专题05 二元一次方程组（十大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题05 二元一次方程组 题型概览 题型01二元一次方程的定义 题型02二元一次方程的解 题型03解二元一次方程组 题型04二元一次方程组的错解复原问题 题型05二元一次方程组的特殊解法 题型06构造二元一次方程组求解 题型07二元一次方程组中同解方程组 题型08二元一次方程组解决方案问题 题型09二元一次方程组解决销售、利润问题 题型10二元一次方程组中的新定义型问题 ( 题型01 )二元一次方程的定义 1．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）在下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程，故本选项符合题意； C、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（2023-24七年级下·山东德州·期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. 是二元一次方程，故该选项符合题意； B. ，分母有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C. ，含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D. 含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，， 解得： 故选B． 4．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）若方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， ， ∴ 故答案为：． ( 题型0 2 )二元一次方程的解 5．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）下列是二元一次方程解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、把代入二元一次方程，左边右边，故不是方程的解，选项不符合题意； B、把代入二元一次方程，左边右边，，故是方程的解，选项符合题意； C、把代入二元一次方程，左边右边，故不是方程的解，选项不符合题意； D、把代入二元一次方程，左边右边，故不是方程的解，选项不符合题意； 故选：B． 6．（2023-24七年级下·山东德州·期末）二元一次方程与下面（   ）方程组成的方程组的解是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：当时，，故A不正确； B选项：当时，，故B正确； C选项：当时，，故C不正确； D选项：当时，，故D不正确； 故选：B． 7．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．13 B．11 C．7 D．9 【答案】C 【详解】解：把代入方程，得：， ∴； 故选：C． 8．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）写出关于的二元一次方程的所有正整数解 ． 【答案】 【详解】解：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴所有正整数解为， 故答案为： ． 9．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）若是方程的解，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为： 10．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知当时，关于的二元一次方程和有相同的解，求的值． 【答案】． 【详解】解：把代入中得，， 解得：， ∴相同的解为， ∴ 代入方程得， ∴ ． ( 题型0 3 )解二元一次方程组 11．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2）解：原方程组化为：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 12．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 【答案】2 【详解】解：， 得：， 把③代入②得：， ， ， ， 故答案为：2． 13．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）解关于，的方程组可以用，消去未知数，也可以用消去未知数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ，消去未知数，得， ∴， ，消去未知数，得， ∴， 得，， ∴， 故选：． 14．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）已知是关于的方程的解，若是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：因为是关于的方程的解，， 所以， 所以， 因为是方程组的解， 所以， ，得， 所以， 所以． 故答案为：． 15．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务． 解方程组 解：由①得，③第一步 把③代入①，得，第二步 整理得．第三步 因为x可以取任意实数，所以原方程组有无数个解．第四步 任务： (1)这种解方程组的方法称为_________． (2)小林的解法正确吗？_________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，那么错在第_________步，并选择恰当的方法解该方程组． 【答案】(1)代入消元法 (2)不正确，二；见解析 【详解】（1）解：这种解方程组的方法称为代入消元法； 故答案为：代入消元法； （2）解∶小林的解法不正确，错在第二步， 由①得③， 把③代入②得：， 解得， 把代入③得：， 故方程组的解是：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程的方法的掌握． 16．（2023-24七年级下·山东济南·期末）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 【答案】(1)，；1，3 (2) 【详解】（1）解：依题意，设，， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 故答案为：，；1，3． （2）解：∵， ∴设， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得， 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． ( 题型0 4 )二元一次方程组的错解复原问题 17．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则 ． 【答案】7 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：7． 18．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）马虎的小李同学在解方程组的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为；而粗心的小杨同学把方程组抄成了，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为，则题目中的b= ． 【答案】28 【详解】解：由题意，方程y=kx+8的解为， ∴1=k+8，解得k=-7， 当k=-7时，方程组为， 由于该方程组的解为， 所以7=-21+b ∴b=28 故答案为：28． 【点睛】本题考查方程组的解和解一元一次方程．方程组的解是使方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，故可将所得方程组的解代入其中一个方程，依次求出对应的k和b． 19．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）已知方程组的正确解是小马虎因抄错C，解得，请求出A，B，C的值． 【答案】 【详解】解：由题意得， 由②得C＝1， ①×3+③得14A＝28， 解得A＝2， 把A＝2代入①得B＝3． 所以． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，关键是明白二元一次方程的解的定义以及方程组的解法． 20．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两人同求方程的整数解，甲求出一组解为，而乙把中的7错看成1，求得一组解为，试求、的值． 【答案】 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 由①②组成的方程组得： 解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键． 21．