力学 第01讲 物体的运动- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

力学第01讲 《物体的运动》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是物理竞赛的核心模块，在高中运动学基础上拓展至刚体运动与转动惯量等大学内容，重点培养学生对复杂运动系统的建模与分析能力。核心内容涵盖： 基础运动学：质点模型的位移、速度、加速度的矢量性与瞬时性分析，平抛、斜抛运动的参数化建模； 相对运动与合成：非惯性系中的牵连加速度（如科里奥利力初步分析），多体关联运动的矢量叠加； 刚体运动进阶： 刚体定轴转动的角位移、角速度与角加速度； 转动惯量的定义与计算（如杆、圆盘、球体的转动惯量公式及平行轴定理）； 刚体平面运动的动能分析（平动与转动的耦合）； 数学工具强化：利用微积分推导变加速运动方程，极坐标系下曲线运动的角量描述（如圆周运动的角动量守恒）。 竞赛题型特点： 综合性强：结合刚体与质点系统（如滚动物体的能量分配）、非对称转动惯量问题（如L形刚体的转动分析）； 高阶思维：通过“伪刚体模型”（如链条滑落）考察微元法与积分应用； 实验推理：设计测量转动惯量的实验方案（如三线摆法修正）。 备考建议： 掌握刚体模型与质点模型的差异，理解转动惯量的物理意义； 熟练运用积分工具计算非均匀刚体的转动惯量； 强化矢量分析与坐标系转换能力，适应三维运动问题。 经典名题 1．直线AB以恒定速度在图示平面内沿y方向平动，在此平面内有一半径为r的固定的圆，求在直线越出圆周范围之前因直线与此圆周的交点P的位置变化引起速度和加速度与的函数关系。 2．半径为质量为的匀质光滑圆环上套有一质量为的小环，初始给小环一个切向的初速度，试讨论大环圆心的运动及其速率。 3．竖直平面内有一抛物线型的光滑轨道，质量为的物块从无初速滑下，试求当物块滑到处时对轨道的压力。已知AC间轨道的水平距离为，竖直距离为(重力加速度g取10m/s2)。 4．中学阶段一般不考虑滑轮质量，但实际上其质量对研究的问题有影响。如图，滑轮用固定杆竖直吊在天花板上，滑轮质量为m，轻质细线缠绕在滑轮边缘，下方拴一质量为的物体，细线与滑轮间不打滑，滑轮与中心转轴无摩擦。物体释放后，带动滑轮转动。请用所学知识和思想方法判断细线拉力的表达式可能正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某物理量为A、B的和，A、B的测量值分别为12.34和2.3574，该物理量应该记为 。 6．两个路灯相距L，高均为H，一人从左边路灯正下方处出发，以速度v对着另一个路灯匀速前进。设人高为h．人在两路灯下的影子落在两灯之间部分的长度为S，S为关于时间t和高度h的二元函数。当时，S有极大值。求S取极大值时，相应的h、t。 7．如图所示，A、B、C三个物体处于一正方形的顶点上，其中AC连线水平。现使三物同时开始运动，其中A物以初速下抛，B物自由落体，要使三物能同时相遇，则C物抛出时的速度大小为 m/s，速度方向和水平夹角为 。    8．一只狼沿半径为R的圆形岛边缘沿逆时针方向匀速跑动，如图所示，狼过A点时，一只猎犬以相同的速率从O点出发追击狼.若追击过程中，狼、猎犬、O点始终在同一直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的? 9．下列哪一个人必须是非惯性观察者？将地面视为惯性系，应考虑空气摩擦力（　　） Ⅰ．一个人的位置被另一个观察者描述为 Ⅱ．坐在固定在地面上旋转的旋转木马边缘的人 Ⅲ．一个人垂直向上跳跃，而此刻，当人处于最高位置时 Ⅳ．一个人垂直向上跳跃，而此刻，人还在上升的时候 Ⅴ．一个戴着打开的降落伞进行跳伞的人。 A．只有Ⅰ，Ⅳ和V B．只有Ⅰ和Ⅱ C．只有Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ和Ⅴ D．只有Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ E．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ和Ⅴ 10．摩托车以速度v1沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方x处有一辆汽车正以v2 （v2<v1）的速度开始减速，加速度大小为a2。