力学 第04讲 能量与动量- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

力学第04讲 《能量与动量》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是力学竞赛的核心模块，在高中能量与动量守恒基础上拓展至变质量系统、非弹性碰撞的微观机制等大学内容，重点培养学生对复杂力学过程的综合分析能力。核心内容涵盖： 守恒定律深化： 动能定理与功能原理的积分形式（含变力做功的微元分析）； 动量守恒的矢量性与相对性（含非惯性系中的动量修正）； 变质量系统进阶： 变质量动力学方程（密歇尔斯基方程）的推导与应用（如火箭推进问题）； 连续介质动量定理（流体冲击力计算与沙堆堆积模型）； 碰撞与能量转化： 完全非弹性碰撞的能量耗散与恢复系数； 多体碰撞的动量分配与质心参考系分析； 相对论动量修正的初步引入（高速碰撞的竞赛题背景）； 综合问题建模： 含摩擦的机械能损耗模型（如振动衰减的能量迭代分析）； 动量-能量双守恒的临界条件判断（如绳摆与撞击耦合问题）。 竞赛题型特点： 过程复杂性：设计多阶段问题（如碰撞后运动+能量转化+变质量抛射）； 数学工具强化：需结合微积分求解变力冲量或能量累积问题； 物理建模挑战：将实际情景（如链式反应、流体喷射）抽象为守恒模型。 备考建议： 掌握守恒条件判据（如内力/外力、耗散力影响）； 熟练运用质心参考系简化多体碰撞问题； 强化微元法处理连续介质与变质量系统的能力。 本章是力学竞赛的高阶分水岭，需突破传统守恒定律的局限，建立开放系统的物理图像与分析范式。 经典名题 1．一个质量为m的空心环形薄板（其厚度一定、质量均匀分布），内径为r，内径和外径之比为。当薄板在水平冰面上以角速度ω匀速转动时，其因转动而具有的动能大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动能与势能、刚体动力学 【详解】将空心环形薄板视为由无数个半径不同的细圆环组成。设空心环形薄板内径r1 = r，外径，其面密度 取半径为r，宽度为dx的细圆环，其质量 细圆环转动惯量 则空心环形薄板转动惯量为 则根据转动动能公式 带入空心环形薄板转动惯量得 故选A。 2．小球从h高处以初速v0水平抛出，其后落在光滑的硬地面上，设恢复系数为e，图中表示入射角，表示反射角．求：和满足的关系。 【答案】 【知识点】碰撞 【详解】由于地面光滑，水平速度保持不变，落地时的竖直分速度 反弹后的竖直分速度 可知 因此 3．质点以恒定的速率沿半圆路径从坐标原点运动到P(2R，0)点，作用在质点上的力中有，，式中b、c为恒量，则力在此过程中所作的功为： ；力在此过程中所作的功为： ；力给质点的冲量为： 。 【答案】 【知识点】功能原理与机械能守恒定律、动量与动量守恒定律 【详解】[1]根据功的定义可知F1做的功 [2]由于F2的方向与速度方向相同，因此F2做的功 [3]根据对称性可知，F2沿y轴方向的冲量为零，将沿x轴方向的冲量累加可得 而 联立可得 4．一均匀细杆可绕垂直它而离其一端（l为杆长）的水平固定轴O在竖直平面内转动，杆的质量为m，当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度，如杆恰能持续转动而不作往复摆动（一切摩擦不计）[已知细杆绕轴O的转动惯量]则需要（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动能与势能 【详解】恰好到达最高点时，重心升高 ,在转动的过程中，满足机械能守恒 解得 若做完整的圆周运动，应满足。 故选A。 5．LIGO探测器在2015年首次探测到了黑洞合并所辐射出的引力波，从而验证了爱因斯坦广义相对论的预言。在本问题中，我们将根据一个简化的物理模型来展示如何通过对引力波的观测来估计双黑洞系统的特征质量。 （1）假定有两个相距为r的黑洞其质量分别为和。在牛顿力学框架下，求两个黑洞绕其质心旋转的圆频率，结果用以下变量表达：万有引力常数G，r，约化质量，以及总质量。 （2）在牛顿力学框架下，求系统的总能量。 （3）根据广义相对论，这样的两个绕质心旋转的黑洞体系会辐射出引力波，从而损失能量。在简化分析下，对应于引力波的辐射功率P具有如下形式的表达式，这里，而。求常数，，。 （4）假定，求两个黑洞绕质心旋转的角度频率的时间变化率。结果以如下变量表达：G，，以及啁啾质量M。这里的啁啾质量。从本命题中你会发现，可以通过对引力波的频率及其时间变化率的观测来得到黑洞系统的啁啾质量。 【答案】（1）；（2）；（3），， ；（4） 【知识点】动能与势能、万有引力定律 【详解】（1）根据万有引力提供向心力 联立可得 （2）在牛顿力学框架下，系统的总能量 （3）根据量纲法 对比 可得 ，， 则 （4）根据 ， 联立可得 6．质量为的箱子静止在光滑水平面上，箱子内侧的两壁间距为，另一质量也为且可视为质点的物体从箱子中央以的速度开始运动，如图所示。已知物体与箱底的动摩擦因数为，物体与箱壁间发生的是完全弹性碰撞。试求： (1)物体可与箱壁发生多少次碰撞？ (2)物体从开始运动到与箱子相对静止的这段时间内，箱子在水平面上的位移是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】碰撞 【详解】（1）根据题意，设最终箱子和物体的速度为，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得 可知，物体可与箱壁发生12次碰撞，且物体停在右壁接触处。 （2）根据题意可知，物体从开始运动到与箱子相对静止的这段时间内，可将物体的运动看成连续的匀减速直线运动，则有 解得 箱子和物体组成的系统不受外力作用，所以质心做匀速直线运动，质心速度为 在时间内，质心的位移为 开始运动时系统的质心在箱底中央，共速时系统的质心在距箱底中央右侧0.25m处，所以箱子的位移为 7．打台球时常用Q球撞击目标T球，如图所示。Q球与T球的质量m和半径R均相同，且两球质量分布都是均匀的；Q球在碰撞前的瞬间具有质心速度和转动角速度，沿y方向；碰撞时间极短，且Q球和T球之间没有摩擦，可认为两球碰撞是完全弹性的，球与桌面可视为点接触。 (1)在发生碰撞后的瞬间，T球和Q球的飞行方向与y轴之间的夹角分别为和θ（见图a）。求碰撞后的瞬间，两球飞行方向之间的夹角的值以及Q球的质心速度和转动角速度ω（用等表示）。 (2)如图b，Q球碰撞后在摩擦力的作用下，需要经过时间才能达到无滑滚动（也称纯滚）。已知和Q球与桌面之间的摩擦系数μ。以下各小问的结果用，以及重力加速度g等表示。 （2.1）在碰撞后任意时刻，Q球上与桌面的接触点称为此时刻的C点，在碰撞后的瞬间，求C点相对于桌面的速度的x、y分量的表达式； （2.2）求碰撞后Q球达到纯滚所需时间； （2.3）求在碰撞后直至纯滚前，Q球质心运动的轨迹； （2.4）Q球达到纯滚后，定性指出Q球质心运动的轨迹形状，给出其质心的速度与y方向之间的夹角的正切的表达式。 (3)如图c，台球手在开球时用球杆击打处于静止状态的Q球，在极短的时间内给球上某点赋予一个水平冲量M，该点在竖直大球面高度h处，M的方向在过该点的竖直大球面内，使得作用后小球获得质心速度（沿图b的y方向），以及转动角速度，当h取特定值时，可使得Q球无滑滚动飞向T球。求此特定值。 (4)现探讨台球手熟悉的：30°角经验规则：自然伸开食指和中指（两指间角度大致为30°）；食指指向Q球初始飞行方向，在某些碰撞条件下，中指将大致告知球手Q球最终的飞行方向。在第（3）问中的条件下，Q球与T球发生弹性碰撞后，已知T球沿角度φ飞出（见图a），求 （4.1）在碰撞后直至达到纯滚前的过程中，Q球质心运动的轨迹；； （4.2）Q球最终飞行方向与y轴之间的夹角的正切的表达式； （4.3）当T球的飞出角度取某角度时，具有一个极大值，求和的值，计算在和时的并将求出的这6个值填入下表： 【答案】(1)，， (2)（2.1）； （2.2）； （2.3）；； （2.4） (3) (4)（4.1）；；（4.2）；（4.3）见解析 【知识点】动量与动量守恒定律、碰撞 【详解】（1）由于碰撞时间极短，因此可忽略碰撞过程中摩擦力（其最大值为）的冲量和冲量矩；Q球和T球之间没有摩擦，只有径向的弹性力。因此在Q球和T球碰撞前后的瞬间，可认为角动量守恒，碰撞后的瞬间，对于Q球有 ① 弹性碰撞能量守恒，又由①式，转动能量不变，因此可列出质心的动量和能量守恒关系，分别取碰撞后T球运动方向和与它垂直的方向为坐标基矢量、方向，如题解图2a、由动量守恒得 图2a ② ③ 由能量守恒得 ④ 由②③④式得 即 其中对应没有发生碰撞；因此碰撞发生后有 因此 ⑤ 即Q球碰撞后只有垂直T球运动的分量 ⑥ 综上： （a） （b） 在坐标系中 ⑦ 这里，下标0是指碰撞后的瞬间Q球的速度。 （2）碰撞后不一定满足纯滚条件，即Q球上与桌面接触点C的速度（相对于桌面）不一定为0，但由于有摩擦力，经过足够的作用时间，则Q球在后可达到纯滚。在摩擦力的作用下，我们将发现在前，Q球质心的轨迹将为抛物线型；在达到纯滚后，摩擦力消失，Q球质心将以直线运动，达到所谓的最终速度。 （2.1）C点的速度为 ⑧ 其中 即 在碰撞后的瞬间，将⑦式代入上式，得 ⑨ （2.2）记接触点C的速度方向单位矢量为，质心速度为，角速度为，由质心运动定理和转动定理得 ⑩ 其中 ⑪ 对⑧式求导得 ⑫ 注意：矢量为常量；是Q球质心的加速度，这里及以下都省略了Q下标。 由⑩⑪式代入⑫式得 其中，代表质心到C点的单位向量，即，用矢量叉乘关系可知 于是有 ⑬ ⑬式表明，对于接触点C的运动，摩擦力的作用是对其减速，并且沿着该点速度的反方向，因此C点速度变化是匀减速的。 由⑨式知C点的起始速度 ⑭ 代入匀减速运动公式 有 ⑮ （2.3）由于接触点的速度为匀减速⑬式，它的方向不变即 ⑯由⑯式给出。 质心的运动方程⑩式在系下为简单的匀减速运动 碰撞瞬间后质心初始位置设为原点；初始速度由⑦式给出 ⑰ ⑱ 上述轨迹适用于无滑滚动前，即 （2.4）达到纯滚后，摩擦力必须消失，那么Q球质心将是匀速直线运动。由⑦⑩⑮⑯式得最终速度为 ⑲ ⑳ 上面两式可合并成 其中为在碰撞后的瞬间Q球质心的速度⑦式。由⑲⑳式得 ㉑ （3）由于打击时间极短，可忽略摩擦力在打击瞬间内的冲量和冲量矩。