专题03 平方根、立方根、实数（十一大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题03 平方根、立方根、实数 题型概览 题型01利用算术平方根的非负性求解 题型02利用平方根、立方根的定义解方程 题型03平方根和立方根的综合应用 题型04与算术平方根有关的规律探索题 题型05无理数的识别 题型06实数与数轴 题型07实数的大小比较 题型08无理数整数部分的有关计算 题型09实数的混合运算 题型10程序设计与实数运算 题型11新定义下的实数运算 ( 题型01 )利用算术平方根的非负性解题 1．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）若，则的值是 ； 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∴，， ∴， 故答案为： 2．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知与互为相反数，则的值是（　　） A．6 B．5 C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵与互为相反数， ∴，   即， 所以， 解得， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 3．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）若，那么 ． 【答案】10 【详解】解：， ，， 解得：，， 故 故答案为： 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，根据算术平方根和绝对值的非负性正确得出a，b的值是解题关键． 4．（2023-24七年级下·山东济南·期末）若，其中，均为整数，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵，其中，均为整数， 又∵，， ∴可分以下三种情况： ①，， 解得：，， ∴， ②，， 解得：，， ∴， ③，， 解得：，， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根的意义，运用了分类讨论的思想．解题的关键是得出，可能的取值． 5．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如果，那么的算术平方根为（    ） A．7 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴7的算术平方根是； 故选：B. 【点睛】本题考查了算术平方根的定义和非负数的性质，熟知算术平方根的非负性是解题关键. 6．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知，那么 ， ． 【答案】 2 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， ∴，． 故答案为：；2 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，解题的关键是根据题意得出，． ( 题型0 2 )利用平方根、立方根的定义解方程 7．（2023-24七年级下·山东济南·期末）已知，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D．不确定 【答案】C 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：或． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，解题时要注意有两个解． 8．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）实数x满足方程，则x的值为 ． 【答案】/0.5 【详解】解：∵ 故答案为： 【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义是解题关键. 9．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）若，则的值是（    ） A． B．5 C．5或 D．5或1 【答案】C 【详解】∵ ∴ ∴或． 故选：C． 【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质． 10．（2023-24七年级下·山东德州·期末）实数满足方程，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的求法． 11．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）若整数x，y，z满足，则称z为x，y的平方和数． 例如：，则5为3，4的平方和数． 请你根据以上材料回答下列问题（以下每一横线上填一个数字）： (1)数3，4的另一个平方和数为 　 　； (2)5还可以是数 　 　，　 　的平方和数； (3)若数与的平方和数是0，则x＝　 　，y＝　 　； (4)已知13是数与12的平方和数，求x的值． 【答案】(1) (2)， (3)，2 (4)或 【详解】（1）解：∵， ∴3，4的另一个平方和数为； （2）∵， ∴5还可以是数，的平方和数； （3）由题意可得：， ∴，， 解得：，； （4）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 解得：或． 【点睛】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方运算，解题的关键是理解平方和数的特征． ( 题型0 3 )平方根和立方根的综合应用 12．（2023-24七年级下·山东济南·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2) 【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数， ，，， ，； （2）解：由（1）可知，，，； ， 的平方根是． 13．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是3． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)14 (2)10 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2， ∴， 解得：， 又∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵， ∴的值为14. （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴的算术平方根是10． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根的概念，掌握算术平方根、立方根的概念是关键． 14．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）解∶一个正数的两个平方根分别是和， 解得∶， 则， 那么； （2）为的算术平方根，为的立方根，， ∴， 则． 15．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 【答案】 【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是和， 所以 所以 所以 因为与相等 所以 所以 所以． 所以的算术平方根是． 16．（2023-24七年级下·山东威海·期末）已知的两个平方根分别是，的立方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的立方根为2． ∴，， 解得，，， ， ∵， ∴的平方根是． （2）解：∵的算术平方根是3， ∴，     ∵， ∴， ， ∵， ∴的立方根是． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根． ( 题型0 4 )与算术平方根有关的规律探索题 17．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）有一列数按如下顺序排列：，，，，，，…，则第2015个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据已知数据可知，第个数为， 所以，第个数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查找一组数的规律，解题的关键是根据已知数据归纳总结出规律，并牢记乘方的运算法则（负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数）． 18．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）已知，，则的值约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握小数点的移动规律是解本题的关键． 19．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推断出相应的数字规律，是解题的关键． 20．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）根据下表估计 （精确到）． x 【答案】 【详解】解：， 由表格数据可得， 很接近， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查无理数的估算，根据表格数据判断出在与之间是解题的关键． 21．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为 ． 【答案】55 【详解】解：； ； ； ，…， ∴， ∴ ． 故答案为：55． 【点睛】此题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键． 22．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y z … (1)表格中　 　，　 　；　 　； (2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则　 　； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝　 　； (3)试比较与a的大小． 当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，． 【答案】(1)0.1；10；100 (2)①31.6；② (3)；或0； 【详解】（1），，． 