为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，求其加速度a1至少需要多大？ 11．如图所示，从高H处的P点先后水平抛出两个小球，球1刚好直接越过竖直挡板落在水平地面上的Q点，球2与地面碰撞次后，刚好越过挡板并在Q点与地面发生第次碰撞，已知挡板的高度为h。假设球2每次与地面碰撞前、后瞬间水平速度大小、方向均相同，竖直速度大小相同、方向相反，两球所受到的空气阻力均可忽略。则（　　） A．h与H之比可能为 B．h与H之比可能为 C．球1与球2速度之比可能为 D．球1与球2速度之比可能为 12．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r =at2 i+bt2 j（其中a、b为常量）， 则该质点作（　　） A．匀速直线运动 B．变速直线运动 C．抛物线运动 D．一般曲线运动 13．一质点沿半径R作圆周运动，路程随时间的变化规律为，则时刻质点的速率为 ，加速度的大小为 。 14．一质量为M=15 kg、半径为R=0.30 m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动（转动惯量J=）。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m=8.0 kg的物体。不计圆柱体与轴之间的摩擦，求： （1）物体自静止下落，5 s内下降的距离；                       （2） 绳中的张力。 15．一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处，其速度大小为（　　） A． B． C． D． 16．在某一瞬时，物体在力矩作用下，则有（　　） A．角速度可以为零，角加速度也可以为零 B．角速度不能为零，角加速度可以为零 C．角速度可以为零，角加速度不能为零 D．角速度与角加速度均不能为零 17．质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示，求盘的角加速度的大小。 18．有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x=4.5t2 -2t3（SI），试求： （1）第2秒末的瞬时速度； （2）第2秒内的路程。 19．质点作曲线运动，表示位置矢量，表示速度，表示加速度，S表示路程，a表示切向加速度，下列表达式中（　　） （1）        （2）    （3）    （4） A．只有（1）、（4）是对的 B．只有（2）、（4）是对的 C．只有（2）是对的 D．只有（3）是对的 20．一质点作半径为0.1m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：（SI）则其切向加速度为= 。 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 力学第01讲 《物体的运动》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是物理竞赛的核心模块，在高中运动学基础上拓展至刚体运动与转动惯量等大学内容，重点培养学生对复杂运动系统的建模与分析能力。核心内容涵盖： 基础运动学：质点模型的位移、速度、加速度的矢量性与瞬时性分析，平抛、斜抛运动的参数化建模； 相对运动与合成：非惯性系中的牵连加速度（如科里奥利力初步分析），多体关联运动的矢量叠加； 刚体运动进阶： 刚体定轴转动的角位移、角速度与角加速度； 转动惯量的定义与计算（如杆、圆盘、球体的转动惯量公式及平行轴定理）； 刚体平面运动的动能分析（平动与转动的耦合）； 数学工具强化：利用微积分推导变加速运动方程，极坐标系下曲线运动的角量描述（如圆周运动的角动量守恒）。 竞赛题型特点： 综合性强：结合刚体与质点系统（如滚动物体的能量分配）、非对称转动惯量问题（如L形刚体的转动分析）； 高阶思维：通过“伪刚体模型”（如链条滑落）考察微元法与积分应用； 实验推理：设计测量转动惯量的实验方案（如三线摆法修正）。 备考建议： 掌握刚体模型与质点模型的差异，理解转动惯量的物理意义； 熟练运用积分工具计算非均匀刚体的转动惯量； 强化矢量分析与坐标系转换能力，适应三维运动问题。 经典名题 1．直线AB以恒定速度在图示平面内沿y方向平动，在此平面内有一半径为r的固定的圆，求在直线越出圆周范围之前因直线与此圆周的交点P的位置变化引起速度和加速度与的函数关系。 