精品解析：江苏省淮安市高中校协作体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

淮安市高中校协作体2024～2025学年度第二学期高二年级期中联考 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 2. 设，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据赋值法令计算求出系数和. 【详解】因为，令，得出， 令，得出， 则. 故选：C 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二项分布的期望公式求出的值，再根据二项分布的概率公式计算. 【详解】已知随机变量，根据二项分布的期望公式， ，可得.解得. 由，，根据二项分布的概率公式，可得. 故选：A. 4. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 5. 在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件，通过分类求解即可. 【详解】若发出2种光，则有种；若发出3种光，则有种， 则共有种. 故选：C 6. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在的投影向量为 B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【解析】 【分析】判定向量是否共线判断A；举例说明判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；利用共面向量定理的推论判断D. 【详解】对于A，在的投影向量与共线，则投影向量的横坐标为0，A错误； 对于B，当夹角为0时，也满足，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，在中，，则P，A，B，C四点共面，D正确. 故选：D 7. 某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 108 D. 156 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分两步进行分析：先分析甲星期一、星期日不值班，且连续3天值班的情况，再将剩下四个人进行全排列，由分步计数原理可得答案. 【详解】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班， 则可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），共3种情况， 剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有种情况， 则有种不同的安排方法. 故选：A. 8. 已知一个盒子里有5个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，3个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，利用组合数结合条件概率公式运算求解即可. 【详解】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球， 则，， 所以所求事件的概率. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（ ） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则A，B，C，D共面 C. 若，则A，B，C，D共面 D. 若三点共线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标即可判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果. 【详解】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误； 对于B，由共面向量定理易知得B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，因为A，B，C共线，所以共线， 所以，所以，故D正确． 故选：BD． 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可． 【详解】对于A， ，显然，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 11. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的性质及原则、密度函数解析式一一分析选项即可. 【详解】 由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大， 即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高， 则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线， 易知，故A错误； 由原则可知，故B正确； 根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：， ，建立方程， 整理可得， 则，故C错误； 易知，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【分析】设异面面直线与所成角为,将用，表示,代入公式计算得出答案. 【详解】设棱长均为1, 因为，所以 ，所以，所以. 又. 设异面直线与所成角为, 则. 故答案为: . 13. 甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为______ 【答案】144 【解析】 【分析】先对乙丙进行捆绑，再考虑甲的位置，最后对剩余元素进行全排列． 【详解】乙和丙相邻，那么乙和丙两人之间的排列方式有种． 甲不坐在个人的两端，那么甲可选择的位置有中间的个位置，所以甲的排法有种．  此时相当于将乙丙整体、甲以及丁、戊、戌进行排列，已经排好了甲，还剩下个位置，乙丙整体和丁、戊、戌全排列的方式有种． 所以不同的排列方式种数为种．  故答案为：144． 14. 已知两个随机事件，若，，，则______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件概率的性质即可求解. 【详解】由可得，故, 故答案为：, 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，共77分） 15. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部:战火西岐》、《熊出没·重启未来》4部影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《熊出没·重启未来》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）24 （2）16 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影中的两部即可. 【小问1详解】 因为4名同学观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种． 【小问2详解】 因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以不同的选择方法共有种． 【小问3详解】 因为恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法共有种． 16. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； 【小问2详解】 因为⊥底面圆，圆， 所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角大小为， 则， 直线与平面所成角正弦值为. 17. 二项式展开式前三项二项式系数和为22. （1）求的值； （2）求展开式中各项的二项式系数和； （3）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 【答案】（1）6 （2）64 （3）常数项为960，二项式系数最大的项为 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数即可列式子求解； （2）由二项式系数的性质可求解； （3）根据二项式展开式的通项特征，即可求解，二项式系数最大的项为中间项即可求解. 【小问1详解】 展开式前三项的二项式系数和为22， 或（舍）， 故的值为6. 【小问2详解】 展开式中各项的二项式系数和为. 【小问3详解】 设展开式中常数项为第项， 即， 令，得， ， 由题可得，展开式中最大的二项式系数为， 展开式中二项式系数最大的项为第4项， 即， 综上所述：常数项为，二项式系数最大的项为. 18. 为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号 位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 （1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； （2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； （3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出山上实验田的平均产量，再乘以m即可得答案； （2）先计算平均数，再结合方差公式即可求得答案； （3）随机变量可以取，再分别求出概率，则的分布列与数学期望可求. 【小问1详解】 由山上试验田4株古茶树产茶量数据， 得样本平均数， 则山上试验田株古茶树产茶量估算为； 【小问2详解】 山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和， 故方差，， 故； 【小问3详解】 依题意，随机变量可以取， 随机变量的分布列为 9 8 7 6 5 4 随机变量期望. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点P到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出向量，再由向量法求解. 【小问1详解】 因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮安市高中校协作体2024～2025学年度第二学期高二年级期中联考 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A B. C. D. 2. 设，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 6. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在的投影向量为 B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 7. 某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 108 D. 156 8. 已知一个盒子里有5个大小形状完全相同小球，其中2个红球，3个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（ ） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则A，B，C，D共面 C. 若，则A，B，C，D共面 D. 若三点共线，则 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______ 13. 甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为______ 14. 已知两个随机事件，若，，，则______________. 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，共77分） 15. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部:战火西岐》、《熊出没·重启未来》4部影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《熊出没·重启未来》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 16. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22. （1）求的值； （2）求展开式中各项的二项式系数和； （3）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 18. 为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号 位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 （1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶总产量； （2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； （3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点P到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $