数学（深圳专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想（深圳专用） 目录 押题猜想一 选择题之解直角三角形的应用 1 押题猜想二 填空题之几何图形求解问题 8 押题猜想三 填空题之反比例函数求K值 13 押题猜想四 实数的混合运算问题 18 押题猜想五 分式化简求值 20 押题猜想六 统计综合问题 23 押题猜想七 方程与不等式的综合问题 30 押题猜想八 圆的综合问题 38 押题猜想九 二次函数的综合问题 46 押题猜想十 几何变换的综合问题 58 押题猜想一 选择题之解直角三角形的应用 （改编）河堤横断面如图所示，堤高BC=8 m，迎水坡的坡比为，则的长为（   ） A．16 m B．24 m C．16 m D．8 m 押题解读 本考点为必考考点，三角函数问题常以实际测量场景为载体，重点考查解直角三角形的能力，涉及仰角、俯角、坡度等概念。题目多与几何图形（如矩形、菱形、圆）结合，需通过构造直角三角形建立模型，利用正弦、余弦、正切求边长或角度。近年真题显示，题型趋向多步骤综合应用，如2024年“大碗”高度计算需结合矩形性质与正切函数。备考时应强化特殊角（30°、45°、60°）的计算，掌握计算器使用技巧（如非特殊角求值），并关注方案设计类问题（如梯子安全角度范围）。常见陷阱包括单位换算和多解情况讨论，需通过典型例题（如建筑物测量、堤坝坡度）提升建模与计算能力。 1．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 2．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（    ） A．95米 B．米 C．190米 D．米 3．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图为单车实物图，图为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：） A． B． C． D． 4．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米． A． B． C． D． 5．位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔位于坡度的斜坡上，测量员从斜坡底端处往前沿水平方向走了达到地面处，此时测得电视塔顶端的仰角为，电视塔底端的仰角为，已知、、、在同一平面内，则该塔的高度为（　　），（结果保留整数，参考数据；，）    A．24 B．31 C．60 D．136 押题猜想二 填空题之几何图形求解问题 （改编）如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点E，连接并延长交于点F，若AB=80 cm，则的长度为 ． 押题解读 本考点为必考考点，几何图形选填压轴题备考需聚焦高频考点，如动态最值、多结论推理、几何变换综合。首先夯实基础，熟背全等/相似判定、解直角三角形、圆的性质等核心定理，归纳手拉手、将军饮马等经典模型。训练时注重特殊值法、极限位置法快速排除选项，结合尺规作图辅助分析，错题按“条件-突破口-易错点”分类整理。考前限时刷题保持题感，重点突破图形折叠、动点轨迹等复杂情境，提升数形结合与逆向推导能力。 1．某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，，，，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1、图2信息，可求得的长度是 ． 2．如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为 ． 3．如图，中，，点是上一点，，连接，沿着翻折得到，交于点，延长交于点，若，，则 ． 押题猜想三 填空题之反比例函数求K值 （改编）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为 . 押题解读 本考点为必考考点，拆图形用k值：将四边形拆分为三角形，利用反比例函数k的几何意义（如面积），通过面积和差求解；设坐标联性质：设双曲线上点坐标(x,)，结合四边形性质（如平行四边形对边平行、对角线中点重合）列方程；用对称与公式：利用双曲线中心对称性（关于原点对称）构造特殊四边形（如平行四边形），用中点坐标公式、斜率公式判定边的关系；分象限与函数分支：讨论顶点在不同象限或函数分支时的图形特征，注意方程多解性及四边形存在性（如边长为正）。 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为 ． 2.如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于 ． 3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是 押题猜想四 实数的混合运算问题 （改编）计算：+2sin30°． 押题解读 本考点为必考考点，实数的混合运算，利用负整数指数幂、零指数幂、特殊的三角函数值，算术平方根、绝对值法则计算即可。 1．计算：． 2．计算： 3．计算：． 4．计算：． 5．计算： 押题猜想五 分式化简求值 （改编）先化简，再求值：，其中x=2025. 押题解读 本考点为必考考点，分式化简求值题高频考察通分、因式分解及代入求值技巧，需注意分母不为零条件，常结合实际问题或几何应用，规范步骤是关键。 1．先化简，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 2．先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 3．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 4．先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 5．先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 押题猜想六 统计综合问题 1．根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．罗湖区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)该校抽查八年级学生的人数为______人，图中的值为______； (2)请将条形统计图补充完整； (3)求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数； (4)根据统计的样本数据，估计该校八年级800名学生中，每天平均校外活动时间达到1小时及以上的学生有多少人？ 押题解读 本考点为必考考点，统计题高频考查统计图表分析（如扇形图、直方图）、集中趋势量（平均数、中位数、众数）及方差计算，概率题多结合树状图/列表法，需注意样本估计总体的实际应用及易错点。 1．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分．运动能力测试由位专业测试员打分，每位测试员最高打分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 2．“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．“碳达峰”是二氧化碳排放量达到历史峰值后开始逐步下降的趋势，“碳中和”指通过节能减排、植树造林等措施，使二氧化碳排放量与吸收量达到平衡，实现净零排放．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100． 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100． 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100． 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 七年级 70 70 八年级 86 87.5 九年级 85 80 直接写出________，________，________． 【分析解决】 （2）①该校七、八、九年级分别有400名、300名和300名学生参加了此次测试．根据样本数据，估算该校全体学生的平均得分． ②依据数据分析结果，任选一个角度，对三个年级学生的全球气候变化基础知识的掌握程度作出评价与建议． 3．安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表活动后骑电瓶车戴安全头盔情况统计表 类别 人数 A 68 B a C 510 D 177 合计 1000 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴 (1)“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，计算a的值为　　　； (2)为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是　　　，（选填“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”）； (3)若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为　　　万人； (4)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 押题猜想七 方程与不等式的综合问题 1．