故答案为：0.1；10，100； （2）①∵， ∴． ②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍， ∴． 故答案为：31.6；； （3）由表格中数据可知： 当时，； 当或0时，； 当时，， 故答案为：；或0；． 【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键． 23．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）阅读下列解题过程： ；；；…… (1)___________，___________； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）观察上面的解题过程， 则； （3）由（2）得，． 原式． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． ( 题型0 5 )无理数的识别 24．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）在实数，2.3333，，，中，为无理数的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】 解：在实数，2.3333，，，中， 无理数有 ，共有2个， 故选：A． 25．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）实数，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴实数，（相连两个之间依次多一个）中，无理数有（相连两个之间依次多一个），共个， 故选：． 26．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于． A、是有理数，则此项不符题意； B、中的，故该数不存在，则此项不符合题意； C、是无理数，且，则此项符合题意； D、是无理数，但，则此项不符题意； 故选：C． 27．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）在实数，，，中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是无理数，故A符合题意； B、，是整数，属于有理数，故B不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故C不符合题意； D、是整数，属于有理数，故D不符合题意； 故选：A． 28．（2023-24七年级下·山东济南·期末）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． 【答案】 【详解】解：①是分数，是有理数； ②是无理数； ③开方开不尽，是无理数； ④是整数，是有理数； ⑤是无限不循环小数，是无理数； 综上，无理数有个， 故答案为：． ( 题型0 6 )实数与数轴 29．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴原点在A、M之间，， ∴，，， ∴运算结果一定是正数的是， 故选：A． 30．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴可知，被覆盖的数在与之间； A．，不在与之间，故A错误； B．，不在与之间，故B错误； C．，在与之间，故C正确； D．，不在与之间，故D错误． 故选：C． 31．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知实数，则a在数轴上对应的点可能是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上对应的点可能是点D． 故选：D． 32．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知：， ∴，故B选项错误； 当，，故选项C错误； 无法得到与的关系，故选项A错误； ∵， ∴，， ∴， ∴，故选项D正确； 故选D． 33．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）如图，在方格中，每个小方格的边长为1，格点在数轴上，表示的数为1，以为圆心，长为半径画半圆，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得每个小方格的边长为1，则方格的面积为4， 则以为边的正方形的面积为：， ， 格点在数轴上表示的数为1， 点表示的数是， 故选：D． 34．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，数轴上点和点对应的数为0和2，点在线段上．则点所对应的一个无理数可以是 ． 【答案】 【详解】解：数轴上点和点对应的数为0和2，点在线段上，点所对应的是一个无理数， 点表示的数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． ( 题型0 7 )实数的大小比较 35．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）下列实数中，最大的无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：只有，是无理数，， 故选：D． 【点睛】本题考查无理数，实数的大小比较，解题关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数叫无理数，实数的大小比较． 36．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）比较两数的大小： ．（“>”“<”或“=”） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）在实数，，，中，最小的数是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 在实数，，，中，最小的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数大小比较，无理数的估算，算术平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 38．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）估计与的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 39．（2023-24七年级下·山东东营·期末）比较大小： ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． ( 题型0 8 )无理数整数部分的有关计算 40．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）的整数部分为 ，小数部分为 ． 【答案】 / 【详解】解：， ， 的整数部分为：， 小数部分为， 故答案为：， 41．（2023-24七年级下·山东日照·期末）估计的整数部分是 ． 【答案】1 【详解】解：∵， ， ， 则的整数部分是1， 故答案为：1． 42．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）若，为连续整数，且，则 ． 【答案】11 【详解】解：， ， ，， 即． 故答案为：11． 43．（2023-24七年级下·山东德州·期末）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是的整数部分，是它的小数部分， ∴ ∴． 故答案为：； 44．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）已知与的小数部分分别是和，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为：． ( 题型0 9 )实数的混合运算 45．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 46．（2023-24七年级下·山东济南·期末）计算: (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ． 47．（2023-24七年级下·山东德州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)9 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 48．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ( 题型 10 )程序设计与实数运算 49．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为时，输出的值是 ． 【答案】 【详解】解：当输入是时，取算术平方根是，是有理数； 再把输入，的算术平方根是，是有理数； 再把输入，的算术平方根是是无理数， 所以输出是． 故答案为：． 50．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为6，则输出的值为 ．    【答案】 【详解】解：输入的值为6时，按程序图计算为：， 开平方后为3时，，取相反数为，， 开平方后为时，， ， 故输出的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查程序设计与实数运算，解题的关键是掌握开平方的运算法则． 51．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 52．（2023-24七年级下·山东威海·期末）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． ( 题型 11 )新定义下的实数运算 53．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）我们来定义一种运算：．例如；再如，按照这种定义，当x满足（　　）时，． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题可知：， 整理得：， 解得：， 故选：A． 54．（2023-24七年级下·山东德州·期末）我们知道，不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“i”，使其满足．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数n，我们可以得到．同理可得，，．那么的值为（　　） A．1 B． C． D．