力学 第02讲 物体的平衡- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

力学第02讲 《物体的平衡》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是物理竞赛中静力学的核心模块，在高中受力平衡基础上延伸至刚体静力学与流体静力学等大学内容，重点培养学生对复杂平衡系统的建模与分析能力。核心内容涵盖： 刚体平衡条件： 力的平衡（合力为零）与力矩平衡（合力矩为零），强调力矩的矢量性与三维空间分析； 刚体重心的计算与非对称物体的稳定性判据（如倾覆条件）； 流体静力学进阶： 静止流体内压强的分布规律（帕斯卡原理与压强梯度）； 浮力的微观解释与阿基米德原理的积分推导； 表面张力对液面平衡的影响（如毛细现象初步分析）； 复杂系统平衡： 多物体接触的静摩擦力分布（如叠放木块的极限平衡）； 柔性体平衡（如悬链线、绳索张力分布）； 流体与固体耦合问题（如浮体稳定性与定倾中心）。 竞赛题型特点： 综合性强：结合刚体与流体（如浮体倾斜时的力矩平衡）、非对称受力系统（如L形支架的稳定性）； 数学工具深化：需利用积分计算非均匀密度物体的重心或流体压力合力； 临界分析：通过“极限平衡法”求解静摩擦力的极值问题。 备考建议： 掌握力矩的矢量运算与三维空间投影技巧； 熟练运用微元法分析连续介质（如绳索、流体）的平衡； 强化多约束系统的方程构建能力（如联立力与力矩平衡方程）。 经典名题 1．如图所示，在一根长为，质量为的细金属杆（质量分布不均匀）的A端施加一个与杆垂直的拉力F，使杆静止在图示位置。已知杆与地面成角，地面对杆作用的静摩擦力大小为，地面对杆的支持力大小为，则杆的重心距B端的距离为 的大小为 N。（已知）。 2．密度为的液体在容器的下部，密度为的液体在容器的上部，两种液体互不溶合。高H、密度为的长方体固体静止在液体中，如图所示，试求图中两个高度量、。 3．一个质量为m、边长为b的立方体箱子放置在地面上，如图1、2、3．所示若要求在箱子的左上方顶点施力，向前、向后使箱子在图示平面内翻转，而箱子并不滑动试问向前、向后的最小作用力分别是多少？相应的最小摩擦因数又是多少？ 4．如图所示，T形金属支架与固定转轴O相连， AB水平，CO与AB垂直，B端由竖直细线悬吊，AC=CO=0.2m，CB=0.3m，支架各部分质量均匀分布。小滑块质量m=0.5kg，静止于A端时细线恰不受力。现给小滑块初速使其水平向右滑动，滑块与AB间的动摩擦因数μ=0.5。g=10m/s2，求： （1）支架的重力相对转轴O的力矩；    （2）小滑块滑至C点时细线对B的拉力。 5．半径为的管子盖在半径为、厚为的均匀圆木板上，使木板浸于水中深处（图示）。管轴到板中心距离为。当管中加水至高时，木板开始上浮，试计算。设水的密度为，木板的密度为。 6．如图，一个半径为R的盘状轻物体中过圆心的杆上有一质量为m的物体（忽略形状）固定在离圆心R/2处，下面正确的是（　　） A．时，有两个稳定平衡位置 B．时，有一个稳定平衡位置，有一个不稳定平衡位置 C．时，有一个稳定平衡位置 D．时，没有稳定平衡位置 7．某密度为ρ的脂肪颗粒（可视为半径为r的球）处于密度为ρ0（ρ<ρ0）、粘度为η的液体中，上浮至液面前已达到匀速运动状态，则该匀速状态的速率为 。（斯托克斯公式：） 8．某居民楼的供水系统用内径为1cm的细水管将地面上内径为2cm的粗水管中的水引到5m高的楼上。已知粗水管中的水压为4×105Pa，流速为4m•s-1。若水可看做不可压缩的流体并忽略其粘滞性，且水管截面均为圆形，问楼上细水管出口处的流速、压强分别是多少？ 9．如图所示，液体在一水平流管中流动，流量为Q，A、B两处的横截面积分别为SA和SB（SA<SB），B管口与大气相通，压强为p0，在A处用一细管与容器C相通，设A处的压强低至刚好能将比管道低h处的同种液体吸上来，试求h。 10．如图所示，两直梯下端放在水平地面上，上端靠在竖直墙壁上，相互平行，均处于静止状态。梯子与墙壁之间均无摩擦力，下列说法正确的是（  ） A．梯子越长、越重，所受合力越大 B．地面对梯子的作用力一定竖直向上 C．