专题4 几种常见的函数及性质（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块3函数中的第4个专题几种常见的函数及性质。本专题涵盖一次函数、二次函数、反比例函数的概念及形式、图像和性质等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题4 几种常见的函数及性质（讲义） 知识点1 一次函数 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 知识点2 二次函数 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点3 反比例函数 1．反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， 2．反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： 图像 经过象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 【考试题型1】考查一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 【例1】（2024年·河南对口升学高考）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【考试题型2】考查一次函数的图像和单调性 【例2】（24-25高三下·河南·模拟预测）函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【考试题型3】利用二次函数的图像和性质求值域 【例3】（2017年·河南对口升学高考）设函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【考试题型4】考查二次函数的图像及单调性 【例4】（24-25高三下·河南·模拟预测）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 . 【考试题型5】考查一次函数的单调性 【例5】（2014年·河南对口升学高考）假设函数是增函数，则（ ） A． B． C． D． 题型考点一 一次函数及图像及性质 1．已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．假设函数是增函数，则（ ） A． B． C． D． 4．一次函数的图象经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 5．对于函数y＝4x，下列说法正确的是（ ） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 6．一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 或 7．在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为 . 8．某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为 . 9．一个水库的水位在最近5h内持续上涨，水位高度y（m）与时间t（h）之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是 m． 10．已知一次函数． （1）a，b为何值时，y随x的增大而增大？ （2）a，b为何值时，图象过第一、二、四象限？ （3）a，b为何值时，图象与y轴的交点在x轴上方？ 题型考点二 二次函数及图像及性质 1．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线，其中，与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 5．若二次函数的图像如图所示，则下列选项正确的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 7．点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．若二次函数的单调减区间为，且函数图像经过点，则a，b的值分别是（ ） A．，16 B．16，8 C．8， D．， 9．将正方形的内切圆的面积S表示为正方形的边长x的函数为 . 10．已知函数． (1)若函数有最小值0，求的解析式； (2)若恒成立，求a的取值范围． 题型考点三 反比例函数及图像及性质 1．下列属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 3．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 5．函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 6． 反比例函数的图像位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（ ） A．1 B．-1 C．-6 D．6 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流是___________A． 9．把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（）的反比例函数，其图象如图所示．当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是___________． 10．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块3函数中的第4个专题几种常见的函数及性质。本专题涵盖一次函数、二次函数、反比例函数的概念及形式、图像和性质等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题4 几种常见的函数及性质（讲义） 知识点1 一次函数 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 知识点2 二次函数 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点3 反比例函数 1．反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， 2．反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： 图像 经过象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 【考试题型1】考查一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 【例1】（2024年·河南对口升学高考）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D 【考试题型2】考查一次函数的图像和单调性 【例2】（24-25高三下·河南·模拟预测）函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数的性质即可得解. 【解析】因为函数在上是减函数， 则有，解得. 故选：B． 【考试题型3】利用二次函数的图像和性质求值域 【例3】（2017年·河南对口升学高考）设函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数是一个开口向上，对称轴为的抛物线， 做出函数在范围内的图像可知，函数在处取得最大值，， 在处取得最小值，，所以的取值范围是， 故选：C. 【考试题型4】考查二次函数的图像及单调性 【例4】（24-25高三下·河南·模拟预测）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论，分别由一次函数和二次函数的单调性分析即可. 【解析】函数在区间上为减函数， 当时，满足题意； 当时，由题可得，解得， 综上， 故答案为： 【考试题型5】考查一次函数的单调性 【例5】（2014年·河南对口升学高考）假设函数是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据一次函数的图像可知，当时，函数是增函数， 故选：A. 题型考点一 一次函数及图像及性质 1．已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据一次函数的图像和性质即可求解. 【解析】因为一次函数不经过第一象限， 所以函数过二、四象限或者二、三、四象限， 根据一次函数的图像和性质可得，. 故选：A. 2．已知点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把点的坐标代入一次函数中， 得，， ， 故选：C． 3．假设函数是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数的单调性即可得解. 【解析】根据一次函数的图像可知， 当时，函数是增函数. 故选：A. 4．