i 【答案】B 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵， ∴原式 故选：B 55．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）定义运算：，则 ． 【答案】6 【详解】解：， ∴． 故答案为：6． 56．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ． 【答案】 【详解】解： 又a和b为两个连续正整数， 的立方根为． 故答案为：． 57．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）设x，y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“⊕”如下： (1)求 的值； (2)若 求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 一、单选题 1．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）估算的值是在（） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【详解】解：∵， 的值是在5和6之间； 故选：C． 【点睛】这道题主要考查了二次根式的估算，关键是要理解算术平方根与平方互为逆运算． 2．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则图中三角形的面积为（    ）    A．11 B．10 C．6 D．5 【答案】D 【详解】解：观察图形可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， 重叠部分也为正方形， ∵较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1， ∴较大的正方形的边长为，较小的正方形的边长为2，中间重叠部分的正方形边长为1； ∴空白部分的长方形的较小边长为， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系，从而求得、的长是解题的关键． 3．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）如图，小丽想用一块正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意得：， 解得（负值已舍）， 则长方形纸片的长为，宽为， ， ， ， 则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题关键． 4．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：的立方根为：，则4的算术平方根为2，2是有理数， 2的算术平方根为，是无理数， 则输出的是， 故选：C． 【点睛】本题考查立方根、算术平方根、有理数和无理数定义，正确把握运算顺序是解题关键． 5．（2023-24七年级下·山东德州·期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如题图2）上最接近的点是（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ∴， 而点对应的数在0和1之间， 所以，最接近的点是， 故选：C． 【点睛】本题考查的是无理数的估算，确定是解答本题的关键． 6．（2023-24七年级下·山东济南·期末）若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴ ∴； 故选C． 【点睛】本题考查实数的运算，无理数的估算．熟练掌握算术平方根，立方根的定义，无理数的估算，是解题的关键． 二、填空题 7．（2023-24七年级下·山东济南·期末）一个正数m的两个平方根分别为和，则这个正数m的立方根是 ． 【答案】4 【详解】解：根据题意，得：， ， ， ， ． ， ， 的立方根为4． 故答案为：4． 8．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 【答案】0或﹣1或﹣ 【详解】∵﹣2x﹣1＝0， ∴＝2x+1， ∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣． 故答案为：0或﹣1或﹣． 【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 9．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）先观察下列各式：， （1）计算： ； （2）已 知 n 为 正 整数， 通 过 观 察 并 归纳计算 . 【答案】 6 n 【详解】解：（1）解：， （2）解：； ； ； ； ……， ． 10．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）将一组数，，3，，，……，按下面的方法进行排列： ，，3，，， ，，，，，6 …… 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的无理数的位置记为 ． 【答案】 【详解】解：一组数，，3，，，……，中，最大的无理数为， 由题意可得，每6个数为一行，根号里面的数都是的倍数， ，， 位于第行第个数， 这组数中最大的无理数的位置记为， 故答案为：． 11．（2023-24七年级下·山东威海·期末）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段 ， ，则，，三条线段的数量关系为 ． 【答案】 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 三、解答题 12．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）已知的立方根是，b是25的算术平方根． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：由题意可知，，即， ，         ∴； （2）解：当时， ； ∴的平方根为． 【点睛】本题考查立方根, 平方根，算术平方根，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 13．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 14．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 【答案】(1)1，，3， (2)2 【详解】（1）解：，， ，，，， 故答案为：1，，3，； （2）解：，， ，， ， 的立方根是2． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平方根、立方根、实数 题型概览 题型01利用算术平方根的非负性求解 题型02利用平方根、立方根的定义解方程 题型03平方根和立方根的综合应用 题型04与算术平方根有关的规律探索题 题型05无理数的识别 题型06实数与数轴 题型07实数的大小比较 题型08无理数整数部分的有关计算 题型09实数的混合运算 题型10程序设计与实数运算 题型11新定义下的实数运算 ( 题型01 )利用算术平方根的非负性解题 1．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）若，则的值是 ； 2．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知与互为相反数，则的值是（　　） A．6 B．5 C． D．2 3．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）若，那么 ． 4．（2023-24七年级下·山东济南·期末）若，其中，均为整数，则 ． 5．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如果，那么的算术平方根为（    ） A．7 B． C．1 D． 6．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知，那么 ， ． ( 题型0 2 )利用平方根、立方根的定义解方程 7．（2023-24七年级下·山东济南·期末）已知，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D．不确定 8．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）实数x满足方程，则x的值为 ． 9．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）若，则的值是（    ） A． B．5 C．5或 D．5或1 10．（2023-24七年级下·山东德州·期末）实数满足方程，则的值为 ． 11．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）若整数x，y，z满足，则称z为x，y的平方和数． 例如：，则5为3，4的平方和数． 请你根据以上材料回答下列问题（以下每一横线上填一个数字）： (1)数3，4的另一个平方和数为 　 　； (2)5还可以是数 　 　，　 　的平方和数； (3)若数与的平方和数是0，则x＝　 　，y＝　 　； (4)已知13是数与12的平方和数，求x的值． ( 题型0 3 )平方根和立方根的综合应用 12．（2023-24七年级下·山东济南·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 13．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是3． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 14．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 15．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 16．（2023-24七年级下·山东威海·期末）已知的两个平方根分别是，的立方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． ( 题型0 4 )与算术平方根有关的规律探索题 17．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）有一列数按如下顺序排列：，，，，，，…，则第2015个数是（    ） A． B． C． D． 18．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）已知，，则的值约为（     ） A． B． C． D． 19．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 ． 20．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）根据下表估计 （精确到）． x 21．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为 ． 22．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y z … (1)表格中　 　，　 　；　 　； (2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则　 　； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝　 　； (3)试比较与a的大小． 当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，． 23．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）阅读下列解题过程： ；；；…… (1)___________，___________； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算：． ( 题型0 5 )无理数的识别 24．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）在实数，2.3333，，，中，为无理数的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 25．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）实数，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（    ）个． A． B． C． D． 26．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A． B． C． D． 27．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）在实数，，，中，无理数是（   ） A． B． C． D． 28．（2023-24七年级下·山东济南·期末）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． ( 题 型0 6 )实数与数轴 29．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 30．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（    ） A． B． C． D． 31．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知实数，则a在数轴上对应的点可能是（    ） A．A B．B C．C D．D 32．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 33．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）如图，在方格中，每个小方格的边长为1，格点在数轴上，表示的数为1，以为圆心，长为半径画半圆，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 34．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，数轴上点和点对应的数为0和2，点在线段上．则点所对应的一个无理数可以是 ． ( 题型0 7 )实数的大小比较 35．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）下列实数中，最大的无理数是（　　） A． B． C． D． 36．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）比较两数的大小： ．（“>”“<”或“=”） 37．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）在实数，，，中，最小的数是 ． 38．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）估计与的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 39．（2023-24七年级下·山东东营·期末）比较大小： ． ( 题型0 8 )无理数整数部分的有关计算 40．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）的整数部分为 ，小数部分为 ． 41．（2023-24七年级下·山东日照·期末）估计的整数部分是 ． 42．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）若，为连续整数，且，则 ． 43．（2023-24七年级下·山东德州·期末）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ． 44．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）已知与的小数部分分别是和，求的平方根． ( 题型0 9 )实数的混合运算 45．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）计算：． 46．（2023-24七年级下·山东济南·期末）计算: (1) (2) 47．（2023-24七年级下·山东德州·期末）计算： (1)； (2)． 48．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． ( 题型 10 )程序设计与实数运算 49．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为时，输出的值是 ． 50．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为6，则输出的值为 ．    51．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 52．（2023-24七年级下·山东威海·期末）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． ( 题型 11 )新定义下的实数运算 53．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）我们来定义一种运算：．例如；再如，按照这种定义，当x满足（　　）时，． A． B． C． D． 54．（2023-24七年级下·山东德州·期末）我们知道，不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“i”，使其满足．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数n，我们可以得到．同理可得，，．那么的值为（　　） A．1 B． C． D．i 55．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）定义运算：，则 ． 56．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ． 57．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）设x，y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“⊕”如下： (1)求 的值； (2)若 求m的值． 一、单选题 1．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）估算的值是在（） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则图中三角形的面积为（    ）    A．11 B．10 C．6 D．5 3．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）如图，小丽想用一块正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是（    ）    A． B． C． D． 4．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 5．（2023-24七年级下·山东德州·期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如题图2）上最接近的点是（    ）        A． B． C． D． 6．（2023-24七年级下·山东济南·期末）若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2023-24七年级下·山东济南·期末）一个正数m的两个平方根分别为和，则这个正数m的立方根是 ． 8．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 9．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）先观察下列各式：， （1）计算： ； （2）已 知 n 为 正 整数， 通 过 观 察 并 归纳计算 . 10．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）将一组数，，3，，，……，按下面的方法进行排列： ，，3，，， ，，，，，6 …… 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的无理数的位置记为 ． 11．（2023-24七年级下·山东威海·期末）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段 ， ，则，，三条线段的数量关系为 ． 三、解答题 12．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）已知的立方根是，b是25的算术平方根． (1)求的值． (2)求的平方根． 13．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 14．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$