专题3 函数的奇偶性与周期性（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块3函数中的第3个专题函数的奇偶性与周期性。本专题涵盖函数奇偶性的概念、奇偶性的判断、周期性的概念、最小正周期等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3 函数的奇偶性与周期性（讲义） 知识点1 函数的奇偶性 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 知识点2 函数的周期性 1．周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【考试题型1】利用函数的周期性求函数值及解析式 【例1】（2024年·河南对口升学高考）函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 【考试题型2】证明函数的奇偶性 【例2】（2023年·河南对口升学高考）求证函数为奇函数． 【考试题型3】利用函数的奇偶性求函数表达式 【例3】（2022年·河南对口升学高考）已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 【考试题型4】判断函数的奇偶性 【例4】（2020年·河南对口升学高考）已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【考试题型5】利用函数的奇偶性求参数 【例5】（24-25高三下·河南·模拟预测）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ） A． B．2 C． D．1 题型考点一 判断函数的奇偶性 1．已知函数，则它（       ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 3．下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 4．下列函数中为偶函数的是（       ） A． B． C． D． 5．下列函数中是奇函数的是（       ） A． B． C． D． 题型考点二 奇偶性和单调性的结合 1．若奇函数在上的图象如图所示，则该函数在上的图象可能是（       ） A． B． C． D． 2．如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（       ） A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为 C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为 3．已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 4．已知偶函数在上是增函数，那么它在上是 . 5．若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是 . 题型考点三 利用函数的奇偶性求参数 1． 是偶函数，其定义域为，则等于（       ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（       ） A．4 B． C．7 D． 3．已知函数为偶函数，则（       ） A． B． C． D． 4．函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数m的值． 5．已知函数是上的偶函数，求实数的值． 题型考点四 利用函数的奇偶性求解析式及函数值 1．已知函数是上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（       ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么等于（       ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 3．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 . 4．已知函数是偶函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）求，的值. 5．若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 题型考点五 函数的周期性 1．下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 2．已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=（       ） A． B． C．0 D． 3．已知在上是奇函数，且满足，当时，，则等于（       ） A．-2 B．2 C．-98 D．98 4．已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A．1 B．-1 C．0 D．2 6．已知函数周期为1，且当时，，则 . 7．设函数是定义在上周期为3的奇函数，且，则的值为 . 8．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块3函数中的第3个专题函数的奇偶性与周期性。本专题涵盖函数奇偶性的概念、奇偶性的判断、周期性的概念、最小正周期等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3 函数的奇偶性与周期性（讲义） 知识点1 函数的奇偶性 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 知识点2 函数的周期性 1．周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【考试题型1】利用函数的周期性求函数值及解析式 【例1】（2024年·河南对口升学高考）函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）由，令可得；再由得函数周期为，令可得； （2）因为时，，由函数的周期性可将转化为，再求解的解析式即可. 【解析】 【小问1详解】 函数对任意满足成立， 在中，令， 得，所以 因为 所以．即 所以函数的周期， 令得且 所以，即； 【小问2详解】 由（1）知函数的周期为2， 当时， 所以. 【考试题型2】证明函数的奇偶性 【例2】（2023年·河南对口升学高考）求证函数为奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用奇函数的定义即：定义域关于原点对称且满足，再结合指数幂的运算法则，即可证明. 【解析】证明：对于函数，由分母不为0得，解得， 即该函数的定义域为. 对于任意都有，故定义域关于原点对称. 又∵ ∴函数是奇函数 【考试题型3】利用函数的奇偶性求函数表达式 【例3】（2022年·河南对口升学高考）已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 【答案】 【解析】解：由是奇函数，故有， 即 得，得； 由得，解得， 故. 【考试题型4】判断函数的奇偶性 【例4】（2020年·河南对口升学高考）已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】因为函数为奇函数，函数为偶函数，所以是奇函数， 是偶函数，是奇函数，是偶函数，选项C正确， 故选：C. 【考试题型5】利用函数的奇偶性求参数 【例5】（24-25高三下·河南·模拟预测）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由奇函数的性质可知   a=2， ， 故选：D. 题型考点一 判断函数的奇偶性 1．已知函数，则它（       ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可. 【解析】因为，所以定义域关于原点对称； 又因为， 所以为偶函数. 故选：. 2．