在右手系中，题目中给出小球沿方向，角速度沿着方向，即无滑条件为 ㉒ 由冲量定理和冲量矩定理得（取正数，沿方向），对于质心有 ㉓ ㉔ 将㉒㉓式和 代入㉔式得 可得 ㉕ （4）（4.1）在第（3）问中，无滑滚动的Q球，与T球碰撞前 ，㉖ 将上述初始条件㉖代入⑭式得 将上式代入⑰⑱式得 ㉗ ㉘ （4.2）将㉖式代入㉑式得 ㉙ （4.3）对㉙式求导，可计算极值 由此得 于是 代入㉙式得 将上述结果以及在和时的算出，一起填入下表： （的数值在上列的范围都算对） 可以看出在一定的范围内，Q球最终行进方向集中在沿原方向偏离角左右的范围。 8．如图所示，这是一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O点转动，在横梁前端B点固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起，提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落，稻谷变为大米。已知，则在横梁绕O点转动的过程中（　　） A．脚踏在横梁另一端C点往下压的过程中，舂米锤的机械能减小 B．舂米锤击打稻谷时对稻谷的作用力大于稻谷对舂米锤的作用力 C．B点的速度等于C点的速度 D．B点的向心加速度小于C点向心加速度 【答案】D 【知识点】传动问题、牛顿第三定律、周期、角速度、转速、频率与线速度之间的关系式、比较向心加速度的大小、功能原理与机械能守恒定律 【详解】A．脚踏在横梁另一端C点往下压的过程中，舂米锤端的横梁作用力对其做正功，根据功能关系，舂米锤的机械能增加，故A错误； B．根据牛顿第三定律可知，舂米锤击打稻谷时对稻谷的作用力等于稻谷对舂米锤的作用力，故B错误； C．由于B、C两点绕O点同轴转动，二者角速度相等，即 又因为线速度 题意知，结合以上分析可知 所以B点的速度小于C点的速度，故C错误； D．因为向心加速度 题意知，所以 故B点的向心加速度小于C点向心加速度，故D正确。 故选D 。 9．如图所示，某探究小组设计了一个自动接球机，只能接住水平发射的小球。接球装置K的接球口可以通过电脑程序控制水平轴电机和竖直轴电机的运动移动到xOy平面的任意位置。接球装置K是一个内径略大于小球直径，一端开口另一端封闭的圆筒，圆筒内部封闭端固定一轻质弹簧，弹簧长度小于圆筒长度，内壁安装有阻力恒定的阻尼装置。在О点放置一个速度传感器，可以测出从О点水平发射小球的速度，重力加速度为g。 （1）保证小球每次都能进入接球装置K的接球口，竖直轴电机的位移y和水平轴电机的位移x之间应满足的关系； （2）接球装置K的圆筒与水平方向的夹角θ可以通过程序控制进行调整，甲同学认为当，时接球效果好，乙同学认为当，时接球效果好。你同意谁的观点，简要说明理由。 （3）一次试验中小球（可视为质点）经过轻质弹簧反弹后刚好到达接球口处时的速度为0。已知小球的质量m=0.1kg，通过О点时的速度=3m/s，接球口的纵坐标为y=0.8m，接球装置K的圆桶与水平方向的夹角θ=53°，阻尼装置始终对小球有阻力作用，阻力f=6.25N，重力加速度g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不考虑其它阻力。求轻质弹簧被压缩至最短时的弹性势能Epm。 【答案】（1）（2）甲同学的观点正确，理由见详解（3） 【知识点】速度偏转角与位移偏转角、平抛运动位移的计算、功能原理与机械能守恒定律 【详解】（1）为保证小球每次都能进入接球装置K的接球口，则由平抛规律可知 联立可得，竖直轴电机的位移y和水平轴电机的位移x之间应满足的关系为 （2）同意甲同学的观点，该接球机只能接住水平发射的小球，为保证接球效果最好，可使球到达入口时速度方向与接球机的方向一致，则由平抛规律可知 所以，当时，接球效果好，故甲同学的观点正确。 （3）由接球口的纵坐标为，可知小球到达入口时竖直速度为 又因为小球通过О点时的速度，可知 由运动的合成知识可知小球到达入口时的速度为 小球经过轻质弹簧反弹后刚好到达接球口处时的速度为0，由动能定理可知，在接球机中小球克服阻力做功为 则由功能关系可知，小球从入口到弹簧被压缩到最短时有 所以轻质弹簧被压缩至最短时的弹性势能为 10．质量很小、长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率垂直落在距点O为处，并背离点O 沿细杆爬行。设小虫与细杆的质量均为m。欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫爬向细杆端点的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动量与动量守恒定律、角动量 【详解】该系统角动量守恒，有 整理有 由角动量定理有 整理有 因为速度是位移对时间的导数，所以到达端点的速度为 故选A。 11．智能呼啦圈可以提供全面的数据记录，让人合理管理自己的身材。