力学 第05讲 角动量与天体运动- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

力学第05讲 《角动量与天体运动》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是力学竞赛的高阶模块，在高中圆周运动基础上拓展至刚体角动量守恒与天体动力学等大学内容，重点培养学生对旋转系统与宇宙尺度的综合分析能力。核心内容涵盖： 角动量理论： 质点与刚体角动量的矢量定义（L=r×pL=r×p 与 L=IωL=Iω）； 角动量守恒的条件及应用（如行星绕日运动、刚体定轴自由旋转）； 刚体转动惯量的张量性质与对称性简化（如轴对称刚体的角动量方向分析）； 天体运动进阶： 开普勒定律的微分方程推导与轨道参数（偏心率、近日点进动）； 三体问题的限制性解（如拉格朗日点稳定性分析）； 潮汐力的定量计算与刚体自转效应（如地球扁率成因）； 刚体动力学： 刚体平面运动的动能与角动量耦合（如滚动摩擦的能量分配）； 进动与章动的定性分析（如陀螺运动的竞赛简化模型）； 欧拉方程的初步引入（无外力矩下的刚体自由转动）。 竞赛题型特点： 多维空间分析：涉及三维角动量方向判断（如斜碰后刚体的旋转轴变化）； 守恒律综合：结合角动量、动量与能量守恒（如天体碰撞后的轨道重组）； 数学工具深化：需运用矢量叉乘、积分计算非对称刚体转动惯量或引力势能梯度。 备考建议： 掌握角动量矢量性与守恒条件判据（如外力矩方向与系统边界）； 熟练利用对称性简化转动惯量计算（如平行轴定理与垂直轴定理）； 强化天体-刚体耦合问题的建模能力（如自转行星的轨道稳定性）。 本章是竞赛中区分度较高的专题，需突破二维思维局限，建立三维旋转与宇宙尺度的物理图像 经典名题 1．如图所示，在圆柱体上施力和使其在水平面上作纯滚动，求柱体所受到的静摩擦力，设柱体质量为M，半径为R，力作用在质心上，力作用在距质心为r的B点上。 2．如图所示，一均匀细棒，长为l，质量为m，可绕过棒端且垂直于棒的光滑水平固定轴O在竖直平面内转动，棒被拉到水平位置从静止开始下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上一静止的质量亦为m的小滑块碰撞，碰撞时间极短，小滑块与地面间的摩擦系数为，碰撞后滑块移动距离s后停止，而棒继续沿原转动方向转动，直到达到最大摆角，求：碰撞后棒的中点C离地面的最大高度h（已知棒对O点的转动惯量为）。 3．如图所示，在光滑的水平面上，一质量为m的小球以初速大小为、方向与杆垂直与中心固定质量为M长为l的均匀细杆的一端作完全弹性碰撞，则碰撞后小球的速度大小为： ；杆绕C点的角速度： 。（已知杆对C点的转动惯量为：）。 4．一质量为，长为的均匀细棒，在光滑水平面上以匀速运动，如图所示，则某时刻细棒对端点的角动量为（相对地面参照系）（　　） A． B． C． D． 5．圆柱体质量M，弹簧连接在M的转轴上（圆柱体可绕转动轴转动）。压缩弹簧后放手，圆柱体纯滚动，可能证明圆柱体的运动是简谐振动。若已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则该系统作简谐振动的周期为（    ） A． B． C． D． 6．质量为m的人造卫星沿椭圆轨道绕地球运动。近地点、远地点到地心距离分别为、，地球质量为M。试求卫星相对地心的角动量大小。 7．有一根质量为，半径为的匀质圆柱体，初始的自转角速度为，它被轻轻的放置在动摩擦因数为水平面上，则柱体达到纯滚动所需的时间为（　　） A． B． C． D． 8．有一根质量为，长度为的均质杆，可绕过其中心的光滑固定轴旋转。现在有两个质量均为的子弹，以初速度沿相反方向的方向从杆的两端垂直于杆入射并很快穿出，穿出时子弹速度仍垂直于杆，大小为原来一半，则此时杆的角速度为（　　） A． B． C． D． 9．一刚体的角加速度为，则其从静止开始旋转一周所需要的时间为（　　） A． B． C． D． 10．逃离木星引力的最低速度为60公里/秒，假设木星的半径为70000公里，那么80公斤重的宇航员在木星上的重量是（　　） A． B． C． D． E． 11．证明原子核外电子轨道半径，氢原子的能量，其中分别为电子第1条轨道半径和电子在上运动时氢原子的能量，分别表示第n条轨道半径和电子在上运动时氢原子的能量。 12．