力学 第03讲 运动定律- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

力学第03讲 《运动定律》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是力学竞赛的核心基础，在牛顿定律的框架下拓展至非惯性系与惯性力等大学内容，重点培养学生对复杂动力学系统的建模与逻辑分析能力。核心内容涵盖： 牛顿定律深化： 牛顿三定律的矢量性与瞬时性分析，变力作用下的瞬时加速度求解； 动力学方程的非线性问题（如空气阻力与速度相关时的微分方程建模）； 非惯性系进阶： 平动加速系中的惯性力（达朗贝尔原理）与转动系中的离心力、科里奥利力； 非惯性系下动力学方程的修正（如旋转圆盘上物体的运动轨迹分析）； 复杂系统动力学： 多体连接系统的内力分配（如滑轮组与弹簧串联的加速度关联）； 约束条件的动力学处理（如曲面运动的法向力突变问题）； 非线性回复力系统的微振动分析（如非胡克弹性势能下的振动周期）； 实验与误差分析： 设计验证牛顿第二定律的实验方案（如气垫导轨的变质量修正）； 非惯性系中的虚拟力验证（如傅科摆的竞赛简化模型）。 竞赛题型特点： 综合陷阱：结合非惯性系（如加速电梯）、突变条件（如绳断瞬间的加速度跃变）设计多过程问题； 数学工具：需通过微分方程或参数分离法求解变力动力学问题； 物理建模：将实际情景（如电磁场中的带电粒子运动）抽象为力学模型。 备考建议： 掌握惯性力的等效处理法，熟练转换参考系简化问题； 强化微分方程构建与分离变量的运算能力； 注重突变条件分析（如约束力瞬时变化的逻辑判断）。 本章是衔接高中与大学力学的关键桥梁，需突破惯性思维局限，建立非惯性系下的动力学分析范式。 经典名题 1．长度分别为和的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为和的两个小球，处于静止状态，如图所示。中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v，则此时下面绳中的拉力为 。 2．乘坐高铁时将硬币在桌面上立起来，已成为旅途中一项有趣的活动。假设硬币为质量分布不均匀的圆盘；硬币边缘点与桌面接触，硬币重心在过点的直径的右侧，它到此直径的距离为，到桌面的距离为。重力加速度大小为。 (1)如图a，高铁沿水平直线轨道做匀加速运动，该硬币竖直立在此高铁内的水平桌面上，硬币面和加速度方向平行。 （1.1）若硬币相对于桌面静止，求高铁运动的加速度； （1.2）若硬币与桌面的静摩擦因数为，当加速度超过多大时，硬币将滑动。 (2)如图b，高铁内有一倾角为的桌面，其横截面为楔形且竖直；硬币面与此横截面平行，硬币边缘点仍与桌面接触，硬币重心仍在过P点的直径的右侧。此时高铁在水平圆轨道上匀速运行，硬币面过轨道直径，硬币重心做圆周运动的半径为。已知硬币相对于桌面静止，求 （2.1）高铁在圆轨道上转动的角速度； （2.2）硬币与桌面之间的静摩擦因数的最小值。 3．一足够大的斜面倾角为，在其上部有一物块，物块于斜面之间的摩擦系数为。在斜面内沿水平方向给物块一初速度，试确定在经过足够长时间之后物块的速度，并对结果的合理性进行分析。 4．系统如图所示，A、B两物体的质量分别为、，绳与滑轮间无摩擦，A与水平桌面间的摩擦系数记为，绳的质量可略，开始时A、B静止。与水平方向的夹角为，右侧水平绳被剪断后瞬间，设物块A的向左运动的加速度，B竖直向下的加速度为，设此瞬间线中张力为T，地面给A物的支持力为N，为求解，列出下列四个方程，其中正确的方程是（　　） A． B． C． D． 5．两个质量分别为和的重物挂在细绳的两端（）绳子绕过一个半径为r滑轮，在滑轮的轴上固定了四个长为L分布均匀的轻辐条，辐条的端点固定有质量为m的重球，重物、重球从图所示位置由静止开始做匀加速运动，求、运动的加速度。设轴的摩擦力忽略不计，线及滑轮的质量忽略不计，线与滑轮间不发生滑动。 6．质量为m的质点附着在力常数为k的弹簧上，在粗糙表面上沿x轴移动，以原点为弹簧自然长度时的位置。 （1）当时，粒子在及静止，假设弹簧力足够大，使得粒子在恒定的摩擦力f下移动，在时间内，求，其中是后粒子第一次停止的时间，用k、m、f和表达您的答案，设静摩擦系数为0.03，动摩擦系数为0.01，，，重力加速度； （2）设，使用（a）或其他方式，找到粒子永久停止时的最终位置； （3）求出粒子的总移动距离； （4）求粒子永久停止之前所经过的总时间。 