“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在至的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 押题解读 本考点为必考考点，方程与不等式的综合应用问题常以实际情境为载体，重点考查一元二次方程、分式方程与不等式的结合，涉及方案设计、利润最大化、资源分配等题型。近年真题显示，此类问题多与函数或统计结合，要求学生通过建模将实际问题转化为数学表达式，并利用方程求定值、不等式求参数范围或最优解。例如，2024年真题中书架摆放书籍的问题，需建立方程求解数量，并通过不等式确定最大摆放量。备考时应关注含参方程的解的情况、整数解的讨论，以及不等式与几何图形或函数图像的综合应用，强化检验解的合理性及实际意义的意识。 1．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 2．根据如下素材，完成探索任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同． 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件  B：200元/件 素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍． 问题解决 任务一 求A、B充电器每件进价 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润 3．根据如表所示素材，探索完成任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进、两种充电器，两次同型号进价相同： 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件，B：100元/件． 素材三 计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍． 问题解决 任务一 求、充电器每件进价． 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润． 4．根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 押题猜想八 圆的综合问题 1．如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图： ①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点， ②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M， ③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线； (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 押题解读 本考点为必考考点，与圆相关的综合题近年聚焦切线证明、圆周角定理及几何综合应用，如结合矩形、相似三角形的动态问题。2025年或强化跨学科融合与新定义题型，例如圆锥周切面分析、圆与坐标系的综合计算，建议重点掌握切线性质、垂径定理及阴影面积计算，关注动态几何与实际问题建模。 1．如图，是的直径，C为上一点，连接，延长至点D，使得，点E为的中点，连接交于点F，连接． (1)求证：为的切线 (2)求证：； (3)若，，则直接写出_______． 2．如果三个数满足，即，那么称是和的比例中项．比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示．如图，点在数轴上分别表示实数，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点，使得点表示的正数，恰好是数和的一个比例中项．方法如下： 第步：作以为直径的圆； 第步：______的其中一点记为点； ．以为圆心，为半径画圆，交圆 ．以原点为圆心，为半径画圆，交圆 ．以为直径作圆，交圆 ．作的垂直平分线，交圆 ．以为直径作圆，再过点作的垂线，交圆 第步：以原点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求． (1)请选出你认为第步中正确作法对应的字母：______（只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点，要求保留作图痕迹，不需要写出作法． (2)若，写出此时圆的直径______． 押题猜想九 二次函数的综合问题 1．问题初探 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，的取值范围为___________； ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成的形式，确定抛物线对称轴为直线，通过和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了的取值范围；请你很据上述两名同学的分析写出的取值范围是___________； 类比分析 （2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决何题，为了让同学们更好的感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答；已知二次函数当时，求的最大值．并写出的取值范围； 学以致用 （3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若．求的值． 押题解读 本考点为必考考点，函数与几何图形综合题近年聚焦二次函数与三角形、四边形动态结合，常考面积最值、存在性问题及几何变换（如旋转、折叠）与函数图像的关联。2025年或强化跨学科融合（如物理运动轨迹）及新定义题型，例如抛物线与圆的切线性质结合、反比例函数与特殊四边形的综合建模。建议重点掌握动态几何中坐标与图形的转化、相似三角形应用及二次函数顶点式的灵活运用，关注动点轨迹分析与极值问题的代数解法。 1．中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为 ，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______． 2．【项目主题】合理设计，实用便民 【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动： 素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴． 素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线） 素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长． 根据提供素材，完成下列问题： (1)数学小组计算出的长度，具体如下： 解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③． 请补全上述求解过程中①②③所缺的内容： (2)根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）． (3)求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装． 3．在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽的中点为C，图象的顶点为D，测得为m厘米时，为n厘米． 【猜想】（1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是_______．    【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2   如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则：，所以点坐标为__________；将点坐标代入，得到n与m的关系式是__________．   如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为_________；将点B坐标代入，得到n与m的关系式是_________． 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由___________决定． 【应用】（3）已知轴且，两个二次函数和的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 押题猜想十 几何变换的综合问题 1．已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点． 【探索发现】 （1）如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下， ①的度数为___________； ②连接，证明； 【拓展思考】 （3）如图2，若正方形的边长，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长度． 