地面对梯子的作用力可能沿梯子向上. D．地面对梯子的作用力与水平面的夹角大于梯子的倾角 11．如图所示，杆A可绕固定轴O转动，木块B在杆A下方的光滑桌面上，今用逐渐增大的水平力向右推B，整个装置仍保持静止，由于水平力的作用，B对A的支持力将（　　） A．减小 B．增大 C．不变 D．无法确定 12．共享单车极大地方便了人们的出行。如图所示，单车在水平地面上行驶的速度为v，单车与人的总质量为m，合质心离地高度为y，质心离前后轮的水平距离分别为，车轮与水平地面间的动摩擦因数为，若前后车轮同时刹车，同时被“抱死”。 （1）求地面对前、后轮的支持力大小N1、N2，及车能滑行的距离； （2）若车速较快，为保证刹车时不发生危险，y与x1应满足什么关系？ 13．如图，半球型碗里放有质量分别为、的两个光滑球体A、B，两球心和碗球心O的连线、与水平方向夹角分别为、，取，则A球对碗的压力大小为 ；两球球心连线与水平方向的夹角大小为 。 14．自然界中有四种基本相互作用， 下列作用力中属于电磁相互作用的有（　　） A．地球与太阳间的作用力 B．将原子结合成分子的作用力 C．将核子结合成原子核的作用力 D．汽车与地面间的摩擦力 15．一半径R=0.10m的半圆形闭合线圈，载有电流为I=10A，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，磁感应强度的大小为B＝5.0×103GS。此半圆形闭合线圈所受力矩的大小为 N·m，方向向 。 16．一长为L、质量为m的均匀细杆，可绕轴O自由转动。设桌面与细杆间的滑动摩擦系数为，杆初始的转速为，试求： （1）摩擦力矩； （2）从到停止转动共经历多少时间； （3）一共转动多少圈。 17．一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，如图所示，释放后，杆绕O轴转动，则当杆转到水平位置时，求： （1）系统所受到的合外力矩的大小； （2）此时该系统角加速度的大小。 18．“动态法”测杨氏模量与“静态拉伸法”相比，主要优点有（　　） A．其实验思想和测量方法更加直观 B．对脆性材料也能进行测量 C．避免了静态拉伸法受驰豫过程等的影响不能真实反映材料内部结构变化的缺点 D．测量的物理量比“静态拉伸法”要少，因而对实验结果不确定度的影响也较小。 19．若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩 （填一定或不一定）为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是 。 20．用定滑轮提升质量为M的重物，绳索与滑轮间的摩擦系数为，绳与滑轮接触的两个端点处的半径对轮心的张角为。设绳索质量不计，现欲提升重物M，至少需要多大的力？（　　） A．Mg B． C． D． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 力学第02讲 《物体的平衡》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是物理竞赛中静力学的核心模块，在高中受力平衡基础上延伸至刚体静力学与流体静力学等大学内容，重点培养学生对复杂平衡系统的建模与分析能力。核心内容涵盖： 刚体平衡条件： 力的平衡（合力为零）与力矩平衡（合力矩为零），强调力矩的矢量性与三维空间分析； 刚体重心的计算与非对称物体的稳定性判据（如倾覆条件）； 流体静力学进阶： 静止流体内压强的分布规律（帕斯卡原理与压强梯度）； 浮力的微观解释与阿基米德原理的积分推导； 表面张力对液面平衡的影响（如毛细现象初步分析）； 复杂系统平衡： 多物体接触的静摩擦力分布（如叠放木块的极限平衡）； 柔性体平衡（如悬链线、绳索张力分布）； 流体与固体耦合问题（如浮体稳定性与定倾中心）。 竞赛题型特点： 综合性强：结合刚体与流体（如浮体倾斜时的力矩平衡）、非对称受力系统（如L形支架的稳定性）； 数学工具深化：需利用积分计算非均匀密度物体的重心或流体压力合力； 临界分析：通过“极限平衡法”求解静摩擦力的极值问题。 