一次函数的图象经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【答案】C 【解析】∵，，， ∴函数图象经过一、二、四象限， 故选：C． 5．对于函数y＝4x，下列说法正确的是（ ） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】在函数y＝4x中，k＝4＞0，所以y随x的增大而增大． 故选：D． 6．一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 或 【答案】A 【解析】根据题意，一次函数的图象经过第一、二、四象限， 且，解得， 故选：A． 7．在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为 . 【答案】 【解析】有表格可知：直线过点，则：， 解得：，∴， 当时，， ∴“”表示的数为：， 故答案为：． 8．某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为 . 【答案】y=1.1x+2.7 【解析】依据题意得：y=6+1.1（x-3）=1.1x+2.7， 故答案为：y=1.1x+2.7． 9．一个水库的水位在最近5h内持续上涨，水位高度y（m）与时间t（h）之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是 m． 【答案】0.3 【解析】根据题意得：当时，， 当时，， ∴每小时水位上升的高度是m， 故答案为：0.3. 10．已知一次函数． （1）a，b为何值时，y随x的增大而增大？ （2）a，b为何值时，图象过第一、二、四象限？ （3）a，b为何值时，图象与y轴的交点在x轴上方？ 【答案】(1)当，b为任意实数时，y随x的增大而增大； (2)且；(3)且． 【解析】解：（1）随x的增大而增大，，解得：， 当，b为任意实数时，y随x的增大而增大； （2）一次函数的图象过第一、二、四象限， ，解得：， 当且时，一次函数的图象过第一、二、四象限； （3）一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方， ，解得：， 当且时，一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方． 题型考点二 二次函数及图像及性质 1．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴距离对称轴越远函数值越大， ∵，，到y轴的距离依次为：2，0，1， ∴． 故选：C． 2．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解. 【解析】由题意得，函数的图象的对称轴是. 因为抛物线的开口向上， 要使函数在上是增函数，则. 即a的取值范围为. 故选：D. 3．点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入抛物线方程，再结合一元二次不等式即可求解. 【解析】∵点，都在抛物线上， ∴，， ∵，∴， 即， ∴，解得：. 故选：D． 4．抛物线，其中，与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为有两个不同的实根，从而利用判别式即可得解. 【解析】因为抛物线，其中，与x轴有两个交点， 所以有两个不同的实根， 则，解得或. 故选：B. 5．若二次函数的图像如图所示，则下列选项正确的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据数形结合及二次函数性质的综合运用求解即可. 【解析】因为二项函数开口向上，所以； 二次函数对称轴在轴右侧，所以，则； 因为二次函数与轴有两个交点，所以； 因为交点在轴两侧，所以，所以； 综上可知，. 故选：C. 6．函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【解析】由题意得，二次函数的对称轴为，开口向上. 所以在单调递减，在单调递增， 故选：D. 7．点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵点，都在抛物线上， ∴，，∵，∴， 即，∴，解得：， 故选：D. 8．若二次函数的单调减区间为，且函数图像经过点，则a，b的值分别是（ ） A．，16 B．16，8 C．8， D．， 【答案】A 【分析】根据单调减区间判断对称轴,过点联立方程组求出答案. 【解析】根据单调减区间判断对称轴,过点, 得出,所以,. 故选：A. 9．将正方形的内切圆的面积S表示为正方形的边长x的函数为 . 【答案】 【解析】正方形边长为，则其内切圆的半径为， 所以内切圆的面积， 故答案为：. 10．已知函数． (1)若函数有最小值0，求的解析式； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判断当时是否符合题意，当时，对称轴为，最小值为，代入中即可求出. （2）首先判断当时是否符合题意，当时，有求解不等式即可. 【解析】（1）已知， 当时，不符合题意，所以，函数为二次函数， 的对称轴为，故当时，有最小值0， 所以，解得， 所以． （2）当时，，此时成立， 当时，要使恒成立， 则，解得， 综上，a的取值范围是． 题型考点三 反比例函数及图像及性质 1．下列属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．由原式得到，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意； B．该函数式表示与成正比例关系，故本选项不符合题意； C．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意； D．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．下列函数中，不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】反比例函数的三种形式为： ①（为常数， ），② （为常数，），③ （为常数，）， 由此可知：只有不是反比例函数，其它都是反比例函数， 故选：C． 3．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， ∵，，∴， 故选：B. 4．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项中，当时，，故该选项不符合题意； B选项中，当时，，故该选项不符合题意； C选项中，当时，，故该选项符合题意； D选项中，当时，，故该选项不符合题意； 故选：C. 5．函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】画出函数图像，根据函数图象即可判断减区间. 【解析】   由图象可知单调减区间为，， 又因为单调区间有多个单调区间要分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接． 故选：C. 6． 反比例函数的图像位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例图像，判断图像位置即可. 【解析】对于反比例函数，由题意得，且， 根据反比例函数图像得：该反比例函数图像在第四象限， 故选：D. 7．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（ ） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【答案】B 【解析】在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为，在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ，解得， 故选：． 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流是___________A． 【答案】12 【解析】设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，，，解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，，即电流为， 故答案为：12． 9．把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（）的反比例函数，其图象如图所示．当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是___________． 【答案】 【解析】设反比例函数的解析式为：， 由图象可知：双曲线过点，∴， ∴，由图可知，时，随的增大而减小， ∵钢丝总长度不少于80m，∴当时，钢丝的横截面积最大为， 故答案为：． 10．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是 . 【答案】 【解析】∵点、、在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$