押题解读 本考点为必考考点，几何图形变换综合题近年聚焦旋转、翻折与坐标系结合，常考动态几何与存在性问题，如折叠后线段关系及旋转角度计算。2025年或强化跨学科融合与新定义题型，如变换与物理运动结合或自定义变换规则，建议重点掌握动态轨迹分析、相似三角形应用及辅助线构造技巧。 1．在正方形中，，点是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图，过点作，求证：； (2)【类比探究】如图，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值． 2．已知：中，E在上，F在上，． (1)如图1，D、F重合，，，，求的长． (2)如图2，若F为中点，，求． (3)如图3，中，，P为对角线上一动点，过P作直线使得，分别交直线、于点F、E，若，请直接写出的最小值． 3．（1）如图1， 在正方形中， E为边上一点， F为延长线上一点， 且， ①与之间的数量关系为 ． ② G，H分别是中点，连接，请证明：． （2）如图2，在矩形中，，E为边上一点，F为延长线上一点， ，G，H分别是中点，连接，已知，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，，E为边上一点，F为延长线上一点，且，G，H分别是中点，连接，当 时，请直接写出的长． 4．【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（深圳专用） 目录 押题猜想一 选择题之解直角三角形的应用 1 押题猜想二 填空题之几何图形求解问题 8 押题猜想三 填空题之反比例函数求K值 13 押题猜想四 实数的混合运算问题 18 押题猜想五 分式化简求值 20 押题猜想六 统计综合问题 23 押题猜想七 方程与不等式的综合问题 30 押题猜想八 圆的综合问题 38 押题猜想九 二次函数的综合问题 46 押题猜想十 几何变换的综合问题 58 押题猜想一 选择题之解直角三角形的应用 （改编）河堤横断面如图所示，堤高BC=8 m，迎水坡的坡比为，则的长为（   ） A．16 m B．24 m C．16 m D．8 m 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义列式计算即可． 【详解】解：堤高BC=8 m，迎水坡的坡比为， ， ，∴ AC=BC=8 m 故选：D． 押题解读 本考点为必考考点，三角函数问题常以实际测量场景为载体，重点考查解直角三角形的能力，涉及仰角、俯角、坡度等概念。题目多与几何图形（如矩形、菱形、圆）结合，需通过构造直角三角形建立模型，利用正弦、余弦、正切求边长或角度。近年真题显示，题型趋向多步骤综合应用，如2024年“大碗”高度计算需结合矩形性质与正切函数。备考时应强化特殊角（30°、45°、60°）的计算，掌握计算器使用技巧（如非特殊角求值），并关注方案设计类问题（如梯子安全角度范围）。常见陷阱包括单位换算和多解情况讨论，需通过典型例题（如建筑物测量、堤坝坡度）提升建模与计算能力。 1．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 2．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（    ） A．95米 B．米 C．190米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．该主塔为，在中，利用正切函数的定义求得，同理，在中，求得，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，该主塔为， 由题意，得：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴该主塔的高度为米． 故选：B 3．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图为单车实物图，图为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于，地面于，可得，解得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于，地面于， 由题意得，， 在中，∵，， ∴， ∴坐垫离地面高度约为， 故选：． 4．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作于点I，利用三角函数得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质可得，最后勾股定理求得，即可． 【详解】解：过点E作于点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长为米，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查了正切函数的应用，平行线的性质，等腰三角形的三线合一性质，余角的性质，熟练掌握正切函数，等腰三角形的性质是解题的关键． 5．位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔位于坡度的斜坡上，测量员从斜坡底端处往前沿水平方向走了达到地面处，此时测得电视塔顶端的仰角为，电视塔底端的仰角为，已知、、、在同一平面内，则该塔的高度为（　　），（结果保留整数，参考数据；，）    A．24 B．31 C．60 D．136 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识，关键是根据已知条件在合适的直角三角形中通过解直角三角形求解．设于，设，则，根据可先列出方程求出的值，从而得出，的长，在中可求出的长，从而由可得到结论． 【详解】解：如图，设于， 设，则，      在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，（）， ∴， 故选：． 押题猜想二 填空题之几何图形求解问题 （改编）如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点E，连接并延长交于点F，若AB=80 cm，则的长度为 ． 【答案】20 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似角形的性质与判定，首先利用矩形性质可以证明，，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，矩形护栏中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴AF=CD=20 cm． 故答案为：20 押题解读 本考点为必考考点，几何图形选填压轴题备考需聚焦高频考点，如动态最值、多结论推理、几何变换综合。首先夯实基础，熟背全等/相似判定、解直角三角形、圆的性质等核心定理，归纳手拉手、将军饮马等经典模型。训练时注重特殊值法、极限位置法快速排除选项，结合尺规作图辅助分析，错题按“条件-突破口-易错点”分类整理。考前限时刷题保持题感，重点突破图形折叠、动点轨迹等复杂情境，提升数形结合与逆向推导能力。 1．某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，，，，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1、图2信息，可求得的长度是 ． 【答案】5.8/ 【知识点】用勾股定理解三角形、平面镶嵌、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了平面镶嵌，勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识构造出直角三角形是解题的关键．作，设，，由第一幅图可知，，由第二幅图可知，，四边形是矩形，，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：作，设，， 由第一幅图可知，， 由第二幅图可知，，四边形是矩形， 则，， 则， ， ， ， ． 故答案为：5.8． 2．如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，解题的关键在于相似三角形的运用． 先由，设，则，再得到，那么可得，最后由由列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ． 故答案为：． 3．如图，中，，点是上一点，，连接，沿着翻折得到，交于点，延长交于点，若，，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】利用折叠的性质证出，得到的长，判定出通过相似的比值关系求出的长，判定出，通过相似的比值关系求出的长，过点作于点，根据三角函数的比值关系和勾股定理求出和的长，即可解答． 【详解】解：∵沿着折叠得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数的比值关系，勾股定理等知识点，合理利用相似的性质进行边的转化是解题的关键． 押题猜想三 填空题之反比例函数求K值 （改编）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为 . 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的纵坐标相同，不妨设，，借助，求得答案． 