（2023-24七年级下·山东济南·期末）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】2 【详解】解：∵甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为， 把代入，得， ∴ ∴， 把代入，得， ∴ ∴， ∴． ( 题型0 5 )二元一次方程组的特殊解法 22．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，方程组的解为， 方程组整理得：， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：B． 23．（2023-24七年级下·山东日照·期末）已知实数x、y、k满足，则代数式的值是（    ） A．4 B．6 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：， ，得， 故选：C． 24．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由得， 令，， 将可变为， ∵如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足： ， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足， 即， 故选：B ． 25．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：C． 26．（2023-24七年级下·山东济南·期末）若方程组的解是，则方程组的解 ． 【答案】 【详解】解：， 将方程组变形得，， ∵的解是， ∴， 解得，， 故答案为： ． 27．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，4，1， (2)； (3)． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：，4，1，； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． ( 题型0 6 )构造二元一次方程组求解 28．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∴将，代入得， 故选：D． 29．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（   ） A．1，0 B．0， C．2，1 D．1， 【答案】C 【详解】解：是二元一次方程， ， 解得； 故选：C． 30．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）若实数x，y满足，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 31．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中为常数，则的值为 ． 【答案】29 【详解】解：依题意， 解得， ∴， 故答案为：29． 32．（2023-24七年级下·山东德州·期末）已知正实数x的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）由题意得，即， 当时，， 解得． （2）由题意，得， ， 解得 ∴． 33．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）如表，这是一个三阶幻方，将9个数填在的方格中，满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，求的值． 5 1 【答案】． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则． ( 题型0 7 )二元一次方程组中同解方程组 34．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于x，y的二元一次方程和关于m，n的二元一次方程的公共解， 将整理为， ∴， 解得：， ∴关于的二元一次方程组的解是， 故选：A． 35．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）若关于、的二元一次方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组和有相同的解， ∴， ，得：， 解得：， 把代入，得：， ∴方程组的解为， 把代入方程组得： ，得：， ∴， 即的值为． 故答案为：D． 36．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：解方程组， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， 把分别代入，， 可得：， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， ． 故答案为： ． 37．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）已知方程组和有相同的解，求的值． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得． 将，代入方程得， 将，代入方程得， 那么，，解得， 则． 38．（2023-24七年级下·山东济南·期末）已知关于，的方程组和方程组的解相同． (1)求出这两个方程组的相同解； (2)求出的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同， ∴联立①和③得：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：把代入②和④得：， 由得：， 解得：， 把代入⑤得：， 解得：， ∴． ( 题型0 8 )二元一次方程组解决方案问题 39．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【详解】解：购买了x本笔记本，y支的签字笔， 则， 即． ∴，，，， ∴购买方案有4种； 故选：A 40．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输190吨物资所有可行的运输方案． 【答案】(1)A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； (2)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 【详解】（1）解：设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨， 则根据题意，得， 解得， 答：A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； （2）解：设A、B两种货车各需要m辆、n辆， 则， ∴， ①当时，； ②当时，； ③当时，． ∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 41．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？ (3)若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； (2)有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 42．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)3，1 (2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (3)共有2种方案可供选择，详见解析 【详解】（1）解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； （2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 43．（2023-24七年级下·山东德州·期末）某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 【答案】(1)A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人 (2)见解析 (3)租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元 【详解】（1）设A型车每辆载学生人，B型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人． （2）设租用A型辆，B型辆， 可得：， 因为a，b为正整数，所以方程的解为：，， 所以有三种方案： 方案一：A型1辆，B型8辆； 方案二：A型5辆，B型5辆； 方案三：A型9辆，B型2辆． （3）方案一：费用：元； 方案二：费用：元； 方案三：费用：元； 所以租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元． 44．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨． (1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少吨？ (2)现有14吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请求出所有的运输方案． 【答案】(1)每辆大货车一次可以运货3吨，每辆小货车一次可以运货2吨 (2)租2辆大货车和4辆小货车，或租4辆大货车和1辆小货车 【详解】（1）解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆大货车一次可以运货3吨，每辆小货车一次可以运货2吨； （2）解：设租辆大货车，辆小货车，依题意得： ， ∵欲租用这两种货车运送， ∴、都是整数， ∴，， 答：租2辆大货车和4辆小货车，或租4辆大货车和1辆小货车． 45．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）随着长沙中考政策的调整和课间时间的延长，为了丰富孩子们的课余生活，提高孩子们体育锻炼的积极性，吕老师准备给每班发一些乒乓球和跳绳．已知盒乒乓球和根跳绳元，盒乒乓球和根跳绳共计元． (1)求盒乒乓球和根跳绳的售价分别为多少元？ (2)若吕老师计划正好用元零花钱购买以上两种体育器材，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元 (2)有种购买方案 【详解】（1）解：设盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元； （2）设购进盒乒乓球和根跳绳， 根据题意得：， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，； 答：有种购买方案：①购进盒乒乓球和根跳绳；②购进盒乒乓球和根跳绳． ( 题型0 9 )二元一次方程组解决销售、利润问题 46．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用1600元的资金购进A、B两种娃娃共184个，那么可购买A种娃娃和B种娃娃各多少个？ 【答案】(1)每个A种娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是7元 (2)可购买A种娃娃104个、B种娃娃80个 【详解】（1）解：设每个A种娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是7元； （2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个， 由题意得：， 解得：， ∴（个）， 答：可购买A种娃娃104个、B种娃娃80个． 47．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 【答案】(1)甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶 (2)6天 【详解】（1）解：设甲种洗手液的单价为x元/瓶，乙种洗手液的单价为y元/瓶，由题意得： ， 解得：， 答：甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶． （2）解：设七年级采购甲、乙两种洗手液各m瓶，n瓶，由题意得： ， ∴， ∴（天）； 答：这批洗手液可使用6天． 48．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 【答案】(1)70 ；130 (2)八折 【详解】（1）解：设甲类x个，则乙类y个，由题意得： ， 解得： ∴（个）， 答：甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个． （2）设甲类打y折，由题意得： ， 解得：． 答：甲类纪念品打了八折． 49．（2023-24七年级下·山东威海·期末）菜农王大叔在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元/公斤） 零售价（元/公斤） 他共用116元钱从市场上批发了辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出王大叔一天能赚多少钱？ 【答案】王大叔一天赚211元钱 【详解】解：设买辣椒，西红柿， ， 解得， ∴（元） 答：王大叔一天赚211元钱． 50．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，购买两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．求每顶A种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格？ 【答案】每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元 【详解】解：设每顶A种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元， 依题意可得：， 解得：， 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元． ( 题型 10 )二元一次方程组中的新定义型问题 51．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）对于，定义一种新运算“”为：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么 ． 【答案】13 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 52．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 53．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5． (1)如果，2〇，求的值； (2)若1〇，4〇，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：由题意可得， 解得：， 即，． 54．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． (1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） (2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； (3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）由题意得：， ， ， ∵，为正整数， 或； （3）由题意得： ， 得：， 得：， ， ， ， 把代入得：， 解得， ∴的值为． 55．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为1，n的值为5 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：； （2）解：由题意得，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴把代入、 得， 解得， ∴m的值为1，n的值为5． 56．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)52 (2)13，31 (3)是常数为9，见解析 【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：20，52，44中，“相异数”为52； （2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足 ∴ ∴ 即 ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零 ∴当时，，此时b的值为13； 当时，，此时b的值为31； ∴所有“相异数”b的值为13，31； （3）解：是常数，理由如下： ∵m、n都是“相异数”，且 设，则 ∴ ， ∴． 57．（2023-24七年级下·山东威海·期末）定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 【答案】 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 联立， 解得， 将代入方程得：， 解得：． 一、单选题 1．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 2．（2023-24七年级下·山东威海·期末）蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道，则三人一共做出题目总数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设道难题，道中档题，则有容易题， 根据题意得，， ∴， ∴， ∴三人一共做出了道题． 故选：C． 3．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 【答案】D 【详解】解：①每个小组的工程师需求： 型：人 型：人 型：人 设型小组数为，型为，型为． 根据条件：①；， ， ② 由①得：，代入②： 解得： ∴，且 ， ， 所以 ， 或 ， （不满足 ）等， 唯一解是 ， ． 因此，型小组数为个，结论①正确； ②设硬件工程师总数为，软件工程师为，依题意， ： 解得：， 设型小组数为，型为，型为． 