7．质量为M的三角楔子置于水平无摩擦的地面上，将质量为m的木块放在楔子上，如图所示，木块和楔子之间没有摩擦力，系统从静止状态释放，给定和。 (1)三角楔子加速度的大小（　　） A． B． C． D． E．0 (2)若当木块滑到地面时，楔子相对地面的速度为1m/s，木块在楔子上离地面的初始高度（假设木块为无体积的重点）（　　） A． B． C． D． E． 8．质量为的质点受到力（其中k为常数）的作用沿x轴做直线运动。在x=0处的速度为，求该质点的速度随x变化关系。 一质量为M的光滑大圆环用细绳挂在天花板上。两个质量同为m的小圆圈从环顶由静止开始同时向两边下滑，已知质量比。 9．当细绳张力时圆圈位置的余弦函数满足方程（　　） A． B． C． D． E． F． 10．参量K的取值范围为（　　） A． B． C． D． E． F． 11．当小圆圈的质量m是大圆环质量M的2倍且细绳张力时，圆圈位置（　　） A． B． C． D． E． F． 12．如图，有一个两端封闭、粗细均匀的U型玻璃细管，放置在竖直平面内，两个竖直支管的高度均为h，水平管的长度为，拐角处管长不计，玻璃细管的横截面面积为S，水平管内灌满密度为的水银，两竖直支管内气体压强均等于大气压强。现使U型管向左作匀加速移动，当水平管内水银柱长度稳定为时，两竖直支管内的气体压强差为 ，管运动的加速度大小为 。 13．在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定半圆形屏障，质量为m的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功为。 14．设作用在质量为1 kg的物体上的力F = 6t+3（SI）。 如果物体在这一力作用下，由静止开始沿直线运动，求0到2.0 s的时间间隔内该力作用在物体上的冲量的大小。 15．质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为（k为常数）。 证明小球在水中竖直沉降的速度与时间t的关系为，式中t为从沉降开始计算的时间。 16．有一质量为M的质点沿x轴正方向运动，假设该质点通过坐标为x处时的速度为kx（k为正常数），求 （1）此时作用于该质点上的力F； （2）质点从x０点出发运动到x１处所经历的时间t。 17．如图所示，A为放在水平光滑桌面上的长方形物块，在它上面放有物块B和C．A、B、C的质量分别为m、5m、m。B、C与A之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数皆为0.10，K为轻滑轮，绕过轻滑轮连接B和C的轻细绳都处于水平位置。现用水平方向的恒定外力F拉滑轮，使A的加速度等于0.20g，g为重力加速度在这种情况时，B、A之间沿水平方向的作用力的大小等于 ，C、A之间沿水平方向的作用力的大小等于 ，外力F的大小等于 。 18．两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。 （1）现将AB突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。 （2）如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在位置，结果发现两条形磁铁也碰在一起。试定性地解释上述现象。 19．若不考虑太阳和其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体，它们的质量分别为M和m，月心-地心间的距离为R，万有引力恒量为G。学生甲以地心为参考系，利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到月球相对于地心参考系的加速度为；学生乙以月心为参考系，同样利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到地球相对于月心参考系的加速度为。这二位学生求出的地一月间的相对加速度明显矛盾，请指出其中的错误，并分别以地心参考系（以地心速度作平动的参考系）和月心参考系（以月心速度作平动的参考系）求出正确结果。 20．半径为的水平圆台，可绕通过圆心的竖直光滑细轴转动（如图）。圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为的物体放在一个槽内，与槽底间的静摩擦因数为，质量为的物体放在另一槽内，此槽是光滑的。间用一长为且不可伸长的轻绳绕过细轴相连。试求当圆台做匀角速转动且、两物体相对圆台不动时，转动角速度和到圆心的距离所应满足的条件（设此时与槽的侧面之间没有作用力）。 21．帆船在逆风的情况下仍能只依靠风力破浪航行。设风向从向，如图，位于点处的帆船要想在静水中最后驶达目标点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的作用力是如何使船逆风前进达到目标的。 22．在化工厂、制药厂、医学检验等工作中经常需要将在液体中的微小颗粒沉淀析出，为此苛将待分离液体静置一段较长的时间，这种方法称内“重力沉淀”法，也可以使用离心分离器在较短时间内将液体中的微小颗粒沉淀析出，称为 “离心沉淀”法，试分析这种“离心沉淀”为什么比“重力沉淀”快？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 力学第03讲 《运动定律》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是力学竞赛的核心基础，在牛顿定律的框架下拓展至非惯性系与惯性力等大学内容，重点培养学生对复杂动力学系统的建模与逻辑分析能力。核心内容涵盖： 牛顿定律深化： 牛顿三定律的矢量性与瞬时性分析，变力作用下的瞬时加速度求解； 动力学方程的非线性问题（如空气阻力与速度相关时的微分方程建模）； 非惯性系进阶： 平动加速系中的惯性力（达朗贝尔原理）与转动系中的离心力、科里奥利力； 非惯性系下动力学方程的修正（如旋转圆盘上物体的运动轨迹分析）； 复杂系统动力学： 多体连接系统的内力分配（如滑轮组与弹簧串联的加速度关联）； 约束条件的动力学处理（如曲面运动的法向力突变问题）； 非线性回复力系统的微振动分析（如非胡克弹性势能下的振动周期）； 实验与误差分析： 设计验证牛顿第二定律的实验方案（如气垫导轨的变质量修正）； 非惯性系中的虚拟力验证（如傅科摆的竞赛简化模型）。 竞赛题型特点： 综合陷阱：结合非惯性系（如加速电梯）、突变条件（如绳断瞬间的加速度跃变）设计多过程问题； 数学工具：需通过微分方程或参数分离法求解变力动力学问题； 物理建模：将实际情景（如电磁场中的带电粒子运动）抽象为力学模型。 备考建议： 掌握惯性力的等效处理法，熟练转换参考系简化问题； 强化微分方程构建与分离变量的运算能力； 注重突变条件分析（如约束力瞬时变化的逻辑判断）。 本章是衔接高中与大学力学的关键桥梁，需突破惯性思维局限，建立非惯性系下的动力学分析范式。 经典名题 1．长度分别为和的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为和的两个小球，处于静止状态，如图所示。中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v，则此时下面绳中的拉力为 。 【答案】 【知识点】惯性力 【详解】对球1的加速度 对球2，以球1为参考系，向左运动的速度为v，根据牛顿第二定律 解得 2．乘坐高铁时将硬币在桌面上立起来，已成为旅途中一项有趣的活动。假设硬币为质量分布不均匀的圆盘；硬币边缘点与桌面接触，硬币重心在过点的直径的右侧，它到此直径的距离为，到桌面的距离为。重力加速度大小为。 (1)如图a，高铁沿水平直线轨道做匀加速运动，该硬币竖直立在此高铁内的水平桌面上，硬币面和加速度方向平行。 （1.1）若硬币相对于桌面静止，求高铁运动的加速度； （1.2）若硬币与桌面的静摩擦因数为，当加速度超过多大时，硬币将滑动。 (2)如图b，高铁内有一倾角为的桌面，其横截面为楔形且竖直；硬币面与此横截面平行，硬币边缘点仍与桌面接触，硬币重心仍在过P点的直径的右侧。此时高铁在水平圆轨道上匀速运行，硬币面过轨道直径，硬币重心做圆周运动的半径为。已知硬币相对于桌面静止，求 （2.1）高铁在圆轨道上转动的角速度； （2.2）硬币与桌面之间的静摩擦因数的最小值。 【答案】(1)（1.1）；（1.2） (2)（2.1）；（2.2） 【知识点】惯性力 【详解】（1）（1.1）如图a，由牛顿第二定律知，硬币受到的静摩擦力 ① 由力平衡条件知，硬币受到的支撑力 ② 以硬币重心为支点，由力矩平衡条件有 ③ 由①②③式得 ④ （1.2）静摩擦力大小满足 ⑤ 由①②⑤式得 ⑥ 可见加速度超过时硬币将滑动。 （2）（2.1）如图b，设高铁在圆轨道上转动的角速度为，以硬币和桌面的接触点为支点，由力矩平衡条件得 ⑦ 由⑦式得 因此 ⑧ （2.2）仍如图b，设硬币受到桌面的支撑力为，静摩擦力为（解题图中只画了静摩擦力斜向上的情形）。由牛顿第二定律有 ⑨ 在竖直方向受力平衡，因此有 ⑩ 由⑨⑩式解得 ⑪ ⑫ 为了保证硬币不往下或往上滑动，应有 ⑬ 由⑪⑫⑬式得 ⑭ ⑧代入上式得 ⑮ 静摩擦因数的最小值为。 3．一足够大的斜面倾角为，在其上部有一物块，物块于斜面之间的摩擦系数为。在斜面内沿水平方向给物块一初速度，试确定在经过足够长时间之后物块的速度，并对结果的合理性进行分析。 【答案】，见解析 【知识点】牛顿运动定律 【详解】根据题意，物块速度的大小和方向均随时间变化，在运动平面上物块受到摩擦力 和重力两个力作用，摩擦力为 其方向与速度方向始终相反，重力垂直初速度方向沿斜面方向的分力为 设某一时刻物块的速度为，且与初速度成夹角，如图所示 根据牛顿第二定律，在短时间内物块速度的变化量为 这时在力方向上速度变化量为 将代入上两式得 所以有 即 得任一时刻物块速度 最终，经过足够长时间之后物块一定会沿方向做匀速运动，即取 故物块的最终速度为 4．系统如图所示，A、B两物体的质量分别为、，绳与滑轮间无摩擦，A与水平桌面间的摩擦系数记为，绳的质量可略，开始时A、B静止。与水平方向的夹角为，右侧水平绳被剪断后瞬间，设物块A的向左运动的加速度，B竖直向下的加速度为，设此瞬间线中张力为T，地面给A物的支持力为N，为求解，列出下列四个方程，其中正确的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】牛顿运动定律 【详解】A．对物体A，在水平方向上，根据牛顿第二定律 A正确； B．对物体A，在竖直方向上 B错误； C．对物体B，根据牛顿第二定律 C正确； D．由于初速度均为零，经过极短的时间内，A前进的距离为，B下降的高度，倾斜绳子与水平方向夹角由增加到 ，则有 根据 由于时间相同，可知 D错误。 故选AC。 5．两个质量分别为和的重物挂在细绳的两端（）绳子绕过一个半径为r滑轮，在滑轮的轴上固定了四个长为L分布均匀的轻辐条，辐条的端点固定有质量为m的重球，重物、重球从图所示位置由静止开始做匀加速运动，求、运动的加速度。设轴的摩擦力忽略不计，线及滑轮的质量忽略不计，线与滑轮间不发生滑动。 【答案】 【知识点】牛顿运动定律 【详解】设重物的加速度为a，对由牛顿第二定律可得 对可得 对轻滑轮则有 设滑轮的角加速度为β，则 对四个重球，根据 可得 联立解得 6．质量为m的质点附着在力常数为k的弹簧上，在粗糙表面上沿x轴移动，以原点为弹簧自然长度时的位置。 （1）当时，粒子在及静止，假设弹簧力足够大，使得粒子在恒定的摩擦力f下移动，在时间内，求，其中是后粒子第一次停止的时间，用k、m、f和表达您的答案，设静摩擦系数为0.03，动摩擦系数为0.01，，，重力加速度； （2）设，使用（a）或其他方式，找到粒子永久停止时的最终位置； （3）求出粒子的总移动距离； （4）求粒子永久停止之前所经过的总时间。 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）49.98m；（4）48.68s 【知识点】牛顿运动定律 【详解】（1）当时，根据牛顿第二定律有 可得 从而有 而 可得 当时，由牛顿第二定律有 可得 从而有 可得 （2）对于这个问题有 从而得到 对于接下来的第49次有 粒子永久停止时的最终位置为。 （3）粒子的总行驶距离 （4）粒子永久停止之前所经过的总时间 7．质量为M的三角楔子置于水平无摩擦的地面上，将质量为m的木块放在楔子上，如图所示，木块和楔子之间没有摩擦力，系统从静止状态释放，给定和。 (1)三角楔子加速度的大小（　　） A． B． C． D． E．0 (2)若当木块滑到地面时，楔子相对地面的速度为1m/s，木块在楔子上离地面的初始高度（假设木块为无体积的重点）（　　） A． B． C． D． E． 