【详解】解：轴， 、的纵坐标相同， 不妨设，， ， ， ． 故答案为：． 押题解读 本考点为必考考点，拆图形用k值：将四边形拆分为三角形，利用反比例函数k的几何意义（如面积），通过面积和差求解；设坐标联性质：设双曲线上点坐标(x,)，结合四边形性质（如平行四边形对边平行、对角线中点重合）列方程；用对称与公式：利用双曲线中心对称性（关于原点对称）构造特殊四边形（如平行四边形），用中点坐标公式、斜率公式判定边的关系；分象限与函数分支：讨论顶点在不同象限或函数分支时的图形特征，注意方程多解性及四边形存在性（如边长为正）。 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．不妨设，可算得，那么的面积为2，由，推出，然后利用平行四边形的性质，可推出点坐标，然后将其代入即可． 【详解】解：，点落在反比例函数图象上，不妨设， 那么，， ， 四边形的面积为3， 的面积为， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 点落在反比例函图象上， ， ． 故答案为：6． 2.如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于 ． 【答案】6 【知识点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、求反比例函数解析式、利用平移的性质求解 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 【详解】解：设， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是 【答案】6 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】过点A作轴于点M，轴于点N，设点 ，则，，可得， ，再由，，可得到， ，从而得到 ，进而得到 ，继而，再由平行四边形的性质，可得，从而得到 ，再由，即可求解．本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作轴于点M，轴于点N， ∴，轴， 设点，则 ∴， ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵点A、G在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 故答案为：6． 押题猜想四 实数的混合运算问题 （改编）计算：+2sin30°． 【答案】+1 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、绝对值法则计算即可． 【详解】解：+2sin30° +1 +1 押题解读 本考点为必考考点，实数的混合运算，利用负整数指数幂、零指数幂、特殊的三角函数值，算术平方根、绝对值法则计算即可。 1．计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、利用二次根式的性质化简、零指数幂、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，以及化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊三角形的三角函数、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，和化简绝对值，掌握知识点，正确计算是解题的关键． 先计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，和计算负整数指数幂，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、二次根式的加减运算、零指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了实数的运算， 根据，再根据二次根式的加减法计算即可. 【详解】解：原式, . 4．计算：． 【答案】2 【知识点】零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】解： ． 5．计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、求一个数的立方根、负整数指数幂 【分析】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，立方根和绝对值．直接利用负整数指数幂，特殊角的三角函数值，立方根和绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 押题猜想五 分式化简求值 （改编）先化简，再求值：，其中x=2025. 【答案】，2027 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算方法是解题的关键．先将括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 当时x=2025，原式=2025+2=2027 押题解读 本考点为必考考点，分式化简求值题高频考察通分、因式分解及代入求值技巧，需注意分母不为零条件，常结合实际问题或几何应用，规范步骤是关键。 1．先化简，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算化简求值，分式有意义的条件，先根据分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定出整数的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵，，， ∴可以取整数， 当时，原式． 2．先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式． 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的x的值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∵， ∴当是，原式． 3．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，结合分式有意义的条件，取，将代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解： ， ，且， 且， 故当时， 上式． 4．先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 只能取， 当时，原式． 5．先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， 当时 原式． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 押题猜想六 统计综合问题 1．根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．罗湖区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)该校抽查八年级学生的人数为______人，图中的值为______； (2)请将条形统计图补充完整； (3)求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数； (4)根据统计的样本数据，估计该校八年级800名学生中，每天平均校外活动时间达到1小时及以上的学生有多少人？ 【答案】(1)100，18 (2)见解析 (3)小时 (4)704人 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数，样本估算总体，从统计图中获取信息是解题的关键． （1）根据每天平均校外活动时间为1小时的占30%，共30人，即可求得总人数，用每天平均校外活动时间2小时人数除以总数即可求得a； （2）根据总数减去其他三项即可求得每天平均校外活动时间为小时的人数进而补充条形统计图； （3）根据求平均数的方法，求得100个学生每天平均校外活动时间的平均数； （4）根据扇形统计图可知，每天平均校外活动时间不足1小时的比例为，800乘以即可求得． 【详解】（1）解：总人数为：（人）； ， ∴ 故答案为：；； （2）解：每天平均校外活动时间为1.5小时的人数为：（人） 补充条形统计图如下： （3）解：平均数为（小时）； （4）解：（人） 估计该校八年级800名学生中，每天平均校外活动时间达到1小时及以上的学生有人． 押题解读 本考点为必考考点，统计题高频考查统计图表分析（如扇形图、直方图）、集中趋势量（平均数、中位数、众数）及方差计算，概率题多结合树状图/列表法，需注意样本估计总体的实际应用及易错点。 1．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分．运动能力测试由位专业测试员打分，每位测试员最高打分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】任务1：，；任务2：B机器人的综合成绩最高；任务3：见解析 【分析】（1）把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案 （3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可． 