【答案】； 【知识点】圆周运动 【详解】P点做圆周运动，它沿y轴方向的分量与AB的速度相等，即 可得 由于P点做圆周运动，向心加速度 P点有沿切线方向的加速度和向心加速度，由于沿y轴方向做匀速运动，加速度为零，故P点的合加速度沿水平方向，根据几何关系可知 联立解得 2．半径为质量为的匀质光滑圆环上套有一质量为的小环，初始给小环一个切向的初速度，试讨论大环圆心的运动及其速率。 【答案】， 【知识点】圆周运动 【详解】将大圆环和小圆环作为一个整体，质心的速度 另外小圆环和大圆环的圆心作为两个质点，它们绕系统的质心做匀速圆周运动，且角速度 利用质心的定义可知 大圆环的圆心到质心的距离 以初始质心位置为坐标原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，建立直角坐标系，则 3．竖直平面内有一抛物线型的光滑轨道，质量为的物块从无初速滑下，试求当物块滑到处时对轨道的压力。已知AC间轨道的水平距离为，竖直距离为(重力加速度g取10m/s2)。 【答案】8.0N 【知识点】圆周运动 【详解】若将一物体从A点以初速度v0平抛，恰好沿抛物线运动，与抛物线轨道间无任何作用力，则 代入数据可得 ，t=2s 到达C点时的速度 此时速度方向与水平方向间的夹角为，则 此时 从A点静止释放运动到C点的速度 在C点时 联立解得 根据牛顿第三定律可知，物块滑到处时对轨道的压力为8.0N。 4．中学阶段一般不考虑滑轮质量，但实际上其质量对研究的问题有影响。如图，滑轮用固定杆竖直吊在天花板上，滑轮质量为m，轻质细线缠绕在滑轮边缘，下方拴一质量为的物体，细线与滑轮间不打滑，滑轮与中心转轴无摩擦。物体释放后，带动滑轮转动。请用所学知识和思想方法判断细线拉力的表达式可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】刚体的平动与定轴转动 【详解】根据牛顿运动定律和转动定律列方程，对物体有 对滑轮有 由运动学关系有 联立，解得 将a代入物体牛顿运动定律方程解得 故选D。 5．某物理量为A、B的和，A、B的测量值分别为12.34和2.3574，该物理量应该记为 。 【答案】14.69 【知识点】运动学的基础内容 【详解】根据有效数字读数规则，最后一位为估读，则 6．两个路灯相距L，高均为H，一人从左边路灯正下方处出发，以速度v对着另一个路灯匀速前进。设人高为h．人在两路灯下的影子落在两灯之间部分的长度为S，S为关于时间t和高度h的二元函数。当时，S有极大值。求S取极大值时，相应的h、t。 【答案】， 【知识点】运动学的基础内容 【详解】从人经过左侧灯开始计时，如图2，图3所示，根据相似三角形，在 时，右灯照射人的影子刚好离开左灯底端，在时，左灯照射人产生的影子刚好到达右灯低端 在 时间内，设两灯间影子的长度为x，根据相似三角形 可得 影子的长度随时间的增加而增大，最大值为 在过程中，根据相似三角形可知 ， 可得影子的长度 若 ，影子长度与 时间内对称，因此影子长度的最大值为 且该最大值随h的增大而增大，但若出现该情况必须满足 即 可知当时，影子取得最大值，且最大值为 该时刻为 7．如图所示，A、B、C三个物体处于一正方形的顶点上，其中AC连线水平。现使三物同时开始运动，其中A物以初速下抛，B物自由落体，要使三物能同时相遇，则C物抛出时的速度大小为 m/s，速度方向和水平夹角为 。    【答案】 45° 【知识点】运动学的基础内容 【详解】[1] [2]在自由落体参考系中，B处于静止状态，A以v0的速度向B做匀速运动，要使三物能同时相遇，应使C以竖直向下v0的分速度和水平向右v0的分速度运动，因此C的初速度 方向与水平夹角为45°斜向右下方，指向物体B的位置。 8．一只狼沿半径为R的圆形岛边缘沿逆时针方向匀速跑动，如图所示，狼过A点时，一只猎犬以相同的速率从O点出发追击狼.若追击过程中，狼、猎犬、O点始终在同一直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的? 【答案】轨迹圆周，圆心坐标为（，），半径为 【知识点】圆周运动 【详解】根据题目的条件有：两者绕O点的角速度相同，有 由上式得 ① 两边对时间求导 因为 ，， 且时，，，所以有 ② 下面用三种方法分别求解。 方法一：用极坐标系 沿OA 方向为极轴，O为坐标原点，建立极坐标系；由①②两式得 为一圆方程，圆心坐标为（，），半径为 。 