专题03 不等式的基本性质 （讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第3个专题集合。本专题涵盖比较实数的大小、不等式性质的应用等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 不等式的基本性质（讲义） 1.实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 3.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_ __； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c _b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac __bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_ __bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 【考点1】通过考查不等式的性质来比较大小 1．(2022河北）设为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【考点2】通过考查指数函数、对数函数的单调性，不等式的性质来比较大小 2．(2024河北）设，，那么（ ） A. B. C. D. 3．(2023河北）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4．(2021年河北）设为实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【考点3】通过考查三角函数的单调性，不等式的性质来比较大小 5．(2020河北）若，则下列式子恒成立的是（ ） A. B. C. D. 知识点1 比较实数的大小 1．已知则的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法判断 2．设，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．a，b两数在数轴上的对应点的位置如图，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．满足不等式的所有正整数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如果，，则（   ）0 A． B． C． D．无法判断 6. 下列大小关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 8. 设x是任意的实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9. 若，，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10. 若a为任意实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点2 不等式性质的应用 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知为实数，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 4．已知，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如果且，则与的关系是（    ）. A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 6．若实数，满足，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 8．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知a，b满足且，则的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第3个专题集合。本专题涵盖比较实数的大小、不等式性质的应用等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 不等式的基本性质（讲义） 1.实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 3.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 【考点1】通过考查不等式的性质来比较大小 1．(2022河北）设为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质解答即可. 【详解】由于，不妨设，， 此时，选项、、都错误； 选项由不等式性质可知，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号改变方向，因此正确. 故选： 【考点2】通过考查指数函数、对数函数的单调性，不等式的性质来比较大小 2．(2024河北）设，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质和对数的概念，结合赋值法，即可求解. 【详解】选项A：当时，，错误， 选项B：令，满足和，则，错误， 选项C：令，，不满足对数真数正数，错误， 选项D：因为和，根据不等式的加法性质，得到，正确， 故选：D 3．(2023河北）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质和指数函数，对数函数的单调性逐个分析即可. 【详解】A选项，当时，则有，所以A错误. B选项，当时，则有，所以B错误. C选项，由于为增函数，且，则，所以C正确. D选项，由于为增函数， 当时，，且， 则，所以D 错误 故选：C. 4．(2021年河北）设为实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质和对数函数的定义域即可求解. 【详解】对于A，，因为且， 所以，故A正确； 对于B，当时，则无意义，故B错误； 对于C，当时，无意义，故C错误； 对于D，若，满足，此时，显然，故D错误. 故选：A. 【考点3】通过考查三角函数的单调性，不等式的性质来比较大小 5．(2020河北）若，则下列式子恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据赋值法，幂函数的单调性和正余弦特殊值分析选项即可. 【详解】A：，令，，则，，，故A错误， B：在上为增函数，且，∴，故B正确， C：令，，，，所以，故C错误， D：令，，，，所以，故D错误. 故选：B. 知识点1 比较实数的大小 1．已知则的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】对两数平方，结合不等式的性质即可解得. 【详解】由题得， ， 故选：B. 2．设，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把三个数平方后比较大小，直接得到结果. 【详解】， 因为所以， 故选：A. 3．a，b两数在数轴上的对应点的位置如图，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上的位置关系列出不等式，再由不等式的性质即可解得. 【详解】由数轴可得，且， 选项A：，错误. 选项B：且，则，错误. 选项C：，错误. 选项D：由数轴上点的位置可知，正确. 故选：D 4．满足不等式的所有正整数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】找出满足不等式的正整数即可求解. 【详解】不等式的所有正整数为. 所以有4个正整数满足. 故选：B. 5．如果，，则（   ）0 A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】 根据已知条件，利用不等式的性质即可求解． 【详解】 ∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 6. 下列大小关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作差法比较大小逐项判断即可得解. 【详解】选项，，所以，故错误； 选项，，所以，故错误； 选项，，所以，故错误； 选项，，所以，故正确， 故选：. 7．已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】根据题意，利用作差法，即可判断求解. 【详解】因为， 所以， 即. 故选：B． 8. 设x是任意的实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个式子作差，将差值的大小与0的大小进行比较得出大小关系. 【详解】作差得． 故选：B． 9. 若，，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差比较法比较大小即可. 【详解】，， ， 则； 故选：D. 10. 若a为任意实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，则， 则，； 故选：D. 知识点2 不等式性质的应用 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的性质和特值法判断即可. 【详解】对于A，若，当时， ，故A错误； 对于B，若，，故B正确； 对于C，若，当时，，故C错误； 对于D，若，当时，，故D错误. 故选：B. 2．已知，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得解. 【详解】因为，当时，，故错误； 因为，则，故正确； 因为，则，故错误； 当时，，故错误， 故选：. 3．已知为实数，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】取，可排除A；取，，可排除C；利用不等式的基本性质，可判断B错误，D正确. 【详解】对A选项，当时，此时，故错误； 对B选项，当时，若，则，故错误； 对C选项，取，，满足条件，但，故错误； 对D选项，若，且，则，即，故正确. 故选：D 4．已知，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质判断各个选项. 【详解】根据不等式性质可得，，，， ，所以选项B,C,D错误. 故选:A． 5．如果且，则与的关系是（    ）. A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质即可判断. 【详解】因为且. 所以. 所以. 故选：A. 6．若实数，满足，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质和指数函数的单调性逐个分析即可. 【详解】若实数，满足， 则成立，故A正确， 若，则，故B错误， 因为在为增函数，所以，故C正确， 已知，则，所以，故D正确， 故选：B. 7．已知，，则下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的基本性质逐项判断即可得解. 【详解】∵，， ∴，，， ∴，故选项A不正确； ∵，，∴，， ∴，∴，故选项B不正确； ∵，∴，又∵， ∴，故选项C不正确； ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，故选项D正确． 故选：D. 8．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据赋值法和指数函数的单调性易得答案. 【详解】因为，因为，所以， A：当时，，故错误； B：当时，，故错误； C：因为在R上为增函数，所以，故正确； D：当时，所以，故错误. 故选：C. 9．已知，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质判断各个选项. 【详解】根据不等式性质可得，，，， ，所以选项B,C,D错误. 故选:A． 10．已知a，b满足且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质进行求解即可. 【详解】因为a，b满足且， 所以的取值范围， 即， 即的取值范围是. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$