADI+21PNI·l 其中正整数有1,2,3. AD1=×3×2+2(-i+30×2=-f+3+3= 由题意得：a≠2、士3， (2)'+是 当a=1时原式-号一是 第4课时二次根式 ∴当=号时S有最大值头。 1.A2.C3.D4.B5.A6.247.>8.A 9.13或7 10.解：原式=x2+2xy十y-2xy 课后巩固作业答案 =(x+y)2-2xy Dooooooo-o0 =[(2+3)+(2-/3)]-2(2+3)(2-3) 第一章数与式 =4°-2 第1课时实数 =14. 1.A2.B3.B4.B 11.2024 5.解：原式=2-厅+2×号-1 第二章方程（组）与不等式（组） 第5课时一次方程（组）及其应用 =2-√5+3-1 1.C2.C3.A4.C5.D6.47.B8.C9.±√5 =1. 10.解：(1)设A种台灯购进x盏，B种台灯购进y盏， 6.17.B8号82器 40+65y-250.解得二0， 根据题意得工十)=50， 1y=20. 第2课时整式与因式分解 答：A种台灯购进30盏，B种台灯购进20盏 1.B2.A3.B4.D5.36.y-1 (2)1300 7.D8.(a-1)1 9.解：原式=[4a2十4ab+b一(4a2-6)]÷2b=(4a+4ab十 11.解：(1)/203x+167y=1786…①， 200x+164y=1762…②. b2-4a2+b)÷2b=(4ab+2b)÷2b=2a+b. ①一②，得3x+3y=24,即x+y=8…③ 当a=2,b=一1时，原式=2×2一1=3. ③×200，得200x+200y=1600…④. 10.解：(1)246(2)1og4+log16=1og64 ④-②，得36y=-162,解得y=-4.5. (3)猜想log,M十1og,N=1og,(MN). 将y=-4.5代入③，得x=12.5. 证明：设logM=b,logN-b,则as=M,a=N, 故可得MN=a·aA=at,b十b,=log(MN), ·原方程组的解为=12.5， 1y=-4.5. log.M+log.N=log.(MN). 第3课时分式 (2)/a+2x+(a+1)y-a…①， 1(b+2)x+(b+1)y=b…②. 1.A2.D3.C4.x≠35.x-1 ①-②，得(a-b)x十(a一b)y=a一b,即x+y=1③. 6解：原式-。吊·a+D-卫+ ③×(a十2)，得(a+2)x+(a+2)y=a+2…④. a ④-①，得y=2.将y=2代人③，得x=-1. -+ 六原方程组的解为二。-1， y=2. =1. 第6课时分式方程及其应用 .A8.C9.号 1.D2.B3.C4.-15.x=3 10.解：：a-b-1=0, 6.解：去分母，得4十3(x一4)=一x a-b=1. 去括号，得4+3x-12=-x. :3a-2+3=3a=6+30=3a- 移项、合并同类项，得4x=8,解得x=2 a-2ab+b (a-b)3 检验：把x=2代人x一4，得x一4≠0， -3. .分式方程的解为x=2. 7.C8.C 25