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳， 其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.4kg，轻绳长为0.4m，悬挂点P 到腰带中心点 O的距离为 0.26m， 配重随短杆做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可视为静止，重力加速度 g 取 10m/s²， sin=0.6， 下列说法错误的是（  ） A．若增大转速，腰带受到的合力不变 B．θ随配重角速度增大而增大 C．当θ稳定在时，配重的角速度为 rad/s D．在配重角速度缓慢增加的过程中，绳子对配重不做功 【答案】D 【知识点】水平转盘上的物体、功能原理与机械能守恒定律 【详解】A．运动过程中腰带可看作静止，处于平衡状态，则腰带受到的合力始终为零，故A正确，不符合题意； B．对配重，由牛顿第二定律有 解得 由 可知角速度增大时θ也增大，故B正确，不符合题意； C．当θ稳定在时，配重的角速度为 rad/s，故C正确，不符合题意； D．由B中公式可知，当稳定在53°时，角速度大于稳定在37°时的角速度，配重圆周半径也增大，速度增大，动能增大，同时高度上升，重力势能增大，所以机械能增大；由功能关系，由37°缓慢增加到53°的过程中，绳子对配重做的功等于配重机械能的增加量，所以功为正值，做正功，故D错误，符合题意。 故选D。 12．从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km。已知取无穷远处为零势点，质量为m的物体（1）在距离地心处具有的引力势能为；（2）在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为；式中G为引力常量，M为地球质量。地球表面的重力加速度大小=。 （1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示）； （2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ 【答案】（1）72km/s，与OC夹角；（2）7.4km/s 【知识点】万有引力定律、动能与势能 【详解】（1）这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N和赤道上的发射点C组成的平面（此平面是C点所在的子午面）内，因此导弹的发射速度（初速度v）必须也在此平面内，地心O是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考查椭圆的长轴是过O点垂直CN的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上。已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆半长轴a的关系为 （1） 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径是R，只要位于长轴上的另一焦点到C的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C到该焦点的距离必最小。由几何关系可知 （2） 设发射时导弹的速度为v，则有 （3） 解（1）、（2）、（3）式得 （4） 因 （5） 比较（4）、（5）两式得 （6） 代入有关数据得 v=7.2 km/s（7） 速度的方向在C点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP，从图中可看出，速度方向与OC的夹角 （8） （2）由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为 （9） 式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T=24×3600 s=86400 s，故 （10） C点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7）、（8）两式的要求，导弹相当于地面（C点）的发射速度应有一大小等于vC，方向与vC相反的分速度，以使导弹在此方向相当于地心的速度为零，导弹的速度的大小为 （11） 代入有关数据得 （12） 它在赤道面内的分速度与vC相反，它在子午面内的分速度满足（7）、（8）两式。 13．两个的粒子以和的速度沿直线相互移动并发生碰撞，碰撞后，其中一个粒子以的速度离开，在碰撞过程中，两颗粒子共损失了的能量，根据以上情况，回答以下三个问题。 (1)碰撞后另一个粒子的速度（　　） A． B． C． D． E． (2)碰撞后粒子速度之间的夹角（　　） A． B． C． D． E． (3)粒子在点从静止状态释放，并根据所示的势能函数沿x轴移动，图中，粒子其后的运动为（　　） A．移动到左侧的点停止并保持静止 B．在及之间来回移动 C．以不同的速度移动到无穷大 D．移动到，并保持静止状态 E．