【详解】解：任务1：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； 任务2： 的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为：    的综合成绩为：     ， 机器人的综合成绩最高； 任务3： ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 【点睛】本题考查了折线统计图和扇形统计图综合，中位数、众数、方差的定义，解题的关键是数形结合，并掌握相关知识． 2．“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．“碳达峰”是二氧化碳排放量达到历史峰值后开始逐步下降的趋势，“碳中和”指通过节能减排、植树造林等措施，使二氧化碳排放量与吸收量达到平衡，实现净零排放．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100． 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100． 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100． 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 七年级 70 70 八年级 86 87.5 九年级 85 80 直接写出________，________，________． 【分析解决】 （2）①该校七、八、九年级分别有400名、300名和300名学生参加了此次测试．根据样本数据，估算该校全体学生的平均得分． ②依据数据分析结果，任选一个角度，对三个年级学生的全球气候变化基础知识的掌握程度作出评价与建议． 【答案】（1）77；90；85；（2）①该校学生的平均得分为；②从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差．建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．（从中位数、众数角度回答均可） 【分析】本题主要考查了数据分析，求中位线，众数和平均数，根据中位数、众数和平均数做决策，解题的关键是熟练掌握中位线，众数和平均数的意义． （1）根据平均数、中位数和众数的定义进行求解即可； （2）①用样本估计总体即可； ②从平均数、中位数、众数角度进行解答即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 八年级10个数据中90出现的次数最多，因此众数； 将九年级10个数据从小到大进行排序排在第5的是80，第6的是90，因此中位数； （2）①， 答：该校学生的平均得分为； ②从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差．建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．（从中位数、众数角度回答均可） 3．安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表活动后骑电瓶车戴安全头盔情况统计表 类别 人数 A 68 B a C 510 D 177 合计 1000 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴 (1)“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，计算a的值为　　　； (2)为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是　　　，（选填“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”）； (3)若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为　　　万人； (4)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 【答案】(1) (2)扇形统计图 (3) (4)小明分析数据的方法不合理，理由见解析 【分析】本题考查了用样本估计总体，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）用总人数分别减去其它三类人数可得a的值； （2）根据“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”的特征解答即可； （3）用20万人乘样本中“都不戴”安全头盔的占比可得答案； （4）先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果． 【详解】（1）解：， 故答案为：245； （2）为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是扇形统计图； 故答案为：扇形统计图； （3）活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为： （万人）． 估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数约为万人， 故答案为：； （4）小明分析数据的方法不合理，理由如下： 宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：， 活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：． ．因此交警部门开展的宣传活动有效果． 押题猜想七 方程与不等式的综合问题 1．“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在至的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 【答案】任务1：“红粉”西红柿进价为每千克5元，“有机”西红柿进价为每千克元；任务2：其标价（白天的售价）最低价是每千克10元；任务3：每天进货时利润最大 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数四则运算的应用等知识，熟练掌握分式方程和不等式的应用是解题关键． 任务1：设“红粉”西红柿进价为每千克元，则“有机”西红柿进价为每千克元，根据素材2建立方程，解方程即可得； 任务2：设有机西红柿标价（白天的售价）为每千克元，根据素材3和素材4建立一元一次不等式，解不等式即可得； 任务3：分别求出打九折、八折和七折的价格，找出有利润的价格，由此即可得． 【详解】解：任务1：设“红粉”西红柿进价为每千克元，则“有机”西红柿进价为每千克元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ， 答：“红粉”西红柿进价为每千克5元，“有机”西红柿进价为每千克元． 任务2：设有机西红柿标价（白天的售价）为每千克元， 依题意得：， 解得：， 答：其标价（白天的售价）最低价是每千克10元． 任务3：，，， 只有当打九折和八折时，才有利润， ∴， 答：每天进货时利润最大． 押题解读 本考点为必考考点，方程与不等式的综合应用问题常以实际情境为载体，重点考查一元二次方程、分式方程与不等式的结合，涉及方案设计、利润最大化、资源分配等题型。近年真题显示，此类问题多与函数或统计结合，要求学生通过建模将实际问题转化为数学表达式，并利用方程求定值、不等式求参数范围或最优解。例如，2024年真题中书架摆放书籍的问题，需建立方程求解数量，并通过不等式确定最大摆放量。备考时应关注含参方程的解的情况、整数解的讨论，以及不等式与几何图形或函数图像的综合应用，强化检验解的合理性及实际意义的意识。 1．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1) (2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用更低 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分式方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可；②分别计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案． 【详解】（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元） （2）①由题意得： 经检验：是该分式方程的根； 燃油车每千米行驶费用为：（元）； 纯电动车的每千米行驶费用为：（元） 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元． ②当行驶里程为时， 燃油车年费用为：（元） 纯电动车年费用为：（元）    选纯电动车年费用更低． 答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低． 2．根据如下素材，完成探索任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同． 