4.5.2几种简单几何体的体积课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.5.2 几种简单几何体的体积 湘教版数学必修第二册 第4章 立体几何初步 4.5 几种简单几何体的表面积和体积 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 祖暅原理与柱体、锥体的体积 V棱柱＝ ⁠ V棱锥＝ ⁠ V圆柱＝ （r是底面半径，h是高） V圆锥＝ （r是底面半径，h是高） Sh　 Sh　 πr2h　 πr2h　 （1）等底、等高的两个棱(圆)柱的 体积相同. （2）等底、等高的棱(圆)锥和棱(圆)柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱(圆)柱的体积是棱(圆)锥的体积的3倍. 典例精析 例. 三棱柱ABC-ABC中，BC⊥AC，BC=5 cm，CA=12 cm，AA=20 cm。AH⊥平面ABC，垂足为H，∠AAH=60°，求这个三棱柱的体积. 典例精析 例 如图，埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥.已知该金字塔高约146.5m、底面边长约232m、求这座金字塔的侧面积和体积(结果分别精确到0.1m2和0.1m3)。 台体的体积 V棱台＝ （S'，S分别为上、下底面面积，h为棱台的高） V圆台＝ （r'，r分别是上、下底面半径，h是高） h（S'＋＋S）　 πh（r'2＋r'r＋r2）　 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V 棱(圆)柱＝ Sh V 棱(圆)台＝ （ S '＋ ＋ S ） h V 棱(圆)锥＝ Sh . 球的体积 V球＝ （R为球的半径） πR3　 （1）球的表面积（体积）与半径之间的函数关系 S 球＝4π R 2； V 球＝ π R 3. 从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径有关，给定 R 都有唯一 确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积是关于 R 的函数. （2）球的表面积（体积）计算中蕴含的数学思想 ①函数方程思想：根据球的表面积与体积公式可知，球的半径 R ，球的表面 积 S ，球的体积 V 三个量“知一求二”. ②转化思想：空间问题平面化. 练习巩固 1. 已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　B　） A. 48 B. 64 C. 16 D. 96 解析：设正方体的棱长为 a ，则6 a 2＝96，∴ a ＝4.∴其体积 V ＝ a 3＝43＝64.故选B. 2. 已知圆锥 SO 的高为4，体积为4π，则底面半径 r ＝ ⁠. 解析：设底面半径为 r ，则 π r 2×4＝4π，解得 r ＝ ，即底面半径为 . 3. 已知棱台的上、下底面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为 ⁠. 解析：由棱台的体积公式可求得其体积为 V ＝ ×（4＋ ＋16）×3＝28. B 解析：设正方体的棱长为 a ，则6 a 2＝96，∴ a ＝4.∴其体积 V ＝ a 3＝43＝64.故选B. 　 28　 练习巩固 4. 某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中 r ＝1， l ＝3，试求该组合体的表面积和体积. 解：该组合体的表面积 S ＝4π r 2＋2π rl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积 V ＝ π r 3＋π r 2 l ＝ π×13＋π×12×3＝ . 高考链接 【2023年新高考二卷】底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所 截，截取一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得台体的体积为 . 等体积法 研习1　棱柱、棱锥、棱台的体积 [典例1]　（1）如图所示，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为1， E 为线段 B 1 C 上 的一点，则三棱锥 A － DED 1的体积为 ⁠. 第（1）题图 　 [解析]　（1） ＝ ＝ × ×1×1×1＝ . 研习1　棱柱、棱锥、棱台的体积 （2）如图，某几何体下面部分为正方体 ABCD － A ' B ' C ' D '，上面部分为正四棱锥 S － ABCD ，若几何体的高为5，棱 AB ＝2，则该几何体的体积为 ⁠. 第（2）题图 [解析]　（2） V 正方体＝23＝8， VS － ABCD ＝ ×22×（5－2）＝4. V ＝ V 正方体＋ VS － ABCD ＝12. 12　 练习巩固 [练习1] 如图，四棱锥 P － ABCD 的底面是矩形， PD ⊥底面 ABCD ， M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM . ①证明：平面 PAM ⊥平面 PBD . 解：（1）①证明：因为 PD ⊥底面 ABCD ， AM ⊂平面 ABCD ， 所以 PD ⊥ AM ， 又 PB ⊥ AM ， PB ∩ PD ＝ P ， PB ， PD ⊂平面 PBD ， 所以 AM ⊥平面 PBD ， 而 AM ⊂平面 PAM ， 所以平面 PAM ⊥平面 PBD . 练习巩固 [练习1]　如图，四棱锥 P － ABCD 的底面是矩形， PD ⊥底面 ABCD ， M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM . ②若 PD ＝ DC ＝1，求四棱锥 P － ABCD 的体积. 解： ②由（1）可知， AM ⊥平面 PBD ， BD ⊂平面 PBD ， 所以 AM ⊥ BD ， 从而△ DAB ∽△ ABM ，设 BM ＝ x ，则 AD ＝2 x ， 则 ＝ ，即2 x 2＝1，解得 x ＝ ，所以 AD ＝ . 因为 PD ⊥底面 ABCD ， 故四棱锥 P － ABCD 的体积为 V ＝ ×1× ×1＝ . ①证明：平面 PAM ⊥平面 PBD . 研习2　圆柱、圆锥、圆台、球的体积 [典例2]　（1）圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16 π，则圆锥的体积是 （　A　） A. B. C. 64π D. 128π A 由题意得，侧面积 S 侧＝π r · l ＝ π r 2＝16 π， ∴ r ＝4.∴ l ＝4 ，高 h ＝ ＝4. ∴圆锥的体积 V ＝ Sh ＝ π×42×4＝ π，故选A. [解析]（1）设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2 r ＝ ，即 l ＝ r ， 研习2　圆柱、圆锥、圆台、球的体积 [解析] （2）用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图， 则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. （2）如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线 长分别为2和3，则该几何体的体积为（　D　） A. 5π B. 6π C. 20π D. 10π D 研习3　与球有关的切、接问题 [典例3]　（1）一个球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为 ⁠. [解析]　由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为 π. π　 即 a 2＋（ a ）2＝ R 2，∴ R ＝ a . 从而 V 半球＝ π R 3＝ π（ a ）3＝ π a 3， 因此 V 半球∶ V 正方体＝ π a 3∶ a 3＝ π∶2. V 正方体＝ a 3. （2）在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比. [解]　作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为 R ，正方体的棱长为 a ，那么 CC '＝ a ， OC ＝ . 在Rt△ C ' CO 中，由勾股定理，得 CC '2＋ OC 2＝ OC '2， 课堂小结 本节课学习了什么？ 几何体 体积 棱柱 V棱柱＝ ⁠ 棱锥 V棱锥＝ ⁠ 棱台 V棱台＝ （S'，S分别为上、下底面面积，h为棱台的高） 圆柱 V圆柱＝ （r是底面半径，h是高） 圆锥 V圆锥＝ （r是底面半径，h是高） 圆台 V圆台＝ （r'，r分别是上、下底面半径，h是高） 球 V球＝ （R为球的半径） 作业布置 练习册对应章节 $$