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性的判断即可排除AB，根据值域即可排除D. 【解析】对于A, 定义域为R，但是是偶函数，故A错误， 对于B，，所以是非奇非偶函数，B错误， 对于C，定义域为R，但是是奇函数，且值域为R，故C正确， 对于D，中，由于，故值域不为R，故D错误， 故选：C. 3．下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误， 故选：B. 4．下列函数中为偶函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数为奇函数，故A不符题意； 对于B，函数，因为，故函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，函数，因为，所以函数为奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数，故D不符题意， 故选：B. 5．下列函数中是奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 令， 则， 所以为奇函数， 故选：C. 题型考点二 奇偶性和单调性的结合 1．若奇函数在上的图象如图所示，则该函数在上的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的性质即可判断. 【解析】因为奇函数在上图像如图所示， 奇函数的图像关于原点对称，因此奇函数在上的图像可能是 故选：C. 2．如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（       ） A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为 C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为 【答案】B 【分析】根据奇函数关于原点对称且关于原点对称的区间增减性相同判断即可. 【解析】因为奇函数在区间上增函数，所以在区间也为增函数， 因为在区间上的最小值为5，即， 所以，且其为最大值. 故选：B. 3．已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质与单调性可得. 【解析】函数为奇函数，且在区间上单调递增. 在R上单调递增. ． 故选：A． 4．已知偶函数在上是增函数，那么它在上是 . 【答案】减函数 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性的定义判断函数的单调性. 【解析】因为函数为偶函数，又函数在上是增函数， 所以函数在上的单调性与在上的单调性相反， 所以函数在上是减函数. 故答案为：减函数. 5．若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为偶函数在上为增函数，所以在上递减， 因为为偶函数，所以可化为， 所以，即，， 解得，所以实数的取值范围为， 故答案为：． 题型考点三 利用函数的奇偶性求参数 1． 是偶函数，其定义域为，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数定义域的对称性可求，然后结合偶函数的定义，代入可求，进而求得的值. 【解析】因为是偶函数，其定义域为， 所以定义域关于原点对称，即， 可得，所以定义域为， 所以， 由可得： 对于恒成立， 所以，解得， 因此， 故选：. 2．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（       ） A．4 B． C．7 D． 【答案】D 【解析】根据题意，函数是定义在R上的奇函数， 当时，，必有，解可得:， 则当时，，有， 又由函数是定义在R上的奇函数， 则， 故选：D. 3．已知函数为偶函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，当时，则，即，， ∵为偶函数，∴，即， ∴，，∴， 故选：. 4．函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数m的值． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】解：（1）令，则， 由，此时； （2）由，， 所以， 解得或或（舍）． 5．已知函数是上的偶函数，求实数的值． 【答案】0 【解析】解：因为函数是R上的偶函数， 所以，即对任意实数恒成立， 解得，即实数的值为． 故答案为：0. 题型考点四 利用函数的奇偶性求解析式及函数值 1．已知函数是上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知当时，，进而可求得的解析式，再根据奇函数的定义即可求得的解析式. 【解析】当时，， 因为当时，， 所以， 又因为函数是上的奇函数， 所以，即， 则当时，的解析式为. 故选：. 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么等于（       ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】A 【解析】因为时，，可得， 又因为函数是定义在上的奇函数， 可得， 故选：A. 3．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 . 【答案】 【解析】由题意得：，即①，②， ②-①得：，解得：， 故答案为：． 4．已知函数是偶函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）求，的值. 【答案】（1）（2）， 【解析】解：（1）当时，，则， 因为函数是偶函数，所以，即， 所以当时，函数的解析式为. （2）因为当时，，所以，， 又因为函数是偶函数， 所以. 5．若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 【答案】， 【解析】解：依题意，函数是奇函数，是偶函数， 解得，． 题型考点五 函数的周期性 1．下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】易得和是周期函数，不是周期函数， 故选：C. 2．已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=（       ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数的周期性和奇函数的定义，结合题意即可求解. 【解析】对任意，都有， 函数为周期为6的周期函数， ， 又函数为奇函数，且， ， 故选：A． 3．已知在上是奇函数，且满足，当时，，则等于（       ） A．-2 B．2 C．-98 D．98 【答案】B 【解析】由于，所以是周期为的周期函数， 所以， 故选：B. 4．已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为满足对， 所以函数的最小正周期为， 又时，， 因此， 故选：C. 5．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（       ） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【解析】函数是定义在上周期为4的奇函数, , 又, 所以， 故选：A. 6．已知函数周期为1，且当时，，则 . 【答案】 【解析】由题意，函数 的周期为1， ， 故答案为： ． 7．设函数是定义在上周期为3的奇函数，且，则的值为 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在上周期为3的奇函数， 所以，且， 所以，，， 所以， 故答案为：. 8．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 【答案】, 【解析】解:由题意可知,; ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$