专题02 平行线的拐点问题与动态问题（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题02 平行线的拐点问题与动态问题 题型概览 题型01猪蹄模型 题型02铅笔头模型 题型03牛角模型 题型04蛇形模型 题型05翻折问题 题型06旋转问题 题型07动点问题 ( 题型01 )猪蹄模型 1．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）如图，，点O在上，连接，若，则（   ）    A． B． C． D． 2．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）如图，a//b，的直角顶点C在直线b上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如图，已知，和分别平分和，若，则 度．（用含m的代数式表示） 5．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）【问题背景】 如图，点A是直线上一点，点C是直线上一点，B是直线之间的一点，连接，． (1)如图1，过点B作，试说明：； 【问题探究】 (2)如图2，作，与的角平分线交于点F，若，求的度数． ( 题型0 2 )铅笔头模型 6．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）如图，小区大门的栏杆AB垂直地面AE于A点，CD平行于地面AE，那么∠ABC＋∠BCD＝（    ） A．315° B．225° C．200° D．270° 7．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，直线  ，点A，B，C 分别在直线，，上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝ ． 9．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE；测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为 °． 10．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知，点B在射线上．    (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，设，，，猜想的数量关系，并说明理由． ( 题型0 3 )牛角模型 11．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 12．（2023-24七年级下·山东德州·期末）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为 ． 13．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如图，．    (1)如图，求证； (2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 14．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知，，点C在直线上方，连接，．若，，则的度数为 ．    ( 题型0 4 )蛇形模型 15．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C．7 D． 16．（2023-24七年级下·山东日照·期末）如图是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    18．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线，P是平面内一点，连接．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 19．（2023-24七年级下·山东济南·期末）课本再现 （1）如图1，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角是，第二次的拐角是多少度？为什么？ 拓展延伸 （2）如图2，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数． ( 题型0 5 )翻折问题 20．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点， 则图中与互补的角有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，按图进行翻折，使，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 23．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若 ，则 ． 24．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 25．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的4倍多，则的大小是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )旋转问题 26．（2023-24七年级下·山东德州·期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ． 27．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）2024年2月，“顺遂安康龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置A、B两盏激光灯（如图所示）．A灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；B灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转．两灯不间断照射，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时A灯旋转的时间是 秒． 28．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点P在线段上且，线段与交于点Q． ①_______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为_______． 29．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图1中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得点与点重合，与相交于点，则_____________； (2)将图1中的三角尺绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点，则______________； (3)将图1中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第_______________秒时，边恰好与边平行．（直接写出结果） ( 题型0 7 )动点问题 30．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，问与、之间有何数量关系？请说明理由． 31．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 32．（2023-24七年级下·山东济南·期末）（1）如图1，，，，求的度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系． 33．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知直线，和，分别交于C，D点，点A，分别在直线，上，且位于的左侧，点P在直线上，且不和点C，D重合． (1)如图1，点P在线段上，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 1．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（  ）    A． B． C． D． 3．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则的度数为（　　） A．64° B．54° C．42° D．32° 5．（2023-24七年级下·山东德州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动 秒时，射线、射线互相平行？ 6．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 ． 7．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）如图，在五边形中满足，则图形中的的值是 ．    9．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 10．