移动到，然后移动到，并保持静止状态 【答案】(1)E (2)A (3)B 【知识点】碰撞 【详解】（1）由能量守恒方程可得 解得 故选E。 （2）设碰撞后两个粒子的动量为，碰撞前两个粒子的动量为，因此动量守恒方程为 平方可得 带入数据解得 即角约为，故选A。 （3）粒子从a点出发由自发向时势能低的位置运动，此时势能转为为动能，根据图像可得粒子运动到e点时势能与初始相同此时速度为零，在反向向a运动。 故选B。 14．如图所示，小球甲在真空中做自由落体运动从高度为的位置下落到高度为的位置。另一同样的小球乙在油中由静止开始也从高度为的位置下落到高度为的位置。在这两种情况下，下列说法正确的是（　　） A．甲乙两球的重力势能变化量相等 B．甲球的末机械能小于乙球 C．甲球的平均速度小于乙球 D．甲球的重力平均功率小于乙球 【答案】A 【知识点】平均速度、平均功率与瞬时功率的计算、重力做功与重力势能的关系、功能原理与机械能守恒定律 【详解】A．在这两种情况下，重力做功相等，两球重力势能的变化量相同，故A正确； B．两球初机械能相等，其中甲球在运动过程中只有重力做功，机械能不变；乙球在油中运动时，除了重力做功，油的阻力对乙球做负功，其机械能减小，故B错误； C．甲球做自由落体运动，加速度为重力加速度，而乙球运动过程中，由于还受到油的阻力，乙球的加速度小，而两球向下运动的位移相同，则甲球运动的时间更短，甲球的平均速度大于乙球的平均速度，故C错误； D．甲乙两球重力所做的功相同，甲球用时更短，因此甲球重力的平均功率更大，故D错误。 故选A。 15．一根质量均匀的细杆斜靠在墙上，地面光滑。初始时杆与墙面夹角为60°，在杆滑下的过程中，墙对杆的作用力（　　）    A．先增大后减小至0 B．先增大后减小，但不会减为0 C．一直增大 D．一直减小 【答案】D 【知识点】功能原理与机械能守恒定律 【详解】记某时刻杆与竖直墙面夹角为，由机械能守恒可求出此时杆的转动角速度 解得 此时质心的水平速度大小为 对时间求导可得水平加速度 水平加速度由墙的支持力提供 初始时杆与墙面夹角为60°，故随角度增大而减小，因此支持力随增加一直减小。 故选D。 16．对质点组有以下几种说法： （1）质点组总动量的改变与内力无关； （2）质点组总动能的改变与内力无关； （3）质点组机械能的改变与保守内力无关。 下列对上述说法判断正确的是（　　） A．只有（1）是正确的 B．（1）（2）是正确的 C．（1）（3）是正确的 D．（2）（3）是正确的 【答案】C 【知识点】动量与动量守恒定律、功能原理与机械能守恒定律 【详解】根据动量守恒定律，总动量的改变与否由质点组所受外决定，即质点组总动量的改变与内力无关，（1）判断正确；根据动能定理可知，质点组总动能的改变由组内各个力做功的代数和决定，即质点组总动能的改变与内力有关，（2）判断错误；由于保守力指做功多少与路径无关的力，即只与受力物体（质点）始末位置有关的力，保守力沿闭合路径所做的功为零，如果该力为系统的内力，即为保守内力，可知质点组机械能的改变与保守内力无关，（3）判断正确。 故选C。 17．足球守门员要先后接住来势不同的两个球，第一个球在空中飞来（无转动）；第二个球在地面滚来。设两个球的质量以及前进的速度相同，则他先后接住这两个球所需作的功相等。( ) 【答案】错误 【知识点】动能与势能 【详解】从地面滚来的足球的动能包括平动动能和转动动能，可见它比从空中飞来的足球(无转动)具有更高的动能，故他先后接住这两个球所需作的功不相等，故错误。 18．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为(SI)，子弹从枪口射出时的速率为。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求： （1） 画出图； （2）子弹走完枪筒全长所用的时间t； （3）子弹在枪筒中所受力的冲量I； （4）子弹的质量。 【答案】（1）见解析；（2）；（3）0.6N∙s；（4）2g 【知识点】动量与动量守恒定律 【详解】（1）依据题意，画出图像如图所示 （2）子弹离开枪口处合力刚好为零，则有 解得 （3）子弹在枪筒中所受力的冲量为 （4）由动量定理可得 可得 19．Kat 踩着高跷在与水平面的夹角为的斜坡上走路， 表示上坡， 表示下坡。 高跷始终在与斜坡垂直的平面内运动。 将 Kat 视为质量为 的质点， 将高跷视为轻硬细杆。 称杆的末端为“脚”。 每次开始迈步时， 斜坡给予后脚大小为 的瞬时冲量， 使这一结构从静止开始运动； 每次结束迈步时， 斜坡给予前脚一个瞬时冲量， 使这一结构静止。 每次迈步的过程中， 一只脚不与地面接触， 另一只脚始终与地面接触且不滑动 （即地面与脚之间的静摩擦系数 足够大）。 当脚与地面接触时， 其到 Kat 的距离保持为 。 Kat 的步幅 （当两只脚同时与斜坡接触时它们之间的距离） 恒定为 ， 其中。 （3.1） 求 的范围。 （3.2） 在 平面中， 求能让 Kat 按题目所说的方式走路的区域的面积。 （3.3） Kat 会在每次前脚落下的同时迈出后脚。 求 Kat 的平均速度的大小与 的比值， 用，，表示，可以保留积分号。 