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件  B：200元/件 素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍． 问题解决 任务一 求A、B充电器每件进价 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润 【答案】任务一：A种充电器每件的进价为20元，B种充电器每件的进价为80元；任务二：当购进800件A种充电器，200件B种充电器时，获利最大，最大利润为32000元 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：①找准等量关系，列出二元一次方程组一元一次不等式；②根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式． 任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购进件充电器，则购进件充电器，根据“计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍”列不等式，求出，设利润为元，列出关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】解：任务一：设、充电器每件进价分别为元、元， 由题意得：， 解得：． 答：、充电器每件进价分别为元、元； 任务二：设购进件充电器，则购进件充电器， 由题意得：， 解得：， 设利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元． 3．根据如表所示素材，探索完成任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进、两种充电器，两次同型号进价相同： 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件，B：100元/件． 素材三 计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍． 问题解决 任务一 求、充电器每件进价． 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润． 【答案】任务一：、充电器每件进价分别为元、元；任务二：获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元． 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：①找准等量关系，列出二元一次方程组一元一次不等式；②根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式． 任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购进件充电器，则购进件充电器，根据“计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍”列不等式，求出，设利润为元，列出关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】任务一：设、充电器每件进价分别为元、元， 由题意得：，解得：． 答：、充电器每件进价分别为元、元； 任务二：设购进件充电器，则购进件充电器， 由题意得：， 解得：， 设利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元． 4．根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元；任务2：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键． 任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】任务1： 解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得： 解得 答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元． 任务2： 设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一： ， 解得， 由题意得， ∴， ∴ 方案二： ， 解得， ∴方案二不符题意，舍去． 答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条． 押题猜想八 圆的综合问题 1．如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图： ①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点， ②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M， ③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线； (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． （1）连接并延长，交于H，证明，得，由作图得，得，从而得出结论； （2）过E作交于F，证明，得出，再证明和，求出的长，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于H， ∵是的外接圆，     ∴平分，        ∵， ∴， ∴，    ∴ 由作图可知， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线. （2）解：过E作交于F， ∴ ∵平分， ∴， ∴，              ∴， ∵，， ∴， ∴ ，                  ∵，平分， ∴=1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，          ∵， ∴， ∴ 押题解读 本考点为必考考点，与圆相关的综合题近年聚焦切线证明、圆周角定理及几何综合应用，如结合矩形、相似三角形的动态问题。2025年或强化跨学科融合与新定义题型，例如圆锥周切面分析、圆与坐标系的综合计算，建议重点掌握切线性质、垂径定理及阴影面积计算，关注动态几何与实际问题建模。 1．如图，是的直径，C为上一点，连接，延长至点D，使得，点E为的中点，连接交于点F，连接． (1)求证：为的切线 (2)求证：； (3)若，，则直接写出_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图：连接，可知进而证得，再根据圆周角定理可得，可推出，从而证得结论； （2）如图连接，利用圆周角定理即可证明； （3）由已知易证，于是；再结合已知条件可得，再根勾股定理列方程求得， ；由，然后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是直径， ∴，即， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴为的切线； （2）证明：如图：连接， ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， ， ∵； ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，能够灵活运用相关知识是解题的关键． 2．如果三个数满足，即，那么称是和的比例中项．比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示．如图，点在数轴上分别表示实数，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点，使得点表示的正数，恰好是数和的一个比例中项．方法如下： 第步：作以为直径的圆； 第步：______的其中一点记为点； ．以为圆心，为半径画圆，交圆 ．以原点为圆心，为半径画圆，交圆 ．以为直径作圆，交圆 ．作的垂直平分线，交圆 ．以为直径作圆，再过点作的垂线，交圆 第步：以原点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求． (1)请选出你认为第步中正确作法对应的字母：______（只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点，要求保留作图痕迹，不需要写出作法． (2)若，写出此时圆的直径______． 【答案】(1)或，理由见解析 (2) 【分析】（）根据作图步骤判断即可求解； （）根据比例中项的定义及（）中的结果解答即可求解； 本题考查了比例式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：第步中正确作法对应的字母：或，理由如下： 选： 证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴，   ∴， ∴， 即，故点即为所求； 选： 证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵，   ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， 即，故点即为所求； 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 押题猜想九 二次函数的综合问题 1．