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n． (1)当时，若，则∠2＝___，∠3＝___； (2)当时，若，则∠3＝___； (3)根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明） 11．（2023-24七年级下·山东威海·期末）已知直线，为平面内一点，连接、．    (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 12．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的拐点问题与动态问题 题型概览 题型01猪蹄模型 题型02铅笔头模型 题型03牛角模型 题型04蛇形模型 题型05翻折问题 题型06旋转问题 题型07动点问题 ( 题型01 )猪蹄模型 1．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）如图，，点O在上，连接，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 2．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）如图，a//b，的直角顶点C在直线b上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点B作BD∥a， ∵a∥b， ∴BD∥b， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°-∠A=90°-43°=47°， ∵BD∥b， ∴∠4=∠2=25°， ∴∠3=∠ABC-∠4=47°-25°=22°， ∵BD∥a， ∴∠1=∠3=22°． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 4．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如图，已知，和分别平分和，若，则 度．（用含m的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，过作，过作，   ， ， ，，，， 设，， ，， 和分别平分和， ， ， ，， ，， ， ， 解得：， ； 故答案为：． 5．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）【问题背景】 如图，点A是直线上一点，点C是直线上一点，B是直线之间的一点，连接，． (1)如图1，过点B作，试说明：； 【问题探究】 (2)如图2，作，与的角平分线交于点F，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)150° 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵平分， ∴，． ∵， ∴． 由（1）可得． ∵， ∴ ， ∴的度数为150°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． ( 题型0 2 )铅笔头模型 6．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）如图，小区大门的栏杆AB垂直地面AE于A点，CD平行于地面AE，那么∠ABC＋∠BCD＝（    ） A．315° B．225° C．200° D．270° 【答案】D 【详解】解：过点C作CH⊥AE交AE于H，如图， ∵AB⊥AE，CH⊥AE， ∴AB∥CH， ∴∠ABC＋∠BCH＝180°， ∵CD∥AE， ∴∠DCH＋∠CHE＝180°， 而∠CHE＝90°， ∴∠DCH＝90°， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°＋90°＝270°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质. 7．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，直线  ，点A，B，C 分别在直线，，上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 8．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝ ． 【答案】50° 【详解】如图所示，过M作ME∥AB，则 ∵AB∥CD， ∴AB∥ME∥CD， ∴∠ABM+∠BMD+∠CDM＝180°×2＝360°， 又∵∠BMD＝160°， ∴∠ABM+∠CDM＝200°， 又∵， ∴， ∴四边形BMDN中，∠N＝360°﹣150°﹣160°＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，解题的关键在于掌握两直线平行，同旁内角互补的性质． 9．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE；测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为 °． 【答案】100 【详解】试题分析：如图所示：过点C作CF∥AB．∵AB∥DE，∴DE∥CF； ∴∠BCF=180°﹣∠B=40°，∠DCF=180°﹣∠D=60°； ∴∠C=∠BCF+∠DCF=100°． 故答案为100． 考点：平行线的性质． 10．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）已知，点B在射线上．    (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，设，，，猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：过点E作，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，、 ∴， ∴； （2）， 理由如下：过点E作，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，、 ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质和角之间的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． ( 题型0 3 )牛角模型 11．（2023-24七年级下·山东潍坊·期末）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：    ∵， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 12．（2023-24七年级下·山东德州·期末）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为 ． 【答案】∠P＝360°﹣2a 【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H， ∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3， ∵∠PBG＝180°﹣2∠1， ∴∠PBG＝180°﹣2∠5， ∴∠5＝90°﹣∠PBG， ∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°， ∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°， ∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3， ∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P， ∵∠FED＝a， ∴a＝180°﹣∠P ∴∠P＝360°﹣2a． 故答案为：∠P＝360°﹣2a． 【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键． 13．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）如图，．    (1)如图，求证； (2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【详解】（1）证明：延长交于点，   ， ， ， ∥． （2）解：，的数量关系是：，理由如下： 设，， 平分，， ，， ， 由（1）可知：∥， ， ， ， ， ， 由四边形的内角和等于得：， 即：， ， ． （3）解：设， ， ， 由（1）可知：∥， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， 根据周角的定义得：， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． 14．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知，，点C在直线上方，连接，．若，，则的度数为 ．    