特训07 矩形的性质与判定-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训07 矩形的性质与判定 【特训过关】 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】A． 【解析】解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，符合题意； B．由于平行四边形的邻角互补，当一组邻角相等时，这两个角为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意； C．根据平行四边形的对角相等及互补，得对角相等且为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意； D．有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 2．已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，故此选项不符合题意； B．∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故此选项不符合题意； C．不能证明四边形为矩形，故此选项符合题意； D．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D． 【解析】解：∵将长为5cm，宽为3cm的长方形先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 5．如图，在中，，在线段上有一动点D，作于E，于F，连接．在点D从点A运动到点B的过程中（D不与A、B重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 【答案】B． 【解析】解：如图所示，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小， ∴动点D从点A运动到点B的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长． 故选：B． 6．在中，，，，点P为边上一动点（且点P不与点A，B 重合），于E，于F，点M为的中点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D． 【解析】解：∵在中，，，， ∴， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∵M是的中点， ∴延长经过点C， ∴，， 当时，有最小值为，， ∴的最小值为． 故选：D． 7．如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A． 【解析】解：过点E作于点P， 在矩形中 ∵，， ∴四边形和四边形为矩形， 又，， ∴，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 令，则， 又∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 故选：A． 8．如图，在矩形中，点E是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，C，D的对应点分别为，，连接交于点F．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：连接，设H为直线上一点， ∵在矩形中，点E是的中点， ∴，，，， ∵折叠， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故选项D正确； ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴，故选项C错误； ∵，故选项A错误； ∵， ∴， ∵为的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：；故选项B错误； 故选D． 9．如图．在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段上来回运动，当点P当到达点D时，P、Q两点停止运动．在此运动过程中，出现和的次数分别是(　　) A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 【答案】A． 【解析】解：设点P的运动时间为t， ∵，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，当点P当到达点D时，P、Q两点停止运动． ∴秒，，则， ∵，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段上来回运动， ∴， 当时，则四边形是平行四边形， ∴， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：， 当时，点Q从B到C运动，， ∴， 解得：， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：， 当，点Q从B到C运动，， ∴，解得： (舍去)， ∴能出现三次， 如图所示，过点P，D分别作的垂线，垂足分别为F，E， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴中，， 当时， 在中，， ∴， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：或， 当时，点Q从B到C运动，， ∴，解得：或， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：或， 当，点Q从B到C运动，， ∴，解得：（舍去）或（舍去）， ∴能出现6次， 故选：A． 10．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解析】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①正确；     ②由①可知，四边形是矩形， ∴， ∵O，F分别是，的中点，点E在上， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴点E是的中点，故②正确； ③∵是的中位线， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， 当点E与点D重合时，的值最大，此时， ∴线段长度的最大值是2，故③正确；     ④当点E在边上，且时，， ∴不是等边三角形，故④错误． 综上所述，正确的结论有3个， 故选：C． 11．在四边形中，，．若要再添加一个条件，使四边形是矩形，那么添加的条件可以是 ，也可以是 ． 【答案】，． 【解析】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴添加的条件可以是：； ∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴添加的条件可以是：； 故答案为：，． 12．如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边，平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【答案】． 【解析】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵，， ∴四边形和四边形都是矩形． ∴，，， ∴，即， 故答案为：． 13．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形各边的中点，如果，，那么四边形的面积为 ． 【答案】20． 【解析】解：在中，点，是，的中点， ∴，， 在中，点，是，的中点， ∴，， ∴，， 同理，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线，互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为， 故答案为：20． 14．如图，已知，则阴影部分的面积为 ． 【答案】10.8． 【解析】解：过点D作于点E，于点F， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10.8． 15．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿方向运动，点F同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发沿方向运动，若，，则经过 秒时，四边形是矩形． 【答案】或． 【解析】解：设经过t秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点E从点A运动到点C所需时间为秒；当点E，F相遇时，， 解得，此时，点E，F在点O相遇， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，． ①如图1，在点E，F相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点E，F相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 16．如图，将平行四边形的边延长线到点E，使，连接，交于点F．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③； ④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④． 【解析】解：∵平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 17．如图，矩形纸片中，，E是上一点，连结，沿直线翻折后点D落到点F，过点F作，垂足为G．若，则的值为 ． 【答案】． 【解析】解：过点E作，交于点H，如图， 由折叠性质可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 18．如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】． 【解析】 如图，连接 ∵四边形是矩形 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ 如图，作B点关于A点的对称点，连接 ∵，， ∴， ∴ ∴的最小值为 故答案为：． 19．如图，矩形中，，，F为上一点，且，连接、、．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③的最小值为5，其中正确的结论是 (填写序号)． 【答案】①②③． 【解析】解：∵，， ∴， 故①正确； ②当点E在边上时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴易证， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③如图，取，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点E在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长； 在中，，， 由勾股定理得， 故④正确． 故答案为：①②④． 20．如图，平行四边形中，，，，E为的中点，F为上一动点，G为中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】2． 