专题三 二次函数与几何图形综合题-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

参考 .∠AEB=90°，在Rt△ABE中， 2x+3), m∠EAD=是-} 则点N(x,-x十3). :DN∥CF, ,AB=20,.BE=12. 器-器-(-+2+3+ 1 【综合训练】 1.解：(1)PC与⊙O相切.理由如下： x-3)=- AB是⊙O的直径，∠ACB=90°， r+ 3 ∴.∠OCB+∠OCA=90°. :-号<0，则距有最大值，此时x- 3图1 ,OA=OC,.∠OCA=∠OAC.,'∠PCB=∠OAC, 2'E下的最大 .∠PCB=∠OCA, 值为号 .∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO (3)如答图2，连接PC,P(1,4),则 =90°， .PC与⊙O相切： PC=2,PB=√20，BC=√18， 2∠ACB=90,mA-78e-安 则△PBC为直角三角形， '∠PCB=∠OAC,∠P=∠P,∴△PBC∽△PCA, tan_PBC-C元=了· PC 1 紧-腮-紧-名PA=8,PB=2 过点Q作QH⊥y轴于点H, H 设点Q(x,-x2+2x+3), 答图2 .AB=6,..OC=OB=3. x 则tan∠HCQ=tana=3-3+x-2x-3可' ,∠0CP=90°，∴OP=VOC+PC=5, :BC/DD△PBCn△oD器-S即号-高 解得x=0或5或一1（舍去0）， 故点Q(-1,0)或(5，-12). .PD=10,.CD=6, 例3解：(1)：一元二次方程ax2十bx十c-0的两根为1 和3， :∠0cD=90,5aam=20c.CD=9, .0A=0C=3,0B=1,.A(3,0),B(1,0),C(0,3), 专题三二次函数与几何图形综合题 设二次函数的表达式y=a(x一1)(x-3), .a(0-1)(0-3)=3,.a=1, 例11)证明y=-宁+受+4中， .y=(x-1)(x-3), 令x=0得y=4,令y=0得工1=-2，x=8, ∴.抛物线的解析式为y=x2一4x十3： .A(-2,0),B(8,0),C(0,4), (2)分两种情况： .OA=2,OB=8,OC=4,AB=10. ①如答图1，当点P为直角顶点时，点P与点B重 ..AC=OA+0C=20,BC=OB+OC=80, 合，则P1(1,0) ∴.AC+BC=100. ,AB=102=100. .AC+BC=AB,.∠ACB=90°， (2)解：设直线BC的解析式为y=kz十b, 将B(8,0,C(0,4)代人可得0=t+6,解 14=b, B(P 答图1 答图2 ②如客图2，当点A为直角顶点时， 6=4, .OA=OC,∠AOC=90°， ∴直线BC的解析式为y=一2x+4 1 ∴.∠OAD2=45°，当∠D2AP:=90°时，∠OAP:=45° .AO平分∠D2AP. 设第一象限D(m:-子+号m十4)则 又，PD3∥y轴，P2D⊥AO 点P,D关于x轴对称， E(m,-豆m+4) 设直线AC的解析式为y=x十b,由题意，得 :DE=(←m+受m+4)-（名m+4)= 1b=3, w+2m.BF-8-m. ,.直线AC的解析式为y=一x十3. 点D在y=一x+3上，点P:在y=x2-4x+3上， DE+BF=(7m+2m)+(8-m）=-子 设D2(x,-x十3)，P(x,x2-4x+3), .(-x十3)十(x2-4x+3)=0, n+8=-(m-2y+9, x2-5x+6=0,.x1=2,x1=3(舍)， .当m=2时，DE十BF的最大值是9. .当x=2时，y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1, 例2解：(1)抛物线的表达式为y=一(x十1)(x一3)=一 P2(2,-1),综上，P(1,0),P(2,-1): x2+2x+3: (3)如答图3，分两种情况考虑： y (2)如答图1，过点D作y轴的平行线交BC于点N, ①以AP为边构造平行四边形， 将点B,C的坐标代入一次函数表达式并解得BC函数 平移直线AP交x轴于点E,交 表达式为y=一x+3, 抛物线于点F, OF=OA=1,则点F(0,1),CF=2,设点D(x,一x2+ :点P的坐标为(2，一1)， 0- 23 答图3 新爆标中考宠典然学（广东专用版） .设点F的坐标为(x,1), ∴x2-4x十3=1，解得x1=2-√2，x-2+√2， 由22得Q(”) y=2x-2, .点F的坐标为(2一√2,1)和(2十√2,1)： :点P在线段AB上，-3<<1， ②以AP为对角线构造平行四边形， ∴n的取值范围为一6<<2， ,点A,E的纵坐标为0， ∴点F的纵坐标为一1，此时点P,F重合， 则S△aN=S△GrA一S△M阳 不存在这种情况，舍去 =2×(1-2)×4-2×(1-2)×(22) 综上所述，符合条件的F点有两个，即(2一√2,1)和 (2+2,1). =-言a+2+2. 【综合训练】 .当n=一2时，即P(-1,0)时，Sa0最大，最大值 1.解：(1)抛物线y=x十bx十c经过原点O,且对称轴是直 为2. 线x=2, 例2解：(1)OD=OD,证明如下：：∠AOB=a=90°，AB ∴c-0,-台-2，则6=-4,6-0， 的中点为点D,0D=子AB, 抛物线的解析式为y=x2一4x: :D为AB'的中点， (2)设点B(a,a-4a),y=x2-4x=(x-2)2-4, ∠A'OB=a=90°， 点A(2,-4), .OD-A'B'. 则OA2=22+4=20,OB=a2+(a2-4a)2, :AB=A'B',∴OD=OD; AB=(a-2)2+(a2-4a+4)2 ①若OB=OA3+AB,则a+(a一4a)°=20+(a (2)如答图1，取AB的中点T,连接0 OT,CT,OC, 答图1 2)十(a2-4a十4)2， 解得a-2会)减a-号B(停，-）) :以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC, :CT⊥AB,∠ACT=∠BCT=2∠ACB=45,AC= 则直线OB的解析式为y=一号 BC.CT-AT-BT--AB-3. 