如图,一根长度为、质量为的匀质刚性细杆可绕过其一端的水平轴转动．只考虑杆在垂直于转轴的竖直平面内的运动，用杆与竖直向下方向之间的夹角（，以逆时针方向为正）作为描述杆位置的坐标．忽略空气阻力和转轴的摩擦阻力．重力加速度大小为． 已知杆的转轴在竖直方向上作小振幅高频简谐振动，振动方程为,振幅,圆频率．在随转轴同步平动参考系中讨论杆的运动． (1)试写出满足的动力学方程． (2)可表示为和之和，其中表示平稳运动，表示圆频率为的高频小幅简谐振动．考虑到（即和的特征频率相差若干个量级），在变化的一个周期内，可视为不变；高频运动对平稳运动的影响可以由其在一个高频运动周期内的平均效果表示．在以上条件和近似下，导出满足的动力学方程． (3)由满足的动力学方程可知，杆的平稳运动等效于杆在一保守场中运动，试求相应的有效势能（取处势能为零）． (4)根据有效势能,试确定杆的平衡位置，并讨论各平衡位置的稳定性（不考虑参数取临界值时的情况）；试求杆在各稳定平衡位置附近做小幅振动的频率． (5)初始时，杆位于转轴的正下方，其初角速度．要使杆能运动至转轴的正上方，应大于一个临界值，试求；当时，求杆能运动到的最大角度． 13．黑洞是广义相对论预言的奇异天体，其宏观性质由质量、角动量和电荷完全决定．对于一个、质量为的球对称简单黑洞（施瓦西黑洞），可以定义一个以黑洞中心为球心、半径为的球面（称为视界）．按照经典理论，视界以内所有物质都无法逃离黑洞． (1)按照牛顿力学，如果一个粒子在质量为的球对称天体表面的逃逸速度恰好等于真空中的光速,此天体即为黑洞．试导出该天体半径的表达式．已知太阳质量约为,引力常量,真空中的光速,试问太阳半径至少收缩到多少时它将成为黑洞？ (2)以上由牛顿力学得到的恰好与广义相对论给出的同质量黑洞的视界半径结果一致． 按照贝肯斯坦和霍金的理论，黑洞的熵正比于其视界面积,即 其中是约化普朗克常量，是玻尔兹曼常量．当两个质量均为的简单黑洞塌缩成一个质量为的简单黑洞时，求黑洞系统的熵的改变量（结果不含）． (3)对于一个绝对温度为、质量为的简单黑洞，其内能和熵满足基本热力学关系．按照相对论，黑洞的内能由爱因斯坦质能关系给出．试由此导出黑洞温度与其质量之间的关系式，并计算此黑洞的热容． (4)假设有一可逆热机工作在初始质量分别为和的两个简单黑洞之间，已知,求该热机从开始至最终的全过程对外所做的总功． (5)按照量子力学，霍金提出黑洞表面（即黑洞视界）可以向外辐射电磁波，且此辐射可以等价为与之同温度的黑体辐射，称为霍金辐射．求霍金辐射功率与黑洞质量之间的关系．已知斯特藩-玻尔兹曼常量． (6)由于发生霍金辐射，黑洞能量将减少，从而其质量随时间变小．令黑洞的初始质量为,不考虑其它因素，求该黑洞由于霍金辐射而最终消失所需要的时间． 14．在牛顿发现万有引力定律100多年以后的1789年，英国物理学家卡文迪许巧妙运用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较精准的测出了引力常量G。坚固的T形支架倒挂在石英丝的下端，当石英丝发生扭转形变时的扭转力矩。T形支架两端各固定一个质量为m的小球，两个小球与对应大球的连线与杆垂直，且在水平面内。竖直部分固定一个小平面镜。实验时，两个质量为的大球分别置于两个小球附近，它们跟小球间的距离都为r，水平杆的长度为l。下列说法正确的是（    ）    A．最终稳定时，石英丝旋转过的角度与r成反比 B．对于任意参考点来说，两个万有引力的合力矩的大小和方向都相同 C．此实验灵活的运用了放大微小量的思想 D．为了减小实验误差，T形支架的质量应该尽量大一些 15．如图，一轻绳跨过两个质量为，半径为的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为和的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及质量为和的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。       16．一颗质量为m的人造卫星绕地球做椭圆运动，其近地点距地球表面的距离为l1，速度大小为v1，远地点距地球表面距离为l2，则远地点速度大小为 （地球半径为R）。 17．