【答案】/152度 【详解】解：延长交于点F，如下图：    ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和为是解题关键． ( 题型0 4 )蛇形模型 15．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C．7 D． 【答案】C 【详解】解：过C作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等． 16．（2023-24七年级下·山东日照·期末）如图是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如解图，过点作直线， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 17．（2023-24七年级下·山东济南·期末）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    【答案】/115度 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． 18．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线，P是平面内一点，连接．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【详解】（1）解：如图，过点作，   ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，过点作，     ， ． ， ， ． ， ， （3）解：． 理由：如图2，过点作，则，     ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键． 19．（2023-24七年级下·山东济南·期末）课本再现 （1）如图1，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角是，第二次的拐角是多少度？为什么？ 拓展延伸 （2）如图2，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数． 【答案】(1)，两直线平行，内错角相等 (2)的度数为 【详解】解：（1）∵两次转弯后，和原来的方向相同，如图所示， ∴，且， ∴，两直线平行，内错角相等； （2）∵第三次拐，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，如图所示，即，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． ( 题型0 5 )翻折问题 20．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点， 则图中与互补的角有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】∵将长方形纸片沿翻折得到如上图形 ∴， 由图形知，与互补，即与互补； ， 与互补， 与也互补； 与互补， 与互补的角有、、三个； 故选：C． 21．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，按图进行翻折，使，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴，． ∵， ∴． 由翻折的性质可知，，，． ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、翻折的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 22．（2023-24七年级下·山东烟台·期末）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，，，延长至， ∴， 由折叠可知，， 又∵， ∴，即， 故选：D． 23．（2023-24七年级下·山东临沂·期末）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若 ，则 ． 【答案】/104度 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 故答案为：． 24．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 【答案】/24度 【详解】解：在图2中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 25．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的4倍多，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由折叠的性质，可知： 而，， ， ∵, ， 故选: D. ( 题型0 6 )旋转问题 26．（2023-24七年级下·山东德州·期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ． 【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时， ∵，， ∴ ∵， ∴A，D，C共线， ∵， ∴（秒）； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ④当时，，； ∵ ∴， ∴（秒）； ⑤当时， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒， 故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒． 27．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）2024年2月，“顺遂安康龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置A、B两盏激光灯（如图所示）．A灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；B灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转．两灯不间断照射，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时A灯旋转的时间是 秒． 【答案】1或8.5 【详解】解：设A灯旋转的时间t秒， ∵B灯光束第一次达到需要的时间是（秒）， ∴， 即． 由题意，满足条件的两个灯的光束互相平行， 如图，当时，， 解得； 如图，当时， 或， 解得或． 两灯的光线互相平行时A灯旋转的时间是1或8.5秒． 故答案为：1或8.5． 28．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点P在线段上且，线段与交于点Q． ①_______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或4或9 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴； 故答案为： ②当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 则：， ∴； 当时，如图，则：， ∴， ∴； 综上：的值为或4或9． 故答案为：3或4或9 29．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图1中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得点与点重合，与相交于点，则_____________； (2)将图1中的三角尺绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点，则______________； (3)将图1中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第_______________秒时，边恰好与边平行．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)5或17 【详解】（1）【小问1详解】 解：在中，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 平分， ， ， ， ； （3）解：如图1，在上方时，设与相交于， ， ， 在中，， ， ， 旋转角为， 秒； 在的下方时，设直线与相交于， ， ， 在中，， 旋转角为， 秒； 综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行． ( 题型0 7 )动点问题 30．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，问与、之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)当点P在线段上时，；当在延长线上时，；当在延长线上时，；理由见解析 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ， ∵，， ， 故答案为：100． （2）解：当点P在线段上时，；当在延长线上时，；当在延长线上时，；理由如下： 当点P在线段上时，过作交直线于，    ， ， ， ； 当在延长线上时，过作交直线于， ， ， ， ∴； 当在延长线上时，过作交直线于， ， ， ∴，， ∴． 