专题三 与四边形有关的证明与计算-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

口中考宝典·数学（广东专用版） 专题三与四边形有关的证明与计算 1.(2024春·京口区校级期中)如图，在平行四边形ABCD的边AB,CD上分别截取AF,CE,使得AF= CE,连接EF,点M,N是线段EF上两点，且EM=FN,连接AN,CM, (1)求证：AN=CM; (2)若∠CMF=112°，∠CEM=68°，求∠NAF的度数. 2.(2024·东城二模)如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE∥CD,∠ACB=∠DAC,EF⊥AB于 点F,EG⊥AC于点G,EF=EG. (1)求证：四边形AECD是平行四边形： (2)若CD=4,∠B=45°，∠CEG=15°，求AB的长 230 第四部分题型专题突破口 3.(2024·甘肃模拟)如图，在□ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，EF与AC相交于点O,BE=DF, AC=EF. (1)求证：四边形AECF是矩形； (2②)若AE=BE,AB=2,sim∠ACB=号，求四边形ABE0的面积 4.(2024·永州一模)如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交BC, AD边于点E,F,连接AE,CF (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若AB=6,BC=8,求菱形AECF的边长. 231 口中考宝典·数学（广东专用版】 5.(2024·福州模拟)如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边CD,AD上的点，且AE⊥BF,AE=BF. (1)求证：矩形ABCD是正方形； (2)连接BE,EF,若DF=AF·AD,求证：∠DEF=∠ABE. 23220<x≤35 .180°-∠AFC=180°-∠DEA,即∠AFB=∠CED. W=-2x2+200x-3200 ∠AFB=∠CED, 在△ABF和△CDE中，， =-2(x-50)+1800. ∠ABF=∠CDE, ,a=-2<0,∴.开日向下. :对称轴为x=50, △ABFn△CDE,CE=DE' AF BF ,在x≤50时，W随x的增大而增大， x=35时，W量大做=15×90=1350（元）. EEDE-A是-器， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元. ∴，AF=BFCE. 专题二与三角形有关的证明与计算 专题三与四边形有关的证明与计算 类型一 1.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 1.(1)解：AD⊥BC.·∠ADC=90 .CD∥AB,∴.∠AFN=∠CEM, ∠C=25, ,FN-=EM,AF=CE,'.△AFN≌△CEM(SAS), ∠EAF=∠ADC+∠C=90°+25°=115： ∴.AN=CM: (2)证明：在△ABC中，∠B=40°，∠C=25, (2)解：，△AFN≌△CEM,∴.∠NAF=∠ECM .∠CAB=180°-∠B-∠C=115， :∠CMF=∠CEM+∠ECM,.∠ECM+68°=112°， .∠EAF=∠CAB. ∴.∠ECM=44°，∴.∠NAF=44 AE=AC. 2.(1)证明：，∠ACB=∠DAC,.AD∥CE 在△EAF和△CAB中，∠EAF=∠CAB, :AE∥CD,∴.四边形AECD是平行四边形： AF=AB. (2)解：由(1)可知，四边形AECD是平行四边形， .△EAF≌△CAB(SAS) .AE=CD=4. ∴.EF=BC :EF⊥AB,EG⊥AC,∴.∠AFE=∠AGE=90 2.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA. 在R△AFE和R△AGE中，/AE=AE, EF-EG 又∠EAD=180°-∠DAC,∠BCF=180°-∠BCA, ,Rt△AFE≌Rt△AGE(HL),'.∠AEF=∠AEG. ·∠EAD=∠BCF. :∠BFE=180°-90°，∠B=45, 又AE=CF,AD=BC,.△ADE2△CBF: ∴△BFE是等腰直角三角形， (2)由(1)可得△ADE≌△CBF, ∴.BF=EF,∠BEF=45°， ∴∠E=∠F,.ED∥BE .∠FEG=180°-∠BEF-∠CEG=180°-45°-15 3.证明：(1)，BD和CE分别是边AC,AB上的高， =120°， .∠FEB=∠AEC=∠BDA=90°： .∠EAC+∠ACE=9O°=∠BAD+∠ABD: ·.∠AEF=∠AEG=∠FEG=6O, ÷∠ACE=∠ABD,:△ABC△FEB,F=S, ∠EAF=90*-∠AEF=30,BF=EF=2AE=2, (2):由(1)知△AEC∽△FEB, AF=√AE-EF=W√4-2=25， 部-骺瓷 .AB=AF+BF=2√5+2. 又∠AEF=∠CEB=90°，∴.△AEF∽△CEB, 3.(1)证明：在□ABCD中，AD∥BC,AD=BC 能-噩AF·BE=BCE :BE=DF,..AD-DF=BC-BE, 即AF=EC,.四边形AECF是平行四边形. 4.(1)证明：连接BE,如答图 AC=EF,.四边形AECF是矩形， ∠ACB=90°，∠A=30°， (2)解：，四边形AECF是矩形， ∴.