地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常量为G，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为L= 。 18．如图所示的物体系中，倔强系数为k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为R，转动惯量为J。质量为m的物体从静止开始下落，求下落高度h时物体的速度v。    19．一静止的均匀细棒，长为L，质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为。一质量为m速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿入棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度应为（　　） A． B． C． D． 20．一根长为l，质量为m的均匀细棒在地上竖立着。如果让竖立着的棒以下端与地面接触处为轴倒下，则上端到达地面时速率应为（　　） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 力学第05讲 《角动量与天体运动》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是力学竞赛的高阶模块，在高中圆周运动基础上拓展至刚体角动量守恒与天体动力学等大学内容，重点培养学生对旋转系统与宇宙尺度的综合分析能力。核心内容涵盖： 角动量理论： 质点与刚体角动量的矢量定义（L=r×pL=r×p 与 L=IωL=Iω）； 角动量守恒的条件及应用（如行星绕日运动、刚体定轴自由旋转）； 刚体转动惯量的张量性质与对称性简化（如轴对称刚体的角动量方向分析）； 天体运动进阶： 开普勒定律的微分方程推导与轨道参数（偏心率、近日点进动）； 三体问题的限制性解（如拉格朗日点稳定性分析）； 潮汐力的定量计算与刚体自转效应（如地球扁率成因）； 刚体动力学： 刚体平面运动的动能与角动量耦合（如滚动摩擦的能量分配）； 进动与章动的定性分析（如陀螺运动的竞赛简化模型）； 欧拉方程的初步引入（无外力矩下的刚体自由转动）。 竞赛题型特点： 多维空间分析：涉及三维角动量方向判断（如斜碰后刚体的旋转轴变化）； 守恒律综合：结合角动量、动量与能量守恒（如天体碰撞后的轨道重组）； 数学工具深化：需运用矢量叉乘、积分计算非对称刚体转动惯量或引力势能梯度。 备考建议： 掌握角动量矢量性与守恒条件判据（如外力矩方向与系统边界）； 熟练利用对称性简化转动惯量计算（如平行轴定理与垂直轴定理）； 强化天体-刚体耦合问题的建模能力（如自转行星的轨道稳定性）。 本章是竞赛中区分度较高的专题，需突破二维思维局限，建立三维旋转与宇宙尺度的物理图像 经典名题 1．如图所示，在圆柱体上施力和使其在水平面上作纯滚动，求柱体所受到的静摩擦力，设柱体质量为M，半径为R，力作用在质心上，力作用在距质心为r的B点上。 【答案】 【知识点】刚体动力学 【详解】对质心，根据牛顿第二定律 对圆柱体，根据角动量定理 圆柱体的转动惯量 由于圆柱体在水平面上作纯滚动，可知 联立解得 2．如图所示，一均匀细棒，长为l，质量为m，可绕过棒端且垂直于棒的光滑水平固定轴O在竖直平面内转动，棒被拉到水平位置从静止开始下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上一静止的质量亦为m的小滑块碰撞，碰撞时间极短，小滑块与地面间的摩擦系数为，碰撞后滑块移动距离s后停止，而棒继续沿原转动方向转动，直到达到最大摆角，求：碰撞后棒的中点C离地面的最大高度h（已知棒对O点的转动惯量为）。 【答案】 【知识点】角动量 【详解】棒从水平位置转到竖直位置过程中，满足机械能守恒 碰撞的过程中相对O点，满足角动量守恒 碰后对小滑块，根据动能定理 对细棒，根据机械能守恒 联立解得 3．如图所示，在光滑的水平面上，一质量为m的小球以初速大小为、方向与杆垂直与中心固定质量为M长为l的均匀细杆的一端作完全弹性碰撞，则碰撞后小球的速度大小为： ；杆绕C点的角速度： 。（已知杆对C点的转动惯量为：）。 【答案】 【知识点】刚体动力学 【详解】[1][2]碰撞的过程中，相对转轴C的角动量守恒 而 由于发生完全非弹性碰撞 联立解得    ， 4．一质量为，长为的均匀细棒，在光滑水平面上以匀速运动，如图所示，则某时刻细棒对端点的角动量为（相对地面参照系）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角动量 【详解】细棒相对应地面上O点的角动量等于细棒相对与质心的角动量与质心相对应O点的角动量之和。本题中，细棒相对质心的角动量为零，而质心相对地面上O点的角动量为。因此细棒对端点的角动量为。 故选C。 5．圆柱体质量M，弹簧连接在M的转轴上（圆柱体可绕转动轴转动）。压缩弹簧后放手，圆柱体纯滚动，可能证明圆柱体的运动是简谐振动。若已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则该系统作简谐振动的周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】振动、刚体动力学 【详解】设圆柱体半径为R，以轻弹簧和圆柱体为系统机械能守恒，且系统的机械能表示为 圆柱体纯滚动满足 可得 振动周期为 故选C。 6．质量为m的人造卫星沿椭圆轨道绕地球运动。近地点、远地点到地心距离分别为、，地球质量为M。试求卫星相对地心的角动量大小。 【答案】 【知识点】角动量 【详解】由开普勒第二定律可得 有机械能守恒可得 可得 角动量大小为 7．有一根质量为，半径为的匀质圆柱体，初始的自转角速度为，它被轻轻的放置在动摩擦因数为水平面上，则柱体达到纯滚动所需的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角动量 【详解】盘顺时针转动时着地点速度向左，会受向右摩擦力作用，其平动加速度 达纯滚动时盘中心速度和转动角速度满足 即 盘转动惯量 由角动量定理得 解得 柱体达到纯滚动所需的时间为 故选C。 8．有一根质量为，长度为的均质杆，可绕过其中心的光滑固定轴旋转。现在有两个质量均为的子弹，以初速度沿相反方向的方向从杆的两端垂直于杆入射并很快穿出，穿出时子弹速度仍垂直于杆，大小为原来一半，则此时杆的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角动量 【详解】杆绕轴O的转动惯量 对子弹而言有 对杆由角动量定理得 可得 故选B。 9．一刚体的角加速度为，则其从静止开始旋转一周所需要的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角动量 【详解】转一周转过的角度为，由 得刚体转一周所需得时间 故选D。 10．逃离木星引力的最低速度为60公里/秒，假设木星的半径为70000公里，那么80公斤重的宇航员在木星上的重量是（　　） A． B． C． D． E． 【答案】C 【知识点】万有引力定律 【详解】设木星的质量为，半径为，逃离木星引力的最低速度为60公里/秒，设为 根据动能定理可得 其中 联立可得 则80公斤重的宇航员在木星上的重量为 故选C。 11．证明原子核外电子轨道半径，氢原子的能量，其中分别为电子第1条轨道半径和电子在上运动时氢原子的能量，分别表示第n条轨道半径和电子在上运动时氢原子的能量。 【答案】见解析 【知识点】角动量 【详解】由量子化假设 由牛顿第二定律 联立可得 而能量 可得 12．如图,一根长度为、质量为的匀质刚性细杆可绕过其一端的水平轴转动．只考虑杆在垂直于转轴的竖直平面内的运动，用杆与竖直向下方向之间的夹角（，以逆时针方向为正）作为描述杆位置的坐标．忽略空气阻力和转轴的摩擦阻力．重力加速度大小为． 已知杆的转轴在竖直方向上作小振幅高频简谐振动，振动方程为,振幅,圆频率．在随转轴同步平动参考系中讨论杆的运动． (1)试写出满足的动力学方程． (2)可表示为和之和，其中表示平稳运动，表示圆频率为的高频小幅简谐振动．考虑到（即和的特征频率相差若干个量级），在变化的一个周期内，可视为不变；高频运动对平稳运动的影响可以由其在一个高频运动周期内的平均效果表示．在以上条件和近似下，导出满足的动力学方程． (3)由满足的动力学方程可知，杆的平稳运动等效于杆在一保守场中运动，试求相应的有效势能（取处势能为零）． (4)根据有效势能,试确定杆的平衡位置，并讨论各平衡位置的稳定性（不考虑参数取临界值时的情况）；试求杆在各稳定平衡位置附近做小幅振动的频率． (5)初始时，杆位于转轴的正下方，其初角速度．要使杆能运动至转轴的正上方，应大于一个临界值，试求；当时，求杆能运动到的最大角度． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】刚体动力学 【详解】（1）在转轴平动非惯性系中，引入平动惯性力（以竖直向上为正）             ① 此平动惯性力等效作用于匀质杆质心，对杆有转动定理                 ② 将①式代入得的动力学方程             ③ （2）将代入③式并展开至的一阶项，得                 ④ 即 解法一 考虑到是圆频率为的高频小幅振动，某物理量在一个高频振动周期内的时间平均为 将④式在的一个周期内对时间取平均，视为不变，得 考虑到待定， 得             ⑤ 为了定出，将④式左右两边同乘得 ⑥ 考虑到                ⑦ 代入⑥式后，将⑥式在的一个周期内对时间取平均，视为不变，得             ⑧ 考虑到 得             ⑨ 解得 （考虑到）            ⑩ 代入⑤式得的动力学方程             ⑪ 解法二 考虑到是圆频率为的高频小幅振动，设             ⑤＇ 代入④式得         ⑥＇ 将⑥式在的一个周期内对时间取平均，视为不变，考虑到 得             ⑦＇ 为确定，将⑤式代入④式并在左右两边同乘得            ⑧＇ 将⑧式在的一个周期内对时间取平均，视为不变，考虑到 可得             ⑨＇ 解得 （考虑到）            ⑩＇ 将⑩式代入⑦式得的动力学方程         ⑪＇ 解法三 考虑到是圆频率为的高频小幅振动，是小量，并非小量，上式等号左侧第一项与高频微振动无关，第二、第四项含均为小量，第三项为决定的项，即             ⑤＂ 考虑到是稳定微振动，可得的表达式             ⑥＂ 将带回原方程（即④式）得             ⑦＂ 将⑦式在的一个周期内对时间取平均，视为不变，考虑到 可得的动力学方程         ⑧＂ （3）⑪式左侧可视为保守力矩，与势能的关系为             ⑫ 结合可得             ⑬ （4）平衡位置处应为的极值，满足的条件为             ⑭ 解得 或（要求）            ⑮ 平衡位置分别为            ⑯-1             ⑯-2 （要求）            ⑯-3 当杆在平衡位置附近偏离小角时，杆的能量可表示为         ⑰ 其中             ⑱ 稳定平衡位置处应为的极小值，；不稳定平衡位置处应为的极大值，． ①对于：由⑱式得             ⑲ 所以是稳定平衡位置                ⑳ 由⑰式，杆受微扰后平稳小幅振动的频率         ㉑ ②对于：由⑱式得             ㉒ 所以 当时，是不稳定平衡位置            ㉓-1 当时，是稳定平衡位置        ㉓-2 （可以看出，原本杆在转轴正上方是不稳定平衡，由于转轴作高频振动，此时杆可以在此位置保持稳定平衡，即平衡的稳定性发生了变化） 当时，由17式，杆受微扰后平稳小幅振动的频率             ㉔ ③对于（要求）：由⑱式得            ㉕ 所以 是不稳定平衡位置            ㉖ （5）和时的势能曲线分别如下到所示．                                                    当时：处是的极小值、处是的极大值，在内单调增大，所以要使杆能运动至，初角速度，应满足            ㉗ 解得            ㉘ ②当时：和处是的极小值，处是的极大值，此处是内的势垒，所以要使杆能运动至应越过此势垒，初角速度，应满足             ㉙ 解得             ㉚ 综上，临界角速度 当时，杆能到达的最大角度满足             ㉛ 即             ㉜ 解得 注意，此处应取较小的解，应取“+”号             ㉝ 13．黑洞是广义相对论预言的奇异天体，其宏观性质由质量、角动量和电荷完全决定．对于一个、质量为的球对称简单黑洞（施瓦西黑洞），可以定义一个以黑洞中心为球心、半径为的球面（称为视界）．