精品解析：四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

绵阳南山中学2025年春季高二下半期考试试题 数学 命题人：刘盟 审题人：周瑞 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页，答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将准考证号准确填涂在“考号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 令得，令得可解得. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故选：A 2. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的概念可得结果. 【详解】. 故选：D. 3. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用推出关系去判断充要关系即可. 【详解】当时，是等差数列，不是等比数列， 当既是等差数列又是等比数列，则， 故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象分析点处的切线斜率、区间单调性，即可得. 【详解】由图知，故曲线在点处的切线斜率等于零，故A错； 由图知，在上，则在上单调递增， 在上，且仅有，则在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，在处取得极大值，故B、C错； 又所以函数在区间上单调递减，故D对. 故选：D. 5. 等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，可得出的值，由此可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故， 因此，. 故选：C. 6. 函数在处有极值为7，则 A. -3或3 B. 3或-9 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】题意说明，，由此可求得 【详解】， ∴，解得或， 时，，当时，，当时，，是极小值点； 时，，不是极值点． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点． 7. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第28项为（ ） A. 735 B. 733 C. 731 D. 729 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合累加法，求得，进而得到数列的第28项的值，得到答案. 【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：， 即， 可得， 所以 ， 所以. 故选：C. 8. 已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数可求得的单调性及在，上的取值情况，再根据题意可得或，由此建立关于的不等式组，解出即可． 【详解】， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 且， 又对任意的，，都存在唯一的，，使得成立， 或， 又，，故， ，解得． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则可判断AB选项；利用导数的求导法则可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项， ，D错. 故选：AC. 10. 已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据转化到，进而可知数列是以为首项，公比为的等比数列，并写出通项公式及求和公式，即可判断选项正误. 【详解】解：，① ，② 两式作差得：，， ，，即， ，. 数列是以为首项，公比为的等比数列， 则，. 由上述内容可知，选项A，C正确. 当时，，则选项B错误. ，，， 数列是首项为的等比数列. 则数列前项和为，则选项D正确. 故选：ACD. 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于CD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可. 【详解】A选项：因为，可知在上单调递增， 且，则，所以，A正确； B选项：因为，且，则，即， 因为在上单调递增，所以，B正确； C选项：令，则， 可知在上单调递增， 因为，所以，即， 又因为，则，可得， 所以，C错误； D选项：由C可知，且， 则， 令 当单调递增，所以，所以， 所以， 所以，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案直接填在答题卷中的横线上. 12. 已知是公差不为的等差数列，且，，成等比数列，则该等比数列的公比为________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，因，，成等比数列，则，据此可得答案. 【详解】设，则，， 又，，成等比数列，则，又， 则，则公比为. 故答案为：2. 13. 若函数在内有最小值，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】确定函数定义域，利用导数判断函数单调性，确定极值点，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为， ， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则在时取极小值，也即最小值， 又函数在内有最小值，故， 解得，即实数的取值范围是， 故答案为： 14. 已知数列的前n项和为，，且，若，则______． 【答案】25 【解析】 【分析】由已知列举的前9项，得出其规律，再计算即可. 【详解】当时，，，，，，，，，， 则数列从第6项开始，数列为周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7． 因为；所以，由，，得， 所以，所以． 故答案为：25． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中， （1）求的值； （2）求数列的通项公式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推公式求解； （2）利用等差数列的通项公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列， 所以， 所以. 16. 已知函数. （1）过点作曲线的切线，求此切线的方程； （2）若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设过点与曲线相切的切线的切点为，根据导数的几何意义可得出关于的等式，解出的值，可得出切点坐标，进而可得出所求切线的方程； （2）求得，利用导数分析该函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 由题，设过点与曲线相切的切线的切点为， 则切线斜率或， 所以切点为或， 当切点为时，切线斜率为，则切线方程为； 当切点为时，切线斜率为，则切线方程为，即. 综上，所求切线方程为或； 【小问2详解】 令，， 由得或；由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 在处取得极大值，在处取得极小值. 又有三个不同的实根，所以， 解得，所以实数的取值范围是. 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 【答案】（1） 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2） （3） 当时，，， 令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又因为，且， 所以存在唯一的，使得，即.① 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以是在上唯一的极小值点. 则，由①可知. 【解析】 【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （2）由已知不等式结合参变分离得出对任意恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围； （3）当时，利用导数分析函数的单调性，利用极值点与导数的关系结合零点存在定理可证得在上存在唯一的极小值点，并可得出，再结合二次函数的基本性质可证得. 【小问1详解】 因为，其中，. ①当时，恒成立，增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立 令，则，其中， 由可得；由可得. 所以，函数的减区间为，增区间为. 所以，即，故的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 若数列满足，，. （1）比较与的大小； （2）求证：； （3）求证：时，. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作差得，其中，构造函数，利用导数分析该函数在上的单调性，即可得出与的大小关系； （2）先验证不等式在、时成立，然后利用数学归纳法结合导数可证得结论成立； （3）由（1）得，所以，然后利用放缩法结合等比数列求和公式可证得结论成立. 【小问1详解】 由，则，， 令，，可得， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以，所以，即. 【小问2详解】 ①，当时，，； ②假设对于任意时不等式成立，即，由于， 令，，可得，令，可得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 因为，，所以，所以，其中， 又由，所以，所以， 所以， 由数学归纳法得：当时，成立. 所以. 【小问3详解】 由（1）知：，所以， 所以， 综上可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学2025年春季高二下半期考试试题 数学 命题人：刘盟 审题人：周瑞 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页，答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将准考证号准确填涂在“考号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数处取得极大值 D. 函数在区间上单调递减 5. 等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在处有极值为7，则 A. -3或3 B. 3或-9 C. 3 D. -3 7. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第28项为（ ） A. 735 B. 733 C. 731 D. 729 8. 已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（ ） A B. C. 数列是等比数列 D. 数列的前项和为 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案直接填在答题卷中的横线上. 12. 已知是公差不为的等差数列，且，，成等比数列，则该等比数列的公比为________. 13. 若函数在内有最小值，则实数的取值范围是________. 14. 已知数列前n项和为，，且，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中， （1）求的值； （2）求数列的通项公式 16. 已知函数. （1）过点作曲线的切线，求此切线的方程； （2）若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列前项和． 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 19. 若数列满足，，. （1）比较与的大小； （2）求证：； （3）求证：时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $