电磁学 第01讲 电场- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

电磁学第01讲 《电场》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是电磁学竞赛的核心基础模块，在高中库仑定律与电场强度基础上拓展至电势分布、电容介质理论等大学内容，重点培养学生对复杂静电系统的建模与空间分析能力。核心内容涵盖： 电场理论基础： 电场强度的矢量叠加与高斯定理的应用（对称与非对称电荷分布的场强计算）； 电势的积分定义与梯度关系（E=−∇V），电势能的多电荷系统分析； 电容器进阶： 电容器的串并联能量分配与电荷重分布问题； 含介质电容器的电场修正（极化电荷的等效模型与介电常数的影响）； 电容器的暂态过程（充放电的微分方程建模与时间常数分析）； 复杂电场系统： 非均匀电场中的导体静电平衡（如尖端放电的场强极限）； 连续电荷体系的电势计算（如圆环、球壳的积分法）； 电场能量密度的定量分析。 竞赛题型特点： 综合性强：结合静电场与电路（如电容器动态连接的能量转化）、电场与力学平衡（如带电液滴的悬浮条件）； 数学工具深化：需通过矢量积分计算非对称场强或利用拉普拉斯方程简化对称问题； 临界分析：设计极值问题（如电势极小点的位置判定）或稳定性条件（如导体球的电荷分布突变）。 备考建议： 掌握高斯定理的适用条件，灵活选取高斯面简化计算； 熟练运用电势叠加法分析连续电荷分布（如线电荷、面电荷）； 强化微元法与对称性分析能力（如非规则导体的电荷重新分布问题）。 本章是电磁学竞赛的基石，需构建“场”的物理图像，突破点电荷模型的局限，为后续电磁感应与电路分析奠定基础。 经典名题 1．一半径为a的圆盘式电容器，极板间距为，在其中心对称轴处连有一电阻R。在时，电容器极板上突然充上电荷，求t时刻极板间的电场强度。 2．将宽度为d、相距为的两块金属板竖直插入相对介电常数为、密度为的汽油中。在两板上外加电势差，则两板间液面将上升h，试求h。真空介电常数为 3．在半径相等的圆盘、圆环、球上均匀分布有电荷量相等的正电荷，其中心点的电势大小满足（　　） A．盘>球>环 B．球>环>盘 C．球>盘>环 D．环>盘>球 4．如图所示，长为2R的导体棒原来不带电，现将一个带正电的点电荷q放在棒的中心轴线上距离棒的左端R处，当棒达到静电平衡后，感应电荷在棒的中点O处产生的电场强度为（　　） A．  方向向右 B．0 C． 方向向左 D．无法确定 5．如图，A、B是两块平行放置的无限大金属板。板带电板带点，下列说法正确的有（　　） A．板左表面和B板右表面带电量一定相等 B．板左表面和B板右表面带电量不一定相等 C．板右表面带电量为 D．B板右表面带电量为 两块靠的很近、用空气或其他物质绝缘的平行金属板构成一种最简单的电容器，称为平行板电容器。这两块金属板叫做电容器的极板。为了增大容量，减小体积，常把极板和绝缘介质卷起来，把电容器做成圆柱形，事实上，尽管形形色色的电容器大小、形状各异，它们往往都是平行板电容器的某种变形。 6．关于电容器和电容的概念，下列说法正确的是（　　） A．两个彼此绝缘又互相靠近的导体可以看成是一个电容器 B．用电源对平行板电容器充电后，两极板可以带有不等量异种电荷 C．某一电容器带电荷量越多，它的电容就越大 D．某一电容器两板间的电势差越高， 它的电容就越大 7．一位同学用底面半径为r的圆桶形塑料瓶制作了一种电容式传感器，用来测定瓶内溶液深度的变化， 如图所示， 瓶的外壁涂有一层导电涂层和瓶内导电溶液构成电容器的两极，它们通过探针和导线与电源、电流计、开关相连，中间层的塑料为绝缘电介质，其厚度为 d，介电常数为 εr。若发现在某一小段时间 t内有大小为 I的电流从下向上流过电流计，设电源电压恒定为 U，则下列说法中正确的是（　　） A．瓶内液面降低了 B．瓶内液面升高了 C．瓶内液面升高了 D．瓶内液面降低了 8．关于电场强度，以下认识正确的是（　　） A．若在电场中的P点不放试探电荷，则P点的电场强度为0 B．点电荷的电场强度公式表明，在距离为r的点上电场强度都相同 C．电场强度公式表明，电场强度的大小与试探电荷的电荷量q成反比，若q减半，则该处的电场强度变为原来的2倍 D．匀强电场中电场强度处处相同，所以试探电荷在其中任意位置的受力都相同 9．正电荷均匀分布在半径为的球形体积中(如图所示)，电荷体密度为，则球内点和球外点的电势差。    10．在电场强度为的均匀电场中作一半径为r的半球面S，S边线所在平面的法线方向单位矢量与的夹角为 ，则通过半球面S的电通量（取弯面向外为正）为（　　）    A． B． C． D． 11．半径为的均匀带电球面，电荷面密度为，则在球面外侧距离球面处的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 12．面积很大的均匀带电平面与导体板平行放置，两者间距远小于板的线度，如图所示，设平面带电，板带电总量为，求板两侧面上的面电荷密度及之间的电势差。    