按照经典理论，视界以内所有物质都无法逃离黑洞． (1)按照牛顿力学，如果一个粒子在质量为的球对称天体表面的逃逸速度恰好等于真空中的光速,此天体即为黑洞．试导出该天体半径的表达式．已知太阳质量约为,引力常量,真空中的光速,试问太阳半径至少收缩到多少时它将成为黑洞？ (2)以上由牛顿力学得到的恰好与广义相对论给出的同质量黑洞的视界半径结果一致． 按照贝肯斯坦和霍金的理论，黑洞的熵正比于其视界面积,即 其中是约化普朗克常量，是玻尔兹曼常量．当两个质量均为的简单黑洞塌缩成一个质量为的简单黑洞时，求黑洞系统的熵的改变量（结果不含）． (3)对于一个绝对温度为、质量为的简单黑洞，其内能和熵满足基本热力学关系．按照相对论，黑洞的内能由爱因斯坦质能关系给出．试由此导出黑洞温度与其质量之间的关系式，并计算此黑洞的热容． (4)假设有一可逆热机工作在初始质量分别为和的两个简单黑洞之间，已知,求该热机从开始至最终的全过程对外所做的总功． (5)按照量子力学，霍金提出黑洞表面（即黑洞视界）可以向外辐射电磁波，且此辐射可以等价为与之同温度的黑体辐射，称为霍金辐射．求霍金辐射功率与黑洞质量之间的关系．已知斯特藩-玻尔兹曼常量． (6)由于发生霍金辐射，黑洞能量将减少，从而其质量随时间变小．令黑洞的初始质量为,不考虑其它因素，求该黑洞由于霍金辐射而最终消失所需要的时间． 【答案】(1)3km (2) (3)黑洞在热力学上是不稳定的 (4) (5) (6) 【知识点】万有引力定律 【详解】（1）（1）选取无穷远处为势能零点，该天体和质量为的试探粒子之间的引力势能为             ① 这里是试探粒子到黑洞中心的距离．天体的半径为，由机械能守恒可得逃逸速度满足方程                 ② 可得逃逸速度大小             ③ 当逃逸速度时，可得天体的半径满足                 ④ 若使得太阳成为黑洞，将太阳质量代入④式可得太阳的半径需至少缩小为                 ⑤ （2）（2）由题意可知黑洞熵与质量的关系为             ⑥ 所以当两个质量均为的球形黑洞塌缩成一个质量为的黑洞时，系统熵的变化为             ⑦ （3）（3）利用热力学公式 以及爱因斯坦关系 可得                 ⑧ 所以黑洞的温度为                 ⑨ 可知黑洞的温度与质量成反比，质量越小、温度越高．根据热容量的定义可知黑洞的热容量为             ⑩ 可见黑洞的热容量始终是负的，这意味着黑洞在热力学上是不稳定的． （4）解法一： 在热机工作过程中，设两个黑洞的质量分别为和．由题意知，热机循环过程是可逆过程．故完成若干次完整循环后系统的熵不变．由⑥式可知，熵不变给出             ⑪ 因为，由⑨式可知：小质量黑洞为高温热源，大质量黑洞为低温热源．在热机循环过程中，热机从高温热源（小黑洞）吸取热量、向低温热源（大黑洞）放出热量，所以小黑洞质量不断减少，直到最终消失、热机循环终止，即             ⑫ 代入上式得                 ⑬ 根据能量守恒，可得热机最终对外所做的总功为             ⑭ 解法二： 小质量的黑洞是高温热源，大质量黑洞是低温热源．热机从高温热源（小黑洞）吸取热量、向低温热源（大黑洞）放出热量，所以小黑洞质量不断减少，最终消失．由卡诺定理可知，             ⑮ 根据爱因斯坦质能关系和热力学第一定律可得             ⑯ 进一步黑洞温度与其质量成反比， 由上面两式可知             ⑰ 所以有                 ⑱ 对上式两边同时积分可得                 ⑲ 所以在热机循环过程中，大黑洞的质量不断增加并满足         ⑳ 最终小黑洞的质量消耗殆尽，热机循环终止，即末态为             ㉑ 可逆热机的效率只取决于高温热源和低温热源的温度             ㉒ 所以热机最终对外所做的总功为                 ㉓ （5）根据斯特藩-玻尔兹曼定律可知，单位时间黑洞向外辐射的能量（即霍金辐射功率）为 即                 ㉔ （6）由于霍金辐射，ˉ黑洞能量的减小值等于辐射的能量，即             ㉕ 可得                     ㉖ 两边同时积分可得             ㉗ 所以黑洞由于霍金辐射而消失所需要的时间为                 ㉘ 14．