方法二：用运动的合成与分解 在该平面内沿OA方向为x轴，垂直于OA方向为y轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，则有 ， 因为x、y方向的分运动均为简谐运动，且运动方程为 ， 因此轨迹方程为 方法三：用相似三角形法 如图所示 将速度矢量沿径向与横向分解为 和作BD垂直OB 交圆周于 D点，连接OD,设。因为 即 所以与相似，可得 即 则有 即，可见B点始终是的顶点，故轨迹是以OD 为直径的圆周。 9．下列哪一个人必须是非惯性观察者？将地面视为惯性系，应考虑空气摩擦力（　　） Ⅰ．一个人的位置被另一个观察者描述为 Ⅱ．坐在固定在地面上旋转的旋转木马边缘的人 Ⅲ．一个人垂直向上跳跃，而此刻，当人处于最高位置时 Ⅳ．一个人垂直向上跳跃，而此刻，人还在上升的时候 Ⅴ．一个戴着打开的降落伞进行跳伞的人。 A．只有Ⅰ，Ⅳ和V B．只有Ⅰ和Ⅱ C．只有Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ和Ⅴ D．只有Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ E．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ和Ⅴ 【答案】D 【知识点】运动学的基础内容 【详解】非惯性系是指相对地面惯性系做加速运动的物体。由题知将地面视为惯性系，且考虑空气摩擦力。 Ⅰ．一个人的位置被另一个观察者描述为，如果观察者是静止的，观察者为惯性观察者，如果被观察者是静止的，观察者加速度不为零，观察者为非惯性观察者，不符合题意。 Ⅱ．坐在固定在地面上旋转的旋转木马边缘的人，观察者受到圆周运动向心力，加速度一定不为零，木马边缘的人作为观察者为非惯性观察者，符合题意。 Ⅲ．一个人垂直向上跳跃，而此刻，当人处于最高位置时，人的速度为零，加速度一定不为零，最高位置人作为观察者为非惯性观察者，符合题意。 Ⅳ．一个人垂直向上跳跃，而此刻，人还在上升的时候，加速度一定不为零，人作为观察者为非惯性观察者，符合题意。 Ⅴ．一个戴着打开的降落伞进行跳伞的人。跳伞的人做减速运动时，加速度一定不为零，人作为观察者为非惯性观察者，当重力等于降落伞受到空气阻力时，跳伞的人做匀速运动，人作为观察者为惯性观察者，不符合题意。 故选D。 10．摩托车以速度v1沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方x处有一辆汽车正以v2 （v2<v1）的速度开始减速，加速度大小为a2。为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，求其加速度a1至少需要多大？ 【答案】见解析 【知识点】运动学的基础内容 【详解】①当两车相向运动时，两车刚好不发生碰撞时，设摩托车的位移大小为，则汽车的位移大小为，由匀变速直线运动的规律得 联立解得 故摩托车的加速度至少为。 ②当两车同向运动时，以前方减速运动的汽车为参照物，则摩托车相对汽车的相对初速为 相对汽车的相对加速度为 刚与汽车不相碰时，摩托车相对汽车的相对位移为 设摩托车从开始减速到摩托车与汽车速度相同所需时间为，摩托车从开始减速到汽车停止所需时间为，有 摩托车与汽车刚不相碰时，汽车还未停止的条件是 即 这时，以前方减速运动的汽车为参照物，有 即 可得 故当时，为了避免发生碰撞，摩托车加速度至少需要。 当时，摩托车与汽车相碰前，汽车已停止，这时汽车的位移为 摩托车的位移为 摩托车与汽车刚不相撞的条件是 联立解得 故当时，为了避免发生碰撞，摩托车加速度至少需要。 11．如图所示，从高H处的P点先后水平抛出两个小球，球1刚好直接越过竖直挡板落在水平地面上的Q点，球2与地面碰撞次后，刚好越过挡板并在Q点与地面发生第次碰撞，已知挡板的高度为h。假设球2每次与地面碰撞前、后瞬间水平速度大小、方向均相同，竖直速度大小相同、方向相反，两球所受到的空气阻力均可忽略。则（　　） A．h与H之比可能为 B．h与H之比可能为 C．球1与球2速度之比可能为 D．球1与球2速度之比可能为 【答案】BC 【知识点】抛体运动 【详解】CD．两小球都能落在Q点，对球1： ， 对球2： ， 可得 球1与球2速度之比可能为3:1、5:1、7:1、…，故C正确，D错误； AB．刚好能过M点，对球1 ， 对球2 ， 其中 可得 利用 代入可解得 当 时，h与H之比为11:36，故A错误，B正确。 