当组建型号的研发小组个数分别为2，2，4时， 需要硬件工程师人数为：，故②正确 故选：D． 4．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（   ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【详解】解：当，，为原位大三和弦时，则且， ∴， ∴或或或或， ∴原位大三和弦的个数为5个； 当，，为原位小三和弦时，则且， ∴， ∴或或或或， ∴原位小三和弦的个数为5个； ∴用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为， 故选：C． 5．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论正确的有几个（   ） ①当时，方程组的解也是的解； ②x，y均为正整数的解只有1对； ③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数： ④若方程组的解满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：解方程组得： ，则； 当时，，方程组的解为， ∴，故①正确； 当时，；当时，； 即x，y均为正整数的解有2对，故②错误； 若x、y的值互为相反数，即，由知，得，矛盾，故③正确； 把方程组的解代入中，得，解得，故④正确； 故正确的有三个； 故选：C． 6．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：， 得：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ∴，解得，①结论正确； 当时，方程组为，方程为， 解得： 将代入中，得：， 方程组的解是方程的解，②结论正确； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：A． 二、填空题 7．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）．观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 ． 【答案】64 【详解】解：由图可知： ， ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 则． 故答案为：64． 8．（2023-24七年级下·山东德州·期末）若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 【答案】 【详解】解：解得， ， 把代入得， ， 解得， ． 故答案为：． 9．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）俗话说：“好事成双”；“双”在中国传统文化里有吉利、繁荣和团聚的意义；被认为是幸福和好运的象征．规定：一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ；若“成双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，能被7整除，则满足条件的“成双数”中的最小数为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意：； 设m的千位数字为a，百位数字为b， ∵“成双数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8， ∴m的个位数字为， ∵千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍， ∴百位上的数字与十位上的数字之和为4， ∴m的十位数字为， ∴，（，且为整数）， ∴， ∴ ， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∵，且为整数， ∴， ∴或0， ∴或， 当时，则， 故或（舍去）， 则此时， 当时， ∴或或（不符合题意）， ∴或， 所有满足条件的“成双数”中的最小数为， 故答案为：；． 10．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，已知点，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）若实数满足，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，由，得，不符合题意， 当时，由，得， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知关于，的方程组． (1)解这个方程组，它的解用含的代数式表示； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： 得： ∴ 得， 解得： 故答案为：；． （2）解：由（1）可得， ∵ ∴ 解得： 13．（2023-24七年级下·山东日照·期末）定义：数对(x，y)经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如：当时，． (1)当时，___________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对(x，y)的两个数满足二元一次方程时，总有，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当，时，， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：由题可得 解这个方程组，得； （3）解：， ． 将代入， 得 由①得． ， ． 同理，由②得． 联立得 解得 14．（2023-24七年级下·山东济南·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，求出正确的a，b的值 【答案】， 【详解】解：根据题意，； 把代入的②中，得， 解得； 把代入①中，得， 解得， 故，． 15．（2023-24七年级下·山东东营·期末）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)结论正确，理由见解析 【详解】（1）解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5， 所以，填写表格如下： x … 5 11 17 … y … 1 … （2）解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是和； 故答案为：，； （3）解：结论正确，理由如下， 5和3的最大公约数为1，能被1整除， ∵1能整除任意正整数k， ∴必有整数解， 假设是方程的一个解， ∴， 对于任意整数，令，， 代入方程左边得，， ∴是方程的解， 由于整数有无数个， ∴方程有无数组整数解， 综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立． 16．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“2阶关联点”．例如，点，则点是点的“2阶关联点”． (1)若点，则点的“2阶关联点”的坐标为____________； (2)若点的“2阶关联点”的坐标为，则点的坐标为____________；若轴上的点是的“2阶关联点”，则，的关系式是：____________； (3)若点是点的“2阶关联点”，点向右平移3个单位可与点重合，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）解：因为点是点的“2阶关联点”，且点， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：令点的坐标为， ∵点的“2阶关联点”的坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∵点是的“2阶关联点”， ∴点的坐标为， ∵点在y轴上， ∴， 即，的关系式为， 故答案为：；； （3）解：令点的坐标为， ∵点是点的“2阶关联点”， ∴点的坐标为， 将点向右平移3个单位后，所得点的坐标为， ∵与重合， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 17．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元 (2)有4种购买方案：①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯；④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； (3)B款加料的奶茶买了8杯 【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 解得：， 、n均为正整数， ，，，， ∴有4种购买方案： ①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯； ②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯； ③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯； ④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ，，均为正整数， ， ， 解得：， ，， ， 答：B款加料的奶茶买了8杯． 