备考建议： 掌握力矩的矢量运算与三维空间投影技巧； 熟练运用微元法分析连续介质（如绳索、流体）的平衡； 强化多约束系统的方程构建能力（如联立力与力矩平衡方程）。 经典名题 1．如图所示，在一根长为，质量为的细金属杆（质量分布不均匀）的A端施加一个与杆垂直的拉力F，使杆静止在图示位置。已知杆与地面成角，地面对杆作用的静摩擦力大小为，地面对杆的支持力大小为，则杆的重心距B端的距离为 的大小为 N。（已知）。 【答案】 0.75 6 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】对杆受力分析如图所示 杠杆处于静止状态，因此杠杆水平方向合力为零，的水平分量的大小 F的大小为 F的竖直分量为 杠杆在竖直方向合力也为零，杠杆重力为 设杠杆重力距B端距离为L力矩平衡，各力对B点力矩代数和为0，有 解得 2．密度为的液体在容器的下部，密度为的液体在容器的上部，两种液体互不溶合。高H、密度为的长方体固体静止在液体中，如图所示，试求图中两个高度量、。 【答案】 【知识点】共点力作用下的物体平衡 【详解】设长方体的横截面积为S，静止时固体所受的浮力与重力相平衡 又 联立解得 ， 3．一个质量为m、边长为b的立方体箱子放置在地面上，如图1、2、3．所示若要求在箱子的左上方顶点施力，向前、向后使箱子在图示平面内翻转，而箱子并不滑动试问向前、向后的最小作用力分别是多少？相应的最小摩擦因数又是多少？ 【答案】向前时，，；向后时，， 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】向前转动时，以C为转轴，根据力矩平衡AC为力臂时，F取最小值，此时F与水平方向成45o角斜向上，如图2所示 解得 对物体进行受力分析可知 则 向后转动时，以D为转轴，根据力矩平衡AD为力臂时，F取最小值，此时F水平向左，如图3所示 解得 对物体进行受力分析可知 则 4．如图所示，T形金属支架与固定转轴O相连， AB水平，CO与AB垂直，B端由竖直细线悬吊，AC=CO=0.2m，CB=0.3m，支架各部分质量均匀分布。小滑块质量m=0.5kg，静止于A端时细线恰不受力。现给小滑块初速使其水平向右滑动，滑块与AB间的动摩擦因数μ=0.5。g=10m/s2，求： （1）支架的重力相对转轴O的力矩；    （2）小滑块滑至C点时细线对B的拉力。 【答案】（1）1N·m；（2）5N 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】（1）根据力矩平衡可知，支架的重力相对转轴O的力矩为 解得 （2）滑动摩擦力的力矩 根据力矩平衡有 解得 T=5N 5．半径为的管子盖在半径为、厚为的均匀圆木板上，使木板浸于水中深处（图示）。管轴到板中心距离为。当管中加水至高时，木板开始上浮，试计算。设水的密度为，木板的密度为。 【答案】 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】由于管子压住圆木，不会上浮，注水后，由于浮心的位置发生变化，圆木将经发生翻转，当高度恰好为某个值时，园木恰好将绕管子的右侧翻转，以管子右端为转轴，圆木上端的水相对管子右端沿顺指针方向的力矩 圆木的重力及管子下方的水相对管子右端沿逆指针方向的力矩 根据力矩平衡 解得 因此木板翻转开始上浮的条件是 6．如图，一个半径为R的盘状轻物体中过圆心的杆上有一质量为m的物体（忽略形状）固定在离圆心R/2处，下面正确的是（　　） A．时，有两个稳定平衡位置 B．时，有一个稳定平衡位置，有一个不稳定平衡位置 C．时，有一个稳定平衡位置 D．时，没有稳定平衡位置 【答案】BCD 【知识点】一般物体的平衡 【详解】圆盘若处于平衡状态，小球一定在接触点的正上方，满足力矩平衡，如图所示 可得 由于为锐角，因此方程有解的条件是 可得 因此当时，没有平衡位置；当时，角有两个不同的解，其中一个是钝角，一个是锐角，也就是有两个平衡位置；当，角为直角，也就是有一个平衡位置。 