【解析】解：如图，取的中点H，连接， ∵G为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点G在射线上运动， 当时，的值最小，如图， 设与相交于点M， ∵，E为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：2． 21．如图，在中，过点D作，垂足为点E，点F在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 【答案】证明见解析． 【解析】（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）由（1）知四边形是矩形， ∴． 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 22．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，过点A作交延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）证明：∵点D、E分别是边、的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，取的中点H，连接， 由（1）， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 23．如图，在四边形中，，，，，，点E从B出发，以1cm/s的速度向点C运动，运动时间为t秒；同时点F从D出发，以2cm/s的速度向点A运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）__________，__________（用含t的式子表示）； （2）当四边形是矩形时，__________； （3）当时，求t的值． 【答案】（1），；（2）6；（3）t的值为5或7． 【解析】（1）解：根据题意得：，， ∵，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：6 （3）解： 如图，过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 如图，过点F作于点M，则，， 在中，， ∴， ∴， 解得：； 如图，过点F作于点N，则，， 同理， 解得：； 综上所述，当时，t的值为5或7． 24．【问题探究】 （1）如图1，在中，连接，． ①求证：是矩形； ②若，探究线段与线段之间的数量关系． 【问题解决】 （2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，，，是从入口C通往三个观光点A，E，F的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点A无法直接到达观光点E，F，为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E，F（观光点E，F分别在，上），现要在，上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元/km，桥梁的造价为100万元/km，求建好和两座桥梁所需要的总造价． 【答案】（1）①证明见解析；②，理由见解析；（2）400万元． 【解析】（1）①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：延长至点G，使得，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， 由上知， ∴， 在中，， ∴同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∴总造价为：（万元）． 25．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，已知，． （1）如图1，点M是y轴上一点，将沿着折叠，使点O落在上的N处，求M点的坐标； （2）如图2．四边形是矩形，D是边上一点（不与点A、C重合），将沿直线翻折，使点C落在点E处，当以O，E，B三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求E点的坐标； （3）如图3，在上一点G坐标为，连接，点F与点O关于直线对称，在（2）的条件下，当B，E，F三点共线时，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）解：如图1，设， 由折叠得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴解得， ∴点M的坐标为． （2）设，过点E作于点P，则，， ∵四边形是矩形， ∴， 如图2，是等腰三角形，且， 由折叠得， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图3，是等腰三角形，且， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点E的坐标为或． （3）如图4，连接、、、、，作于点R，于点Q，此时点E在上， 由折叠得，， ∴， ∵点F与点O关于直线对称，， ∴垂直平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，，， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 矩形的性质与判定 【特训过关】 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 2．已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　） A． B． C． D． 3．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A．6 B．9 C．12 D．18 5．如图，在中，，在线段上有一动点D，作于E，于F，连接．在点D从点A运动到点B的过程中（D不与A、B重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 6．在中，，，，点P为边上一动点（且点P不与点A，B 重合），于E，于F，点M为的中点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 7．如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，在矩形中，点E是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，C，D的对应点分别为，，连接交于点F．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图．在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段上来回运动，当点P当到达点D时，P、Q两点停止运动．在此运动过程中，出现和的次数分别是(　　) A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 10．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．在四边形中，，．若要再添加一个条件，使四边形是矩形，那么添加的条件可以是 ，也可以是 ． 12．如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边，平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 13．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形各边的中点，如果，，那么四边形的面积为 ． 14．如图，已知，则阴影部分的面积为 ． 15．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿方向运动，点F同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发沿方向运动，若，，则经过 秒时，四边形是矩形． 16．如图，将平行四边形的边延长线到点E，使，连接，交于点F．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③； ④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 17．如图，矩形纸片中，，E是上一点，连结，沿直线翻折后点D落到点F，过点F作，垂足为G．若，则的值为 ． 18．如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 19．如图，矩形中，，，F为上一点，且，连接、、．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③的最小值为5，其中正确的结论是 (填写序号)． 20．如图，平行四边形中，，，，E为的中点，F为上一动点，G为中点，连接，则的最小值是 ． 21．如图，在中，过点D作，垂足为点E，点F在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 22．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，过点A作交延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 23．如图，在四边形中，，，，，，点E从B出发，以1cm/s的速度向点C运动，运动时间为t秒；同时点F从D出发，以2cm/s的速度向点A运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）__________，__________（用含t的式子表示）； （2）当四边形是矩形时，__________； （3）当时，求t的值． 24．【问题探究】 （1）如图1，在中，连接，． ①求证：是矩形； ②若，探究线段与线段之间的数量关系． 【问题解决】 （2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，，，是从入口C通往三个观光点A，E，F的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点A无法直接到达观光点E，F，为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E，F（观光点E，F分别在，上），现要在，上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元/km，桥梁的造价为100万元/km，求建好和两座桥梁所需要的总造价． 25．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，已知，． （1）如图1，点M是y轴上一点，将沿着折叠，使点O落在上的N处，求M点的坐标； （2）如图2．四边形是矩形，D是边上一点（不与点A、C重合），将沿直线翻折，使点C落在点E处，当以O，E，B三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求E点的坐标； （3）如图3，在上一点G坐标为，连接，点F与点O关于直线对称，在（2）的条件下，当B，E，F三点共线时，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$