【答案】(1)B (2)E 【知识点】牛顿运动定律、功能原理与机械能守恒定律 【详解】（1）三角楔子和木块的受力分别如图所示 以为对象，根据牛顿第二定律可得三角楔子加速度大小为 三角楔子和木块在垂直斜面方向的分加速度相同，则有 以为对象，有 其中 ， 联立可得 ，， 故选B。 （2）若当木块滑到地面时，楔子相对地面的速度为，则此过程所用时间为 以物块为对象，物块沿斜面方向的分加速度为 则物块的加速度大小为 木块滑到地面时的速度大小为 根据系统机械能守恒可得 代数数据解得 故选E。 8．质量为的质点受到力（其中k为常数）的作用沿x轴做直线运动。在x=0处的速度为，求该质点的速度随x变化关系。 【答案】 【知识点】牛顿运动定律 【详解】根据牛顿第二定律 注意到对一维情形 将其带入前式并分离变量，得 可得 则有 一质量为M的光滑大圆环用细绳挂在天花板上。两个质量同为m的小圆圈从环顶由静止开始同时向两边下滑，已知质量比。 9．当细绳张力时圆圈位置的余弦函数满足方程（　　） A． B． C． D． E． F． 10．参量K的取值范围为（　　） A． B． C． D． E． F． 11．当小圆圈的质量m是大圆环质量M的2倍且细绳张力时，圆圈位置（　　） A． B． C． D． E． F． 【答案】9．E 10．C 11．DE 【知识点】牛顿运动定律、功能原理与机械能守恒定律 【解析】9．设两小圆圈滑至某位置，绳子的张力为零时，对大圆环受力分析，设小圆圈对大圆环的弹力大小为，根据平衡条件可得 隔离其中一个小圆圈受力分析，根据牛顿第二定律，可得 其中 联立以上式子求得 把，代入上式，求得 故选E。 10．根据上面的分析，绳子的张力要等于零，向心力一定要大有小圆圈重力在向心加速度的方向的分力，故有 解得 同时，当小圆环运动到下半圈时，向心加速度向上，属于超重，绳子的张力不可能为零，所以 综合可得 也就是K要保证一元二次方程在［］上有解。 根据一元二次方程有解的要求 根据抛物线的特点一元二次方程在［］上有解，那就一定是由两个正解，故有 （此处也可以根据质量一定是大于等于零的，故K必须大于等于零） 综合可得 故选C。 11．m是M的两倍，故 ，代入方程有 解方程可得 也就是 故选DE。 12．如图，有一个两端封闭、粗细均匀的U型玻璃细管，放置在竖直平面内，两个竖直支管的高度均为h，水平管的长度为，拐角处管长不计，玻璃细管的横截面面积为S，水平管内灌满密度为的水银，两竖直支管内气体压强均等于大气压强。现使U型管向左作匀加速移动，当水平管内水银柱长度稳定为时，两竖直支管内的气体压强差为 ，管运动的加速度大小为 。 【答案】 【知识点】牛顿运动定律、热力学定律 【详解】［1］运动过程中，水银的总长度不变，末状态水平管道的水银长度只有 ，意味着有 长度的水银上升到右端竖直管道内，故右端空气柱的长度 左端空气柱的长度 对左端空气的进行研究有 解得 对右端空气的进行研究有 解得 则 ［2］对水平管道内的水银列牛顿第二定律方程有 解得 13．在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定半圆形屏障，质量为m的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功为。 【答案】见解析 【知识点】牛顿运动定律 【详解】由牛顿定律可列出如下方程 联立并变换变量，有 取积分得 所以，有结论 14．设作用在质量为1 kg的物体上的力F = 6t+3（SI）。 如果物体在这一力作用下，由静止开始沿直线运动，求0到2.0 s的时间间隔内该力作用在物体上的冲量的大小。 【答案】18N·s 【知识点】牛顿运动定律 【详解】由牛顿第二定律可得 则 15．质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为（k为常数）。 证明小球在水中竖直沉降的速度与时间t的关系为，式中t为从沉降开始计算的时间。 【答案】见解析 【知识点】牛顿运动定律 【详解】取向下为正，根据牛顿第二定律可得 则变换积分可得 可得 16．有一质量为M的质点沿x轴正方向运动，假设该质点通过坐标为x处时的速度为kx（k为正常数），求 （1）此时作用于该质点上的力F； （2）质点从x０点出发运动到x１处所经历的时间t。 【答案】（1）；（2） 【知识点】牛顿运动定律 【详解】（1）由牛顿第二定律即速度时间关系可得 （2）由速度时间关系可得 17．如图所示，A为放在水平光滑桌面上的长方形物块，在它上面放有物块B和C．