18．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题： (1)已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____； (2)“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值． 【答案】(1)A (2)存在唯一“超级中国结”的坐标为 (3)的值为 【详解】（1）解：，“复兴线”， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 故选：A； （2）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”， 当时，由，消去得到：， ∴此方程的解的情况决定“超级中国结”的存在情况， ①当，即时，方程无解，不存在“超级中国结”； ②当，即时，方程有无数个解，此时存在无数个“超级中国结”，“超级中国结”的坐标可表示为（为任意实数）； ③当，即时， 得， ∴这种情况下存在唯一“超级中国结”的坐标为． （3）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”， ∵，即纵坐标相等， ∴轴，“奇妙中国结”的纵坐标为， 代入，整理得， 当，即时，等式不成立，舍去， 当，即时，， ∵均为整数， ∴，或， 对应的， 当时，，此时“奇妙中国结”没有在线段上，应舍去， ∴的值为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组 题型概览 题型01二元一次方程的定义 题型02二元一次方程的解 题型03解二元一次方程组 题型04二元一次方程组的错解复原问题 题型05二元一次方程组的特殊解法 题型06构造二元一次方程组求解 题型07二元一次方程组中同解方程组 题型08二元一次方程组解决方案问题 题型09二元一次方程组解决销售、利润问题 题型10二元一次方程组中的新定义型问题 ( 题型01 )二元一次方程的定义 1．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）在下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24七年级下·山东德州·期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）若方程是二元一次方程，则 ． ( 题型0 2 )二元一次方程的解 5．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）下列是二元一次方程解的是（   ） A． B． C． D． 6．（2023-24七年级下·山东德州·期末）二元一次方程与下面（   ）方程组成的方程组的解是 A． B． C． D． 7．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．13 B．11 C．7 D．9 8．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）写出关于的二元一次方程的所有正整数解 ． 9．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）若是方程的解，则 ． 10．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知当时，关于的二元一次方程和有相同的解，求的值． ( 题型0 3 )解二元一次方程组 11．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）解方程（组）： (1) (2) 12．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 13．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）解关于，的方程组可以用，消去未知数，也可以用消去未知数，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）已知是关于的方程的解，若是二元一次方程组的解，则的值为 ． 15．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务． 解方程组 解：由①得，③第一步 把③代入①，得，第二步 整理得．第三步 因为x可以取任意实数，所以原方程组有无数个解．第四步 任务： (1)这种解方程组的方法称为_________． (2)小林的解法正确吗？_________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，那么错在第_________步，并选择恰当的方法解该方程组． 16．（2023-24七年级下·山东济南·期末）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． ( 题型0 4 )二元一次方程组的错解复原问题 17．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则 ． 18．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）马虎的小李同学在解方程组的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为；而粗心的小杨同学把方程组抄成了，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为，则题目中的b= ． 19．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）已知方程组的正确解是小马虎因抄错C，解得，请求出A，B，C的值． 20．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两人同求方程的整数解，甲求出一组解为，而乙把中的7错看成1，求得一组解为，试求、的值． 21．（2023-24七年级下·山东济南·期末）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． ( 题型0 5 )二元一次方程组的特殊解法 22．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 23．（2023-24七年级下·山东日照·期末）已知实数x、y、k满足，则代数式的值是（    ） A．4 B．6 C．5 D．7 24．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（   ）． A． B． C． D． 25．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 26．（2023-24七年级下·山东济南·期末）若方程组的解是，则方程组的解 ． 27．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． ( 题型0 6 )构造二元一次方程组求解 28．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 29．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（   ） A．1，0 B．0， C．2，1 D．1， 30．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）若实数x，y满足，则 ． 31．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中为常数，则的值为 ． 32．（2023-24七年级下·山东德州·期末）已知正实数x的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求x的值． 33．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）如表，这是一个三阶幻方，将9个数填在的方格中，满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，求的值． 5 1 ( 题型0 7 )二元一次方程组中同解方程组 34．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 35．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）若关于、的二元一次方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 36．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 37．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）已知方程组和有相同的解，求的值． 38．（2023-24七年级下·山东济南·期末）已知关于，的方程组和方程组的解相同． (1)求出这两个方程组的相同解； (2)求出的值． ( 题型0 8 )二元一次方程组解决方案问题 39．