【答案】（3.1）；（3.2）；（3.3） 【知识点】功能原理与机械能守恒定律 【详解】此解答采用自然单位 （3.1） 因为杆是轻质的， 所以斜坡对杆的作用力 （弹力和摩擦力的合力） 必然沿杆。应用摩擦角的方法易得 （3.2） 令 首先， 当两只脚都与地面接触时，体系静力平衡， 因此此时 Kat （重心） 必然在两脚之间。这一几何关系给出 的下限 现在考虑迈步的过程。令 为与斜坡接触的腿与斜坡的法线的夹角，易得迈步过程中的能量守恒 从而有 ， 建立坐标系， 以与斜坡接触的脚为原点， 沿斜坡方向为 轴，易得 Kat 的 坐标 求二阶导得 另一方面， 在垂直于斜坡方向的牛顿第二定律 其中 为斜坡对脚的弹力。 联立可得 化简得 代入不脱离斜面的条件可得 上式必须对所有成立，因此 另一方面， 为了翻越势垒， 有 为了让有解， 得 其给出的上限 联立可得 即 为了让有解 从而最终可得所要求的面积 （3.3） 当斜坡给予后脚冲量 时， 后腿将该冲量传递至 Kat， 从而 Kat 获得的垂直于前腿方向的冲量为， Kat 此时具有的能量为 解得 迈一步所需要的时间是 从 变化到 需要的时间 用步幅除以 即可得平均速度 20．如图所示，静置于光滑平面的一质量为 的物体上有一个向下凹陷的旋转椭球面。其竖直方向截面的椭圆的半长轴为b，半短轴为a。在其边缘从静止释放一个质量为m的小球。忽略所有可能的摩擦。 （1）当小球从静止释放后相对地面的位移为x的时候，求小球相对于地面的速度大小。 （2）请接着求出小球的加速度。 【答案】（1）；（2） 【知识点】动量与动量守恒定律、功能原理与机械能守恒定律 【详解】考虑小球向右的水平位移为q，椭圆坑向左的水平位移为 考虑到水平方向上动量守恒 所以我们可以得到小球相对地面的运动轨迹方程 继续考虑水平方向动量守恒 同时考虑到系统机械能守恒 又同时考虑到速度方向总是沿着切线 联立后就得到 #6 其中 显然 所以 考虑到 又有 带入后得到 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 力学第04讲 《能量与动量》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是力学竞赛的核心模块，在高中能量与动量守恒基础上拓展至变质量系统、非弹性碰撞的微观机制等大学内容，重点培养学生对复杂力学过程的综合分析能力。核心内容涵盖： 守恒定律深化： 动能定理与功能原理的积分形式（含变力做功的微元分析）； 动量守恒的矢量性与相对性（含非惯性系中的动量修正）； 变质量系统进阶： 变质量动力学方程（密歇尔斯基方程）的推导与应用（如火箭推进问题）； 连续介质动量定理（流体冲击力计算与沙堆堆积模型）； 碰撞与能量转化： 完全非弹性碰撞的能量耗散与恢复系数； 多体碰撞的动量分配与质心参考系分析； 相对论动量修正的初步引入（高速碰撞的竞赛题背景）； 综合问题建模： 含摩擦的机械能损耗模型（如振动衰减的能量迭代分析）； 动量-能量双守恒的临界条件判断（如绳摆与撞击耦合问题）。 竞赛题型特点： 过程复杂性：设计多阶段问题（如碰撞后运动+能量转化+变质量抛射）； 数学工具强化：需结合微积分求解变力冲量或能量累积问题； 物理建模挑战：将实际情景（如链式反应、流体喷射）抽象为守恒模型。 备考建议： 掌握守恒条件判据（如内力/外力、耗散力影响）； 熟练运用质心参考系简化多体碰撞问题； 强化微元法处理连续介质与变质量系统的能力。 本章是力学竞赛的高阶分水岭，需突破传统守恒定律的局限，建立开放系统的物理图像与分析范式。 经典名题 1．一个质量为m的空心环形薄板（其厚度一定、质量均匀分布），内径为r，内径和外径之比为。当薄板在水平冰面上以角速度ω匀速转动时，其因转动而具有的动能大小为（   ） A． B． C． D． 2．小球从h高处以初速v0水平抛出，其后落在光滑的硬地面上，设恢复系数为e，图中表示入射角，表示反射角．求：和满足的关系。 3．质点以恒定的速率沿半圆路径从坐标原点运动到P(2R，0)点，作用在质点上的力中有，，式中b、c为恒量，则力在此过程中所作的功为： ；力在此过程中所作的功为： ；力给质点的冲量为： 。 4．一均匀细杆可绕垂直它而离其一端（l为杆长）的水平固定轴O在竖直平面内转动，杆的质量为m，当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度，如杆恰能持续转动而不作往复摆动（一切摩擦不计）[已知细杆绕轴O的转动惯量]则需要（　　） A． B． C． D． 5．LIGO探测器在2015年首次探测到了黑洞合并所辐射出的引力波，从而验证了爱因斯坦广义相对论的预言。在本问题中，我们将根据一个简化的物理模型来展示如何通过对引力波的观测来估计双黑洞系统的特征质量。 （1）假定有两个相距为r的黑洞其质量分别为和。在牛顿力学框架下，求两个黑洞绕其质心旋转的圆频率，结果用以下变量表达：万有引力常数G，r，约化质量，以及总质量。 （2）在牛顿力学框架下，求系统的总能量。 （3）根据广义相对论，这样的两个绕质心旋转的黑洞体系会辐射出引力波，从而损失能量。在简化分析下，对应于引力波的辐射功率P具有如下形式的表达式，这里，而。