A、B、C的质量分别为m、5m、m。B、C与A之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数皆为0.10，K为轻滑轮，绕过轻滑轮连接B和C的轻细绳都处于水平位置。现用水平方向的恒定外力F拉滑轮，使A的加速度等于0.20g，g为重力加速度在这种情况时，B、A之间沿水平方向的作用力的大小等于 ，C、A之间沿水平方向的作用力的大小等于 ，外力F的大小等于 。 【答案】 0.10mg 0.10mg 2.2mg 【知识点】牛顿运动定律 【详解】略 18．两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。 （1）现将AB突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。 （2）如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在位置，结果发现两条形磁铁也碰在一起。试定性地解释上述现象。 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】牛顿运动定律 【详解】开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。 （1）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起做加速度方向向下、速度向下的运动。在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着，磁铁和板一起做加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在 处。在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变。 （2）从板突然竖直向上平移到停下，板和磁铁的运动也经历两个阶段。起初，板和磁铁一起做加速度方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动。接着，磁铁和板一起做加速度方向向下、速度向上的运动，直到停在处。在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。 19．若不考虑太阳和其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体，它们的质量分别为M和m，月心-地心间的距离为R，万有引力恒量为G。学生甲以地心为参考系，利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到月球相对于地心参考系的加速度为；学生乙以月心为参考系，同样利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到地球相对于月心参考系的加速度为。这二位学生求出的地一月间的相对加速度明显矛盾，请指出其中的错误，并分别以地心参考系（以地心速度作平动的参考系）和月心参考系（以月心速度作平动的参考系）求出正确结果。 【答案】错误见解析， 【知识点】惯性力、万有引力定律 【详解】因地球受月球的引力作用，月球受地球的引力作用，它们相对惯性系都有加速度，故它们都不是惯性参考系。相对非惯性参考系，牛顿第二定律不成立。如果要在非惯性参考系中应用牛顿第二定律，必须引入相应的惯性力；而这两位学生又都未引入惯性力，所以他们得到的结果原则上都是错误的。 以地心为参考系来求月球的加速度。地心系是非惯性系，设地球相对惯性系的加速度的大小为，则由万有引力定律和牛顿第二定律有 （1） 加速度的方向指向月球。相对地心参考系，月球受到惯性力作用，其大小 （2） 方向指向地球，与月球受到的万有引力的方向相同。若月球相对地心系的加速度为，则有 （3） 由（1）、（2）、（3）三式，得 （4） 加速度的方向指向地球。 以月心为参考系来求地球的加速度。月心系也是非惯性系，设月球相对惯性系的加速度的大小为，则由万有引力定律和牛顿第二定律有 （5） 加速度的方向指向地球。相对月心参考系，地球受到惯性力作用，惯性力的大小 ，（6） 方向指向月球，与地球受到的万有引力的方向相同。若地球相对月心系的加速度为，则有 （7） 由（5）、（6）、（7）三式得 （8） 加速度的方向指向月球。