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 40．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输190吨物资所有可行的运输方案． 41．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？ (3)若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 42．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 43．（2023-24七年级下·山东德州·期末）某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 44．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨． (1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少吨？ (2)现有14吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请求出所有的运输方案． 45．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）随着长沙中考政策的调整和课间时间的延长，为了丰富孩子们的课余生活，提高孩子们体育锻炼的积极性，吕老师准备给每班发一些乒乓球和跳绳．已知盒乒乓球和根跳绳元，盒乒乓球和根跳绳共计元． (1)求盒乒乓球和根跳绳的售价分别为多少元？ (2)若吕老师计划正好用元零花钱购买以上两种体育器材，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． ( 题型0 9 )二元一次方程组解决销售、利润问题 46．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用1600元的资金购进A、B两种娃娃共184个，那么可购买A种娃娃和B种娃娃各多少个？ 47．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 48．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 49．（2023-24七年级下·山东威海·期末）菜农王大叔在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元/公斤） 零售价（元/公斤） 他共用116元钱从市场上批发了辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出王大叔一天能赚多少钱？ 50．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，购买两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．求每顶A种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格？ ( 题型 10 )二元一次方程组中的新定义型问题 51．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）对于，定义一种新运算“”为：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么 ． 52．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 53．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5． (1)如果，2〇，求的值； (2)若1〇，4〇，求，的值． 54．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． (1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） (2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； (3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． 55．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 56．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 57．（2023-24七年级下·山东威海·期末）定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 一、单选题 1．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2023-24七年级下·山东威海·期末）蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道，则三人一共做出题目总数为（    ）． A． B． C． D． 3．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 4．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（   ） A．5 B．8 C．10 D．15 5．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论正确的有几个（   ） ①当时，方程组的解也是的解； ②x，y均为正整数的解只有1对； ③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数： ④若方程组的解满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 7．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）．观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 ． 8．（2023-24七年级下·山东德州·期末）若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 9．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）俗话说：“好事成双”；“双”在中国传统文化里有吉利、繁荣和团聚的意义；被认为是幸福和好运的象征．规定：一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ；若“成双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，能被7整除，则满足条件的“成双数”中的最小数为 ． 10．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，已知点，则点的坐标为 ． 11．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）若实数满足，，则 ． 三、解答题 12．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知关于，的方程组． (1)解这个方程组，它的解用含的代数式表示； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 13．（2023-24七年级下·山东日照·期末）定义：数对(x，y)经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如：当时，． (1)当时，___________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对(x，y)的两个数满足二元一次方程时，总有，求和的值． 14．（2023-24七年级下·山东济南·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，求出正确的a，b的值 15．（2023-24七年级下·山东东营·期末）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 16．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“2阶关联点”．例如，点，则点是点的“2阶关联点”． (1)若点，则点的“2阶关联点”的坐标为____________； (2)若点的“2阶关联点”的坐标为，则点的坐标为____________；若轴上的点是的“2阶关联点”，则，的关系式是：____________； (3)若点是点的“2阶关联点”，点向右平移3个单位可与点重合，求点的坐标． 17．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 18．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题： (1)已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____； (2)“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$