求常数，，。 （4）假定，求两个黑洞绕质心旋转的角度频率的时间变化率。结果以如下变量表达：G，，以及啁啾质量M。这里的啁啾质量。从本命题中你会发现，可以通过对引力波的频率及其时间变化率的观测来得到黑洞系统的啁啾质量。 6．质量为的箱子静止在光滑水平面上，箱子内侧的两壁间距为，另一质量也为且可视为质点的物体从箱子中央以的速度开始运动，如图所示。已知物体与箱底的动摩擦因数为，物体与箱壁间发生的是完全弹性碰撞。试求： (1)物体可与箱壁发生多少次碰撞？ (2)物体从开始运动到与箱子相对静止的这段时间内，箱子在水平面上的位移是多少？ 7．打台球时常用Q球撞击目标T球，如图所示。Q球与T球的质量m和半径R均相同，且两球质量分布都是均匀的；Q球在碰撞前的瞬间具有质心速度和转动角速度，沿y方向；碰撞时间极短，且Q球和T球之间没有摩擦，可认为两球碰撞是完全弹性的，球与桌面可视为点接触。 (1)在发生碰撞后的瞬间，T球和Q球的飞行方向与y轴之间的夹角分别为和θ（见图a）。求碰撞后的瞬间，两球飞行方向之间的夹角的值以及Q球的质心速度和转动角速度ω（用等表示）。 (2)如图b，Q球碰撞后在摩擦力的作用下，需要经过时间才能达到无滑滚动（也称纯滚）。已知和Q球与桌面之间的摩擦系数μ。以下各小问的结果用，以及重力加速度g等表示。 （2.1）在碰撞后任意时刻，Q球上与桌面的接触点称为此时刻的C点，在碰撞后的瞬间，求C点相对于桌面的速度的x、y分量的表达式； （2.2）求碰撞后Q球达到纯滚所需时间； （2.3）求在碰撞后直至纯滚前，Q球质心运动的轨迹； （2.4）Q球达到纯滚后，定性指出Q球质心运动的轨迹形状，给出其质心的速度与y方向之间的夹角的正切的表达式。 (3)如图c，台球手在开球时用球杆击打处于静止状态的Q球，在极短的时间内给球上某点赋予一个水平冲量M，该点在竖直大球面高度h处，M的方向在过该点的竖直大球面内，使得作用后小球获得质心速度（沿图b的y方向），以及转动角速度，当h取特定值时，可使得Q球无滑滚动飞向T球。求此特定值。 (4)现探讨台球手熟悉的：30°角经验规则：自然伸开食指和中指（两指间角度大致为30°）；食指指向Q球初始飞行方向，在某些碰撞条件下，中指将大致告知球手Q球最终的飞行方向。在第（3）问中的条件下，Q球与T球发生弹性碰撞后，已知T球沿角度φ飞出（见图a），求 （4.1）在碰撞后直至达到纯滚前的过程中，Q球质心运动的轨迹；； （4.2）Q球最终飞行方向与y轴之间的夹角的正切的表达式； （4.3）当T球的飞出角度取某角度时，具有一个极大值，求和的值，计算在和时的并将求出的这6个值填入下表： 8．如图所示，这是一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O点转动，在横梁前端B点固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起，提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落，稻谷变为大米。已知，则在横梁绕O点转动的过程中（　　） A．脚踏在横梁另一端C点往下压的过程中，舂米锤的机械能减小 B．舂米锤击打稻谷时对稻谷的作用力大于稻谷对舂米锤的作用力 C．B点的速度等于C点的速度 D．B点的向心加速度小于C点向心加速度 9．如图所示，某探究小组设计了一个自动接球机，只能接住水平发射的小球。接球装置K的接球口可以通过电脑程序控制水平轴电机和竖直轴电机的运动移动到xOy平面的任意位置。接球装置K是一个内径略大于小球直径，一端开口另一端封闭的圆筒，圆筒内部封闭端固定一轻质弹簧，弹簧长度小于圆筒长度，内壁安装有阻力恒定的阻尼装置。在О点放置一个速度传感器，可以测出从О点水平发射小球的速度，重力加速度为g。 （1）保证小球每次都能进入接球装置K的接球口，竖直轴电机的位移y和水平轴电机的位移x之间应满足的关系； （2）接球装置K的圆筒与水平方向的夹角θ可以通过程序控制进行调整，甲同学认为当，时接球效果好，乙同学认为当，时接球效果好。你同意谁的观点，简要说明理由。 （3）一次试验中小球（可视为质点）经过轻质弹簧反弹后刚好到达接球口处时的速度为0。已知小球的质量m=0.1kg，通过О点时的速度=3m/s，接球口的纵坐标为y=0.8m，接球装置K的圆桶与水平方向的夹角θ=53°，阻尼装置始终对小球有阻力作用，阻力f=6.25N，重力加速度g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不考虑其它阻力。求轻质弹簧被压缩至最短时的弹性势能Epm。 10．质量很小、长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率垂直落在距点O为处，并背离点O 沿细杆爬行。设小虫与细杆的质量均为m。欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫爬向细杆端点的速度大小为（　　） A． B． C． D． 11．智能呼啦圈可以提供全面的数据记录，让人合理管理自己的身材。