当时，有一个微小扰动，重心偏离平衡位置一个小角度，重心的高度变化为 消去小量可得 可知当为锐角是时，重心升高会回到平衡位置，为稳定平衡；当为钝角是时，重心降低，盘将远离平衡为位置，为不稳定平衡；当为直角是时，重心高度不变，为随遇平衡，也相当于处于稳定平衡状态。 故选BCD。 7．某密度为ρ的脂肪颗粒（可视为半径为r的球）处于密度为ρ0（ρ<ρ0）、粘度为η的液体中，上浮至液面前已达到匀速运动状态，则该匀速状态的速率为 。（斯托克斯公式：） 【答案】 【知识点】流体静力学 【详解】[1]脂肪颗粒匀速上升，故受力平衡 联立解得 8．某居民楼的供水系统用内径为1cm的细水管将地面上内径为2cm的粗水管中的水引到5m高的楼上。已知粗水管中的水压为4×105Pa，流速为4m•s-1。若水可看做不可压缩的流体并忽略其粘滞性，且水管截面均为圆形，问楼上细水管出口处的流速、压强分别是多少？ 【答案】16m/s， 【知识点】流体静力学 【详解】由连续性原理有 v1S1=v2S2 而 得 又由伯努利方程有 得 9．如图所示，液体在一水平流管中流动，流量为Q，A、B两处的横截面积分别为SA和SB（SA<SB），B管口与大气相通，压强为p0，在A处用一细管与容器C相通，设A处的压强低至刚好能将比管道低h处的同种液体吸上来，试求h。 【答案】 【知识点】流体静力学 【详解】由连续性原理与伯努利方程 由（1）式 代入（2）式，有 所以 10．如图所示，两直梯下端放在水平地面上，上端靠在竖直墙壁上，相互平行，均处于静止状态。梯子与墙壁之间均无摩擦力，下列说法正确的是（  ） A．梯子越长、越重，所受合力越大 B．地面对梯子的作用力一定竖直向上 C．地面对梯子的作用力可能沿梯子向上. D．地面对梯子的作用力与水平面的夹角大于梯子的倾角 【答案】D 【知识点】动态平衡问题、力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】A．两梯子处于平衡状态，所受合力均为零，故A错误； BCD．地面对梯子的支持力竖直向上，摩擦力沿水平方向，其合力方向斜向上，当地面对梯子的作用力沿梯子向上或与水平面的夹角小于梯子的倾角时，梯子将发生转动，故BC错误，D正确。 故选D。 11．如图所示，杆A可绕固定轴O转动，木块B在杆A下方的光滑桌面上，今用逐渐增大的水平力向右推B，整个装置仍保持静止，由于水平力的作用，B对A的支持力将（　　） A．减小 B．增大 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】根据题意可知，物体B在水平方向上受水平向右的推力，水平向左的A对B的摩擦力作用，B静止处于平衡状态，由平衡条件得 推力逐渐增大，因此摩擦力逐渐增大；由牛顿第三定律可知，B对A的摩擦力逐渐增大，杆A是一个杠杆，O点是支点，杆A受力及力臂如图所示 由于杠杆A静止，由杠杆平衡条件得 由于在水平推力逐渐增大的过程中，、、、不变，增大，则变小。 故选A。 12．共享单车极大地方便了人们的出行。如图所示，单车在水平地面上行驶的速度为v，单车与人的总质量为m，合质心离地高度为y，质心离前后轮的水平距离分别为，车轮与水平地面间的动摩擦因数为，若前后车轮同时刹车，同时被“抱死”。 （1）求地面对前、后轮的支持力大小N1、N2，及车能滑行的距离； （2）若车速较快，为保证刹车时不发生危险，y与x1应满足什么关系？ 【答案】（1），，；（2） 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡、运动学的基础内容 【详解】（1）自行车刹车时，合质心的合外力矩为零，则 其中 解得 根据牛顿第二定律可得自行车刹车时的加速度大小为 根据位移速度关系可得车能滑行的距离为 （2）若车速较快，刹车时后轮有离地趋势，为保证刹车时不发生危险，应有 解得 13．如图，半球型碗里放有质量分别为、的两个光滑球体A、B，两球心和碗球心O的连线、与水平方向夹角分别为、，取，则A球对碗的压力大小为 ；两球球心连线与水平方向的夹角大小为 。 【答案】 20N 0 【知识点】共点力作用下的物体平衡 【详解】［1］对AB整体受力分析有 正交分解有 解得 ［2］对A隔离受力分析有 正交分解有 解得 14．