13．带电量分别为q1和q2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为和，空间各点总场强为＝＋。现在作一封闭曲面S，如图所示，则 ＝ ， ＝ 。 14．面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为（　　） A． B． C． D． 15．两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb（Ra<Rb）， 所带电荷分别为Qa和Qb。设某点与球心相距r，当Ra<r<Rb时，该点的电场强度的大小为 （　　） A． B． C． D． 16．半径为R的“无限长”均匀带电圆柱面的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为（　　） A．   B．   C． D．   17．一长直导线横截面半径为a，导线外同轴地套一半径为b的薄圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地，如图所示．设导线单位长度的电荷为+，并设地的电势为零，则两导体之间的P点（OP = r）的场强大小和电势分别为（　　）    A．， B．， C．， D．， 18．若穿过球形高斯面的电场强度通量为零，则（　　） A．高斯面内一定无电荷 B．高斯面内无电荷或正负电荷的代数和为零 C．高斯面上的场强一定处处为零 D．以上说法均不正确 19．一电量为-q的点电荷位于圆心O处， A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图所示。现将一试验电荷从A点分别移到B、C、D各点，则（　　） A．从A到B，电场力做功最大 B．从A到C，电场力做功最大 C．从A到D，电场力做功最大 D．从A到各点，电场力做功相等 20．一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为（q为一正的常量），试求： （1）带电球体的总电荷； （2）球内、外各点的电场强度。 21．三个电容器如图联接，其中C1=10×10-6F，C2=5×10-6F，C3=4×10-6F，当A、B间电压U=100V时，试求： （1）A、B之间的电容； （2）当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 电磁学第01讲 《电场》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是电磁学竞赛的核心基础模块，在高中库仑定律与电场强度基础上拓展至电势分布、电容介质理论等大学内容，重点培养学生对复杂静电系统的建模与空间分析能力。核心内容涵盖： 电场理论基础： 电场强度的矢量叠加与高斯定理的应用（对称与非对称电荷分布的场强计算）； 电势的积分定义与梯度关系（E=−∇V），电势能的多电荷系统分析； 电容器进阶： 电容器的串并联能量分配与电荷重分布问题； 含介质电容器的电场修正（极化电荷的等效模型与介电常数的影响）； 电容器的暂态过程（充放电的微分方程建模与时间常数分析）； 复杂电场系统： 非均匀电场中的导体静电平衡（如尖端放电的场强极限）； 连续电荷体系的电势计算（如圆环、球壳的积分法）； 电场能量密度的定量分析。 竞赛题型特点： 综合性强：结合静电场与电路（如电容器动态连接的能量转化）、电场与力学平衡（如带电液滴的悬浮条件）； 数学工具深化：需通过矢量积分计算非对称场强或利用拉普拉斯方程简化对称问题； 临界分析：设计极值问题（如电势极小点的位置判定）或稳定性条件（如导体球的电荷分布突变）。 备考建议： 掌握高斯定理的适用条件，灵活选取高斯面简化计算； 熟练运用电势叠加法分析连续电荷分布（如线电荷、面电荷）； 强化微元法与对称性分析能力（如非规则导体的电荷重新分布问题）。 本章是电磁学竞赛的基石，需构建“场”的物理图像，突破点电荷模型的局限，为后续电磁感应与电路分析奠定基础。 经典名题 1．一半径为a的圆盘式电容器，极板间距为，在其中心对称轴处连有一电阻R。在时，电容器极板上突然充上电荷，求t时刻极板间的电场强度。 【答案】 【知识点】电容器 【详解】由于，忽略边缘效应，电容器两极板间介质为空气，则电容器的电容 某时刻电容器两端的电压 此时流过电阻的电流 又由于 整理得 两边积分 整理得t时刻，电容器的带电量 两极板间的电压 t时刻极板间的电场强度 2．将宽度为d、相距为的两块金属板竖直插入相对介电常数为、密度为的汽油中。在两板上外加电势差，则两板间液面将上升h，试求h。真空介电常数为 【答案】 【知识点】电容器 【详解】电容器液面上升h，则电容变化为 则 电容器中的能量变化为 由能量转化可知 其中 可得 3．在半径相等的圆盘、圆环、球上均匀分布有电荷量相等的正电荷，其中心点的电势大小满足（　　） A