问题初探 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，的取值范围为___________； ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成的形式，确定抛物线对称轴为直线，通过和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了的取值范围；请你很据上述两名同学的分析写出的取值范围是___________； 类比分析 （2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决何题，为了让同学们更好的感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答；已知二次函数当时，求的最大值．并写出的取值范围； 学以致用 （3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若．求的值． 【答案】（1），（2），（3）或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）①根据二次函数的性质进行求解即可；②根据二次函数的图象进行解答即可； （2）分①，②，即，③当三种情况分别进行解答即可； （3）根据的取值范围分别进行解答即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时， 当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为， 即的取值范围为； ②二次函数的图象为 由图象可知，当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为， 即的取值范围为； 故答案为： （2），对称轴是． ①当，即时， 时，有最大值，；3分 ②当，即时， 时，有最大值，；4分 ③当，即时， i．，即， ， 当时，有最大值，， ii．，即， ． 时，有最大值，， 综上，； （3）对称轴直线是， ①当时， ， ， 解得（舍）； ②当，即时， ， ， 解得（舍）； ③当，即时， i．，即， ； ； ， ． 解得（舍）． ii．，即， ； ， ． 解得（舍）． 综上，或． 押题解读 本考点为必考考点，函数与几何图形综合题近年聚焦二次函数与三角形、四边形动态结合，常考面积最值、存在性问题及几何变换（如旋转、折叠）与函数图像的关联。2025年或强化跨学科融合（如物理运动轨迹）及新定义题型，例如抛物线与圆的切线性质结合、反比例函数与特殊四边形的综合建模。建议重点掌握动态几何中坐标与图形的转化、相似三角形应用及二次函数顶点式的灵活运用，关注动点轨迹分析与极值问题的代数解法。 1．中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为 ，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______． 【答案】问题1：；问题2：；问题3： 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 问题1：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 问题2：本题通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解． 问题3：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】问题1： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为． 问题2： 解：碗中液面高度（离桌面距离）为，， 这时液面的纵坐标为， 当时，有，解得，， 则液面宽度为．　 问题3： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ∴ ， 设直线的解析式为， 则，解得， ， 联立方程组， 解得或（舍）， ， ． 2．【项目主题】合理设计，实用便民 【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动： 素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴． 素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线） 素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长． 根据提供素材，完成下列问题： (1)数学小组计算出的长度，具体如下： 解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③． 请补全上述求解过程中①②③所缺的内容： (2)根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）． (3)求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装． 【答案】(1)①，②，③； (2) (3)，长的材料能完成灯架和支架的安装 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质即可得到答案； （2）根据题意得到，将代入解析式求出，即可得到答案； （3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为 求出的值，得到的值，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：设，步， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：①，②，③； （2）解：抛物线：的最高点离地面， ， 把代入得， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）解：的坐标为，， 的横坐标依次为， 的横坐标依次为， 设的坐标依次为 把代入得， 解得：， ， 同理可得，，； ，； ， ， ， 长的材料能完成灯架和支架的安装． 3．在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽的中点为C，图象的顶点为D，测得为m厘米时，为n厘米． 【猜想】（1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是_______．    【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2   如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则：，所以点坐标为__________；将点坐标代入，得到n与m的关系式是__________．   如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为_________；将点B坐标代入，得到n与m的关系式是_________． 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由___________决定． 【应用】（3）已知轴且，两个二次函数和的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 【答案】（1）描点连线见解析，；（2）选择方法一，，，a；（3）或 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． （1）描点连线绘制函数图象即可，再用待定系数法即可求函数表达式； （2）方案一：；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； （3）对于第一个二次函数：，由，得，则第二个二次函数距线段的距离的，进而求解． 【详解】解：（1）描点连线绘制函数图象如下： 由题意得，点， 将点B的坐标代入函数表达式得：： 故答案为：： （2）方案一：点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 则， 方案二：点 将点B的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：，则， 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由a决定． （3）由题意知：，由（2）知① 对于抛物线，可知，设 则，即 对于抛物线，设 因为两个函数的顶点之间的距离是10， 所以，即，所以或 当时，代入①式，则有，所以 当时，代入①式，则有，所以 综上，或 押题猜想十 几何变换的综合问题 1．已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点． 【探索发现】 （1）如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下， ①的度数为___________； ②连接，证明； 【拓展思考】 （3）如图2，若正方形的边长，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析；（3）或． 