在牛顿发现万有引力定律100多年以后的1789年，英国物理学家卡文迪许巧妙运用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较精准的测出了引力常量G。坚固的T形支架倒挂在石英丝的下端，当石英丝发生扭转形变时的扭转力矩。T形支架两端各固定一个质量为m的小球，两个小球与对应大球的连线与杆垂直，且在水平面内。竖直部分固定一个小平面镜。实验时，两个质量为的大球分别置于两个小球附近，它们跟小球间的距离都为r，水平杆的长度为l。下列说法正确的是（    ）    A．最终稳定时，石英丝旋转过的角度与r成反比 B．对于任意参考点来说，两个万有引力的合力矩的大小和方向都相同 C．此实验灵活的运用了放大微小量的思想 D．为了减小实验误差，T形支架的质量应该尽量大一些 【答案】BC 【知识点】万有引力定律 【详解】A．令最终稳定后，引力与水平杆之间的夹角为，根据万有引力表达式有 ，， 解得 可知，最终稳定时，石英丝旋转过的角度与r2成反比，故A错误； B．根据右手定则可知，两个万有引力的合力矩的方向均为垂直于T形支架向下，大小均为 结合上述可知，两个万有引力的合力矩的大小均相等，故B正确； C．球体之间的万有引力很小，此实验灵活的运用了放大微小量的思想，故C正确； D．为了减小实验误差，T形支架的质量应该尽量小一些，故D错误。 故选BC。 15．如图，一轻绳跨过两个质量为，半径为的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为和的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及质量为和的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。    【答案】； 【知识点】刚体动力学 【详解】受力分析如图，由牛顿第二定律，有 ， 又 ， 依题意，可得 联立可得 ，    16．一颗质量为m的人造卫星绕地球做椭圆运动，其近地点距地球表面的距离为l1，速度大小为v1，远地点距地球表面距离为l2，则远地点速度大小为 （地球半径为R）。 【答案】 【知识点】万有引力定律 【详解】根据开普勒第二定律可知，卫星在近地点与远地点在极短的时间内扫过的面积相等，则有 解得 17．地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常量为G，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为L= 。 【答案】 【知识点】角动量 【详解】[1]地球受到的万有引力提供向心力 解得地球绕太阳转动的线速度 地球绕太阳转动的轨道角动量的大小为 18．如图所示的物体系中，倔强系数为k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为R，转动惯量为J。质量为m的物体从静止开始下落，求下落高度h时物体的速度v。    【答案】 【知识点】刚体动力学 【详解】根据能量守恒定律可得 其中 联立解得 19．一静止的均匀细棒，长为L，质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为。一质量为m速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿入棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角动量 【详解】设棒的角速度为，打子弹过程中对O轴角动量守恒，则有 解得 故选B。 20．一根长为l，质量为m的均匀细棒在地上竖立着。如果让竖立着的棒以下端与地面接触处为轴倒下，则上端到达地面时速率应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】刚体动力学 【详解】杆对过杆的一端且与杆垂直的轴的转动惯量为 由能量守恒定律可知 解得 故上端到达地面时速率应为 故选B。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$