故选BC。 12．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r =at2 i+bt2 j（其中a、b为常量）， 则该质点作（　　） A．匀速直线运动 B．变速直线运动 C．抛物线运动 D．一般曲线运动 【答案】B 【知识点】运动学的基础内容 【详解】对表达式求导，则有 对表达式求导，则有 根据上述可知对于速度矢量与加速度矢量均有 表面加速度方向与速度方向相同，加速度一定，可知，质点做匀加速直线运动，即质点做变速直线运动。 故选B。 13．一质点沿半径R作圆周运动，路程随时间的变化规律为，则时刻质点的速率为 ，加速度的大小为 。 【答案】 【知识点】圆周运动 【详解】[1]对函数求导，则有 [2]对上述函数求导，则质点切线加速度为 质点径向加速度为 则质点的加速度为 解得 14．一质量为M=15 kg、半径为R=0.30 m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动（转动惯量J=）。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m=8.0 kg的物体。不计圆柱体与轴之间的摩擦，求： （1）物体自静止下落，5 s内下降的距离；                       （2） 绳中的张力。 【答案】（1）63.3 m；（2）37.9 N 【知识点】刚体的平动与定轴转动 【详解】（1）圆柱体的转动惯量 解得 J =0.675 kg·m2 对物体分析如图所示 则有 mg-T=ma         又由于 TR=J，a=R 解得 a=5.06 m / s2 因此下落距离为 解得 h=63.3m （2）对物体分析有 T =m（g－a） 结合上述解得 T=37.9 N 15．一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处，其速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运动学的基础内容 【详解】用、表示速度沿、轴的分量式，则有 于是的大小为 故选D。 16．在某一瞬时，物体在力矩作用下，则有（　　） A．角速度可以为零，角加速度也可以为零 B．角速度不能为零，角加速度可以为零 C．角速度可以为零，角加速度不能为零 D．角速度与角加速度均不能为零 【答案】C 【知识点】刚体的平动与定轴转动 【详解】力矩产生角加速度，故角加速度不能为零；角加速度改变角速度，故某一瞬间角速度可以为零，故C正确，ABD错误。 故选C。 17．质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示，求盘的角加速度的大小。 【答案】 【知识点】刚体的平动与定轴转动 【详解】受力分析如图所示 根据题意，有 联立解得 18．有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x=4.5t2 -2t3（SI），试求： （1）第2秒末的瞬时速度； （2）第2秒内的路程。 【答案】（1）-6 m/s；（2）2.25 m 【知识点】运动学的基础内容 【详解】（1）由于位移的一次导数表示速度，则有 解得第2秒末的瞬时速度为 （2）根据上述有 令一次导数等于0，解得 表明1.5s时，质点开始反向运动，可知第2秒内的路程 19．质点作曲线运动，表示位置矢量，表示速度，表示加速度，S表示路程，a表示切向加速度，下列表达式中（　　） （1）        （2）    （3）    （4） A．只有（1）、（4）是对的 B．只有（2）、（4）是对的 C．只有（2）是对的 D．只有（3）是对的 【答案】D 【知识点】运动学的基础内容 【详解】表示速度大小随时间的变化率，（1）错误； 位矢的大小随时间的变化率，（2）错误； 路程的变化率表示速度的大小，（3）正确； 速度变化率的绝对值，表示加速度的大小，（4）错误； ABC错误，D正确。 故选D。 20．一质点作半径为0.1m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：（SI）则其切向加速度为= 。 【答案】 【知识点】圆周运动 【详解】由 可知，角速度 线速度大小为 切向加速度为 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$