【分析】（1）依题意补全图形，连接，由正方形和旋转的性质可得，由角平分线的定义可得，再通过证明即可求解； （2）①设，则，由可得，由可得，再根据计算即可求解； ②连接和，得和为等腰直角三角形，，，由等角减同角相等可得，以此可证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）分两种情况：当为对角线时此时，；当为对角线时，连接，同（1）可证：，得到，由可得，，由四边形内角和定理得到，进而求得，于是是等腰直角三角形，同（2）②可证：，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：（1）“尺规作图”补全图形如图： 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转知，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①连接 设， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②证明：如图，连接和， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）当为对角线时，如图， 此时，； 当为对角线时，如图，连接， ∵四边形为边长为4的正方形， ∴， 同（1）可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同（2）②可证：，且， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上，或． 【点睛】本题主要考查尺规作图、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确作出辅助线，灵活应用相关知识解决问题是解题关键． 押题解读 本考点为必考考点，几何图形变换综合题近年聚焦旋转、翻折与坐标系结合，常考动态几何与存在性问题，如折叠后线段关系及旋转角度计算。2025年或强化跨学科融合与新定义题型，如变换与物理运动结合或自定义变换规则，建议重点掌握动态轨迹分析、相似三角形应用及辅助线构造技巧。 1．在正方形中，，点是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图，过点作，求证：； (2)【类比探究】如图，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，的面积为或，的面积为； (3)的最小值为． 【分析】（）由正方形的性质得，，再通过同角的余角相等证出 由相似三角形的判定可得出结论； （）分两种情况当时， 作于点， 证明，得出，求出则可得出答案；当时，作于点，求出可得出答案； （）点在以的中点为圆心的圆上，延长交的延长线于点，证明，得出，得出，则最小，最大，即，求出可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， （2）解： 如图，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，只有以下两种可能： 当时，作于点，如图所示， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得（负值舍去）， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴此时点三点共线， ∴； 当时，作于点，如图所示， 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 综上所述，，的面积为或，的面积为； （3）解：的最小值为， ∵， ∴点在以的中点为圆心的圆上，延长交的延长线于点， 设，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 若最小，即最小，则最大，当最大时，与圆相切， 即， 设， ∴， ∴， ∴，解得或(舍)， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，圆的切线的性质等知识，掌握相知识点的应用是解题的关键． 2．已知：中，E在上，F在上，． (1)如图1，D、F重合，，，，求的长． (2)如图2，若F为中点，，求． (3)如图3，中，，P为对角线上一动点，过P作直线使得，分别交直线、于点F、E，若，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）证明，则代入数值即可得到答案； （2）延长交的延长线于点Q，设，则，则，由四边形是平行四边形得到，，证明，则，，得到，证明，得到，，求出，求出，设，则，则，即可得到答案； （3）先证明四边形是平行四边形，得，结合四边形是平行四边形，以及等角对等边得，证明是等边三角形，再结合三角形的三边关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值不合题意，舍去）； （2）解：延长交的延长线于点Q，设，则，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，， ∵F为中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，则， ∴； （3）解：将平移到，点D的对应点是点，点E的对应点是点，连接，如图所示： 由平移的性质得， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， 当三点共线时，则，即取最小值； 此时的最小值为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定和性质、三边关系的应用、等边三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线和熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（1）如图1， 在正方形中， E为边上一点， F为延长线上一点， 且， ①与之间的数量关系为 ． ② G，H分别是中点，连接，请证明：． （2）如图2，在矩形中，，E为边上一点，F为延长线上一点， ，G，H分别是中点，连接，已知，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，，E为边上一点，F为延长线上一点，且，G，H分别是中点，连接，当 时，请直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①根据正方形的边角性质，结合，证明，即得；②连接，根据直角三角形斜边中线性质，结合①结果可得，证明，即得； （2）连接，根据矩形边角性质，结合，证明，得，，根据直角三角形斜边中线性质和等腰三角形性质证明 ，得,结合，得； （3）连接，延长交于点I，连接，过点C作于点J，根据平行四边形性质和等腰三角形性质证明，结合，得，得，得，结合中点性质得，得，得，得，证明，得，得， ,证明，可得,根据,得，得点I、J重合，即得 【详解】（1）①∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，延长交于点I，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点J， 则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的性质，等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，等腰三角形性质，是解题的关键． 4．【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3）的长为或 【分析】（1）延长交的延长线于点P，利用矩形的性质以及线段中点可证得，由全等的性质可得出，再证明即可得出，由线段的中点可得出，即可得出． （2）设的中点为，连接，由三角形中位线的判定以及性质得出，进而得出，由相似三角形的性质进而得出，再结合即可得出． （3）连接，先证明是的中位线，，根据题意可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．当三点共线时，分以下两种情况进行讨论．画出图形结合正方形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）． 理由∶如下图，延长交的延长线于点P，    图4 ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴ （2）不变． 理由如下：设的中点为，连接，如下图所示．   是的中点， 是的中位线． ． ． ． ， ． （3）或． 理由如下： 连接， 如下图 分别是，的中点， 是的中位线， ∴． 由题意，可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆． 当三点共线时，分以下两种情况进行讨论． ①当点在线段上时，连接， 过点作于点，如下图所示，    ∵为正方形，B为中心， ∴ ， ， 在中，， ． ． ． ②当点在线段上时，连接，过点作，如下图所示， 同理 ∴ 在中， ． ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质等知识，熟虑掌握以上知识是解题的关键， ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$