∠ABC=90°-30=60° .∠AEB=∠AEC=90°，OA=OC, :DE是AB的垂直平分线， .AE=BE,∴.∠ABE=∠A=30°， AE=BE,AB=2,∴AE=BE-2AB=区， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°. 在Rt△BCE中，BE=2CE, 在Rt△AEC中，sim∠ACB=AE-2 ∴.AE=2CE: (2)解：△BCD是等边三角形，理由如下： AC-号AE-39 2 :DE是AB的垂直平分线，BD-AB 由勾股定理得EC=VAC-AE=四， 2 ∠ACB=90',∠A=30'BC=2AB,.BD=BC :0A=0C,5am=2Sa题=×AE,EC-5 :∠ABC=60°，∴△BCD是等边三角形 5.证明：(1)，'AD∥BC,.∠DAE=∠ACF 而SAE-号BE·AE-L, ∠DAE=∠ACF, 在△DAE和△ACF中，AD=CA, .Smmm+a ∠ADE=∠CAF, 4.(1)证明：四边形ABCD是矩形， .△DAE≌△ACF(ASA),.DE=AF: AD∥BC,∴∠FAO-∠ECO, (2)△DAE2△ACF,∴∠AFC=∠DEA, 点O为AC的中点，OA=OC. 19 新操标中考定典数学（广东专用版） ∠FAO=∠ECO, 在△AOF和△COE中， OA=OC, BF∥DE,BF=DE ∠AOF=∠COE, 题型四满分解答突破 .△AOF≌△COE(ASA),.OE=OF, 专题一 一次函数和反比例函数综合题 ,OA=OC,.四边形AECF是平行四边形 ,EF⊥AC,,四边形AECF是菱形， 例1解：)：A(4,m)为正比例函数y=子x的图象上 (2)解：四边形ABCD是矩形，∠B=90° 一点， ,四边形AECF是菱形，.AE=CE 设菱形AECF的边长为x,则AE=CE=x,BE=8一x, m=是×4=3， 在Rt△ABE中，AB+BE=AE,即62+(8-x)2=x2, 即m的值为3： 解得x-空菱形ABCF的边长为华 (2)①如答图1，当PB=OP时，点P在线段OB的垂 直平分线上，过点P作PD⊥OB于点D, 5.证明：(1)四边形ABCD是矩形， ∴.PD⊥OB,点D是OB的中点， ∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90 ,点P是OA的中点， AELBF, ,AB⊥x轴， ·∠DAE+∠AFB=90°，.∠ABF-∠DAE ∴∠AB0=90°， ∠ABF=∠DAE, 在△ABF和△DAE中， ∠BAF=∠ADE=90°， :.OP-PB-7OA. BF=AE, A(4,3),.0A=5, 答图1 .△ABF2△DAE(AAS), ∴.AB=AD,矩形ABCD是正方形： .OP-PB- (2)如答图， :点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方 由(1)可知，△ABF≌△DAE, 向运动，设点P的运动时间为t(s), ..AF=DE. :正方形ABCD, 0p=2,2=号 ∴AD=DC=BC=AB,∠D=∠C=90° 4==1.250. AB∥CD,∴.DF=CE. 答图 即t的值为1.25： DP-AF AD ②当OP=OB时，如答图2， 0 '∠FDE=∠BCE=9O°，.△FDE∽△BCE, OB=4,OP=4. 答图2 ∴∠DEF=∠CEB. :点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方 向运动，设点P的运动时间为t(s), :'AB∥CD,.∠ABE=∠CEB. ,OPm2t,,.2t=4, ∴·∠DEF=∠ABE. 6.(1)证明：选小星：连接BE,如答图1， 1=2(s),即t的值为2 AE∥BD,DE∥BA, ③当BP=BO时， 如答图3，过点B作BH⊥OA于 .四边形ABDE是平行四边形， ∴.AE=BD 点H, 10 B BD=BC,..AE=BC.AE//BC, 1 1 女Saam=z·0A·BH=Z· 答图3 四边形AEBC是平行四边形. AB.OB,AB=3,OB=4,0A=5, :∠C=90°， ∴四边形AEBC是矩形， 六5BH=12,BH=2, 5 .∠EBC=90°， ∴，BE⊥CD: 答图1 选小红：连接CE,BE,如答图2， OH=vO丽-B丽V-(传)-9 AE∥BD,DE∥BA, 0p-20H-号， .四边形ABDE是平行四边形， :点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方 ..AE=BD.AB-=DE. 向运动，设点P的运动时间为t(s), .BD=BC,..AE-BC. ,AE∥BC, B 0P=2,∴21=32 5 四边形AEBC是平行四边形. 答图2 ,∠C=90°，∴四边形AEBC是矩形， 4-治-3.2(0，即的值为32 ∴AB=CE,.DE=CE 综上，t的值为1.25或2或3.2. E (2)BF∥DE,BF=之DE,理由如下： 例2解：(1)：直线y=2x十4与y轴交于点B, 令x=0,得y=4, 证明：如答图3，连接BE,CE, B(0,4),.OB=4, :四边形AEBC是矩形，CF=EF :点C是OB的中点，∴OC=BC=2,∴C(0,2): .BD=BC, B (2)假设存在，设点P的坐标为(m,0)。 .BF是△CDE的中位线， 答图3 因为∠BAP确定，所以△ABP是直角三角形需分2 种情况分析： 20