当x=2时，y=一3， 即P(2,-3),.1=(-3+4)÷1=1: :OT+CT≥OC(当且仅当点T在线段OC上时，等号 ②若AB=OA+OB, 成立)， 则(a-2)3+(a2-4a+4)=20+a2+(a-4a)2, ∴.当O,T,C在同一直线上时，CO最大 解得a-0(会)或a=号B(号号) 在△ACO和△BCO中， AC=BC. 则直线OB的解析式为y一之 :J∠ACO=∠BCO,∴△ACO2△BCO(SAS), CO=CO. 当x=2时，y=1,即P(2,1), .=[1-(-4)]÷1=5: ÷∠A0C-∠B0C=7∠A0B=2×60=30 6③若OA2=AB+0B,则20=(a-2)2+(ad2-4a+4)2+ CT⊥AB,即OT⊥AB,.OB=2BT=2X3=6, d2+(d-4a)2,整理得d-8a2+21a-18=0, ∴.0T=√OB-BT下=35， a3-3a°-5a2+15a+6a-18=0,a(a-3)-5a(a-3)+ ∴0C=0T+CT=3,5+3: 6(a-3)=0,(a-3)(a3-5a+6)=0, (3)如答图2，当点A,B运动到OA (a一3)'(a-2)=0,则a=3或a=2(含)， =OB时，△AOB的面积最大， ∴.B(3,-3),∴.直线OB的解析式为y=一x, 证明如下： 当x=2时，y=-2,即P(2,-2), 以AB为斜边在其右侧作等腰直 ∴.t=[-2-(-4)]÷1=2. 角三角形ABC,连接OC交AB于 个45 综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5. 0 B N 点T,在OT上取点E,使OE= 专题四代数与几何综合题 答图2 BE,连接BE. 例1解：(1)：点A(1,0),AB=4, 由(2)可知，当OC⊥AB时，OC最大，BT=3, 点B的坐标为（一3,0）. ÷当OA=OB时，∠B0C=号∠A0B=号×45- 1 将点A(1,0),B(一3,0)代人函数解析式中，得 0=1+b十C:解得b=2,c=-3, 22.5. 0=9-3b+c, 此时OT最大，△AOB的面积最大， “抛物线的解析式为y=x2十2x一3； OE=BE,∴.∠OBE=∠BOC=22.5° (2)由(1)得抛物线的解析式为y=x2+2x一3， ∴∠BET=∠OBE+∠BOC=45°. 顶点式为y=(x十1)一4，则C点坐标为（一1，一4）， OT⊥AB,.∠EBT=90°-∠BET=45° 由B(一3,0)，C(一1，一4)可求直线BC的解析式为 ∴·∠EBT=∠BET=45°， y=-2x-6. .ET-BT-3,OE=BE=VET+BT=32 由A(1,0),C(一1，-4)可求直线AC的解析式为y= ∴.0T=OE+ET=32+3, 2x-2. PQ∥BC, Sm=号AB:0T=是×6x(3E+3)=9E+9, 设直线PQ的解析式为y=一2x十，与x轴交于点 综上，当点A,B运动到OA=OB时，△AOB的面积最 P(0) 大，△AOB而积的最大值为9√2+9. 24口中考宝典·数学（广东专用版） 专题三二次函数与几何图形综合题 线段问题 例1.(2021·泸州)如图，在平面直角坐标系0y中，抛物线y=一+2十4与两坐标轴分别相交 于A,B,C三点. (1)求证：∠ACB=90°： (2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E,交x轴于点F,求 DE+BF的最大值. 244 第四部分题型专题突破 角度问题 例2.(2024·牡丹区模拟)已知抛物线y=一x2+bx+c与x轴交于点A(一1,0)和B(3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，若点F在线段OC上，且OF=OA,经过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D, 与线段BC交于点E,求票的最大值： (3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请直接写出点Q的 坐标 图1 图2 245 口中考宝典·数学（广东专用版） 特殊图形存在性问题 例3.(2024·娄底模拟)如图，已知抛物线y=ax2+bx十c的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的右 侧)，且与y轴交于点C,若OA=OC,一元二次方程a.x+bx十c=0的两根为1和3，点P是该抛物线 上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D. (1)求该抛物线的解析式： (2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标： (3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A,P,E,F为顶点的平行 四边形？若存在，求点F的坐标：若不存在，请说明理由. 246 第四部分题型专题突破 【综合训练】 1.(2024·罗湖区模拟)如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O,它的对称轴是直线x=2,动点P 从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒， 连接OP并延长交抛物线于点B,连接OA,AB. (1)求抛物线的解析式： (2)当△AOB为直角三角形时，求t的值， 247