自然界中有四种基本相互作用， 下列作用力中属于电磁相互作用的有（　　） A．地球与太阳间的作用力 B．将原子结合成分子的作用力 C．将核子结合成原子核的作用力 D．汽车与地面间的摩擦力 【答案】BD 【知识点】几种常见的力 【详解】A．地球与太阳间的作用力为万有引力，故A错误； B．将原子结合成分子的作用力属于电磁相互作用，故B正确； C．将核子结合成原子核的作用力属于强相互作用，故C错误； D．汽车与地面间的摩擦力属于电磁相互作用，故D正确。 故选BD。 15．一半径R=0.10m的半圆形闭合线圈，载有电流为I=10A，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，磁感应强度的大小为B＝5.0×103GS。此半圆形闭合线圈所受力矩的大小为 N·m，方向向 。 【答案】 7.9×102 上 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】由题意可得 由力矩计算公式可得 经判定力矩方向向上 【点睛】 16．一长为L、质量为m的均匀细杆，可绕轴O自由转动。设桌面与细杆间的滑动摩擦系数为，杆初始的转速为，试求： （1）摩擦力矩； （2）从到停止转动共经历多少时间； （3）一共转动多少圈。 【答案】（1） ；（2）；（3） 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】（1）杆在转动时，受到的摩擦力沿杆长连续分布，各元段的摩擦力臂不同，需采用微积分方法求解。 在杆上任取一元段dx，质量为dm =dl =mdx/L，所受的摩擦力为 对轴的摩擦力矩大小为 由于各元段受到的摩擦力矩方向相同，所以总力矩大小为 （2）恒力矩作用下满足 其中，当=0时，有 （3）由及得 17．一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，如图所示，释放后，杆绕O轴转动，则当杆转到水平位置时，求： （1）系统所受到的合外力矩的大小； （2）此时该系统角加速度的大小。 【答案】（1）；（2） 【知识点】刚体的平动与定轴转动、力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】（1）根据题意可知，水平位置时，合外力矩为 （2）根据题意，由公式可得，此时的角加速度为 又有 则 18．“动态法”测杨氏模量与“静态拉伸法”相比，主要优点有（　　） A．其实验思想和测量方法更加直观 B．对脆性材料也能进行测量 C．避免了静态拉伸法受驰豫过程等的影响不能真实反映材料内部结构变化的缺点 D．测量的物理量比“静态拉伸法”要少，因而对实验结果不确定度的影响也较小。 【答案】BC 【知识点】共点力作用下的物体平衡 【详解】A. 静态拉伸法的实验思想和测量方法更加直观，A错误； B. 对脆性材料也能进行测量，B正确； C. 避免了静态拉伸法受驰豫过程等的影响不能真实反映材料内部结构变化的缺点，C正确； D.动态拉伸法实验工作量大，实验数据处理繁琐，D错误。 故选BC。 19．若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩 （填一定或不一定）为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是 。 【答案】 不一定 动量 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】如果不是共点力，则会产生力矩，因此合力为零力矩不一定为零，系统合外力为零，动量一定守恒。 20．用定滑轮提升质量为M的重物，绳索与滑轮间的摩擦系数为，绳与滑轮接触的两个端点处的半径对轮心的张角为。设绳索质量不计，现欲提升重物M，至少需要多大的力？（　　） A．Mg B． C． D． 【答案】D 【知识点】力矩有固定转轴的物体平衡 【详解】取一小段张角为绳，切向方程为 法向 整理得 积分得 故选D。 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$