31．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，应为，见解析； ． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：过点作， ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又， ，（两直线平行内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换； （2）中的结论不成立，， 理由如下： 如下图所示， 过点作， ， ， 又， ，， ， ； ， 如下图所示， 过点作， ， ， ，， ． 32．（2023-24七年级下·山东济南·期末）（1）如图1，，，，求的度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系． 【答案】（1）（2），理由见解析（3）或 【详解】解：（1）过点P作， ， ， ， ∵，， ， ； （2）， 理由：如图2，过P作交于E， ， ， ， ； （3）①如图所示，当P在的延长线上时，； 过点作 ∴， ， ； ②如图所示，当P在延长线上时，； 过点作， ， ， ， ； 综上所述：或． 33．（2023-24七年级下·山东青岛·期末）已知直线，和，分别交于C，D点，点A，分别在直线，上，且位于的左侧，点P在直线上，且不和点C，D重合． (1)如图1，点P在线段上，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 【答案】(1)的度数为； (2)或或． 【详解】（1）解：过点P作如图1， 又直线， ， ， ， ， ， ． 故的度数为． （2）过点P作，①当点P在直线，上方时如图2， 又直线， ， ， ， ， ， ， 即：； ②当点P在直线，中间时如图3，又直线， ， ， ， ， ， ，即； ③当点P在直线，下方时如图4，又直线， ， ， ， ， ， ． 1．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 过M作，过N作，则，，    ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，即， 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 2．（2023-24七年级下·山东滨州·期末）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于．   ， ； ， ； ， ； 等于180度的是． 故选：D． 3．（2023-24七年级下·山东聊城·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长，由折叠的性质，可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据折叠的性质得，． 故选：C． 4．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则的度数为（　　） A．64° B．54° C．42° D．32° 【答案】D 【详解】本题考查了平行线的判断与性质，角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点G，M，H作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可． 【解答】解：如图所示，过点G，M，H作，，， ∵． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即． 故选：D． 5．（2023-24七年级下·山东德州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动 秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】或 【详解】解： ∵，， ∴，， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，先转动， 分两种情况： ①当到达前， ，， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； ②当到达后， ，，， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上，射线再转动或秒时，射线、射线互相平行． 故答案为：或． 6．（2023-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④⑤ 【详解】解：∵折叠， ∴，；故⑤正确； ∵， ∴，，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴，；故②④正确； ∵， ∴；故③正确； 故答案为：①②③④⑤ 7．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 8．（2023-24七年级下·山东泰安·期末）如图，在五边形中满足，则图形中的的值是 ．    【答案】85 【详解】解：∵AB∥CD，∠C＝60°， ∴∠B＝180°−∠C＝120°． ∴（5−2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°． ∴x＝85． 故答案为：85． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定理是解题的关键． 9．（2023-24七年级下·山东枣庄·期末）已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：过点C作，如图1， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由： 过点C作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得：， ∴， 即． 10．（2023-24七年级下·山东淄博·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n． (1)当时，若，则∠2＝___，∠3＝___； (2)当时，若，则∠3＝___； (3)根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明） 【答案】(1)100°；90° (2)90° (3)，见解析 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴∠2=100° ∵ ∴ ∵ ∴ ∴∠3=90° （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴∠2=2x° ∵ ∴ ∵ ∴ ∴∠3=90° （3）当时， ∵， ∴． 又由题意知，， ∴ 由同旁内角互补，两直线平行，可知： 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 11．（2023-24七年级下·山东威海·期末）已知直线，为平面内一点，连接、．    (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图1，过点作，   ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作，则，   ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3，设交于点，   ， ， ， ∴ ， ， ， ， 平分， ， ， 由（2）得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线的意义，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（2023-24七年级下·山东济宁·期末）如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【详解】（1）解：由两点之间，线段最短可知，当P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合， 此时最小，, ，， ， ， 秒时，有最小值． （2）解：当点P在左侧运动时，点P在上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ，， ， ， ． （3）解：当点P在右侧运动时， ① 点P在上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ，， ， 又 ， ． ② 点P在线段的延长线上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 综上所述：当点P在右侧运动时， 或． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$