（4）式与（8）式表明，地球相对月心系的加速度与月球相对地心系的加速度大小相等（方向相反），与运动的相对性一致。 20．半径为的水平圆台，可绕通过圆心的竖直光滑细轴转动（如图）。圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为的物体放在一个槽内，与槽底间的静摩擦因数为，质量为的物体放在另一槽内，此槽是光滑的。间用一长为且不可伸长的轻绳绕过细轴相连。试求当圆台做匀角速转动且、两物体相对圆台不动时，转动角速度和到圆心的距离所应满足的条件（设此时与槽的侧面之间没有作用力）。 【答案】见解析 【知识点】牛顿运动定律 【详解】物体相对圆台不动有三种可能： 1. 有沿半径向外移动的趋势 这时，物体所受摩擦力的方向与张力的方向相同（因为所在槽是光滑的，当随圆台转动时，绳中总有张力存在），用表示到圆心的距离，根据牛顿定律和摩擦力的性质可知 解得 这时，必须满足如下的条件： 2. 有沿半径指向圆心移动的趋势 这时，所受摩擦力的方向与张力的方向相反，因而有 解得 这时必须满足如下的条件： 3. 物体无移动的趋势 这时，，应有 解得 这时，可取任意值。 本题主要考查学生全面分析问题和在有静摩擦力存在时物体平衡的受力分析能力。学生最容易产生的问题是只考虑了静摩擦力为零的一种情况，而忽略了另外两种情况，或者想到了两种情况而漏掉了第三种可能性。 21．帆船在逆风的情况下仍能只依靠风力破浪航行。设风向从向，如图，位于点处的帆船要想在静水中最后驶达目标点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的作用力是如何使船逆风前进达到目标的。 【答案】交替改变船头的方向和帆的方位，使船沿“”字形路线行驶，见解析 【知识点】牛顿运动定律 【详解】为便于分析，设船帆为一平面。要使船由点到达点，须先将船头偏转某一角度，例如使船身沿方向（与的夹角小于），并使帆面介于直线与之间，如图7'-1（a）所示。在这种情形下，当风吹到船帆上时，沿帆面的摩擦力较小，风对帆的主要作用力是垂直作用于帆面上的。这个力可分解为沿船身方向把船向前推进的分力和使船横移的分力。由于船体在横向移动方向上受到水的阻力很大，所以横向移动很小可不计。而船沿船身方向所受水的阻力较小，所以能在分力的作用下沿方向前进。 当船沿方向航行一段距离到达点后，将船头掉转到与风向成某一小于角的另一个方向，同时适当改变船帆的方位，如图7'-1（b）所示。则根据与上述相同的理由，风力将使船沿方向前进。 交替改变船头的方向和帆的方位，可使船沿“”字形路线行驶，如图7'-1（c）所示，船就能沿折线…逆风达到目标。 本题在一些科普书籍中曾有所介绍，主要考查学生能否灵活运用所学知识，如力的合成与分解等，去分析一些实际问题。 22．在化工厂、制药厂、医学检验等工作中经常需要将在液体中的微小颗粒沉淀析出，为此苛将待分离液体静置一段较长的时间，这种方法称内“重力沉淀”法，也可以使用离心分离器在较短时间内将液体中的微小颗粒沉淀析出，称为 “离心沉淀”法，试分析这种“离心沉淀”为什么比“重力沉淀”快？ 【答案】见解析 【知识点】圆周运动、牛顿运动定律 【详解】设管内装有密度为的液体，内有密度为（>）、体积为△V的微小颗粒． 对于“重力沉淀”法： 液体中的微小颗粒受力：重力G=△Vg，浮力F1=△Vg，（因下沉速度很小，可忽略粘滞阻力）． 由牛顿第二定律得微粒下沉的加速度为： 对于“离心沉淀”法：当离心分离器带着试管以角速度ω高速旋转时，两试管几乎处于水平状态，因分离的微粒将集中到试管的底部，故为简化问题，只分析其水平方向受力情况． 设在试管中有一个与转轴相距r、体积为△V的小液滴，则其做圆周运动所需的向心力为： F2=△Vrω2， 此向心力是周围的液体所提供的． 若在该处不是△V的小液滴，而代之以在液体中的体积为△V的微粒，则此微粒随离心分离器旋转所需的向心力为： ， 而周围的液体所能提供的向心力只有 F2=△Vr， 由于>，所以，即微粒周围液体对它产生的作用力小于它所需的向心力，微粒便向管底“下沉”（同理忽略液体对微粒的粘滞阻力），其下沉加速度为： “离心沉淀”法可以通过人为控制增大，使r>g，从而实现“离心沉淀”比“重力沉淀”更快． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$