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳， 其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.4kg，轻绳长为0.4m，悬挂点P 到腰带中心点 O的距离为 0.26m， 配重随短杆做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可视为静止，重力加速度 g 取 10m/s²， sin=0.6， 下列说法错误的是（  ） A．若增大转速，腰带受到的合力不变 B．θ随配重角速度增大而增大 C．当θ稳定在时，配重的角速度为 rad/s D．在配重角速度缓慢增加的过程中，绳子对配重不做功 12．从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km。已知取无穷远处为零势点，质量为m的物体（1）在距离地心处具有的引力势能为；（2）在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为；式中G为引力常量，M为地球质量。地球表面的重力加速度大小=。 （1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示）； （2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ 13．两个的粒子以和的速度沿直线相互移动并发生碰撞，碰撞后，其中一个粒子以的速度离开，在碰撞过程中，两颗粒子共损失了的能量，根据以上情况，回答以下三个问题。 (1)碰撞后另一个粒子的速度（　　） A． B． C． D． E． (2)碰撞后粒子速度之间的夹角（　　） A． B． C． D． E． (3)粒子在点从静止状态释放，并根据所示的势能函数沿x轴移动，图中，粒子其后的运动为（　　） A．移动到左侧的点停止并保持静止 B．在及之间来回移动 C．以不同的速度移动到无穷大 D．移动到，并保持静止状态 E．移动到，然后移动到，并保持静止状态 14．如图所示，小球甲在真空中做自由落体运动从高度为的位置下落到高度为的位置。另一同样的小球乙在油中由静止开始也从高度为的位置下落到高度为的位置。在这两种情况下，下列说法正确的是（　　） A．甲乙两球的重力势能变化量相等 B．甲球的末机械能小于乙球 C．甲球的平均速度小于乙球 D．甲球的重力平均功率小于乙球 15．一根质量均匀的细杆斜靠在墙上，地面光滑。初始时杆与墙面夹角为60°，在杆滑下的过程中，墙对杆的作用力（　　）    A．先增大后减小至0 B．先增大后减小，但不会减为0 C．一直增大 D．一直减小 16．对质点组有以下几种说法： （1）质点组总动量的改变与内力无关； （2）质点组总动能的改变与内力无关； （3）质点组机械能的改变与保守内力无关。 下列对上述说法判断正确的是（　　） A．只有（1）是正确的 B．（1）（2）是正确的 C．（1）（3）是正确的 D．（2）（3）是正确的 17．足球守门员要先后接住来势不同的两个球，第一个球在空中飞来（无转动）；第二个球在地面滚来。设两个球的质量以及前进的速度相同，则他先后接住这两个球所需作的功相等。( ) 18．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为(SI)，子弹从枪口射出时的速率为。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求： （1） 画出图； （2）子弹走完枪筒全长所用的时间t； （3）子弹在枪筒中所受力的冲量I； （4）子弹的质量。 19．Kat 踩着高跷在与水平面的夹角为的斜坡上走路， 表示上坡， 表示下坡。 高跷始终在与斜坡垂直的平面内运动。 将 Kat 视为质量为 的质点， 将高跷视为轻硬细杆。 称杆的末端为“脚”。 每次开始迈步时， 斜坡给予后脚大小为 的瞬时冲量， 使这一结构从静止开始运动； 每次结束迈步时， 斜坡给予前脚一个瞬时冲量， 使这一结构静止。 每次迈步的过程中， 一只脚不与地面接触， 另一只脚始终与地面接触且不滑动 （即地面与脚之间的静摩擦系数 足够大）。 当脚与地面接触时， 其到 Kat 的距离保持为 。 Kat 的步幅 （当两只脚同时与斜坡接触时它们之间的距离） 恒定为 ， 其中。 （3.1） 求 的范围。 （3.2） 在 平面中， 求能让 Kat 按题目所说的方式走路的区域的面积。 （3.3） Kat 会在每次前脚落下的同时迈出后脚。 求 Kat 的平均速度的大小与 的比值， 用，，表示，可以保留积分号。 20．如图所示，静置于光滑平面的一质量为 的物体上有一个向下凹陷的旋转椭球面。其竖直方向截面的椭圆的半长轴为b，半短轴为a。在其边缘从静止释放一个质量为m的小球。忽略所有可能的摩擦。 （1）当小球从静止释放后相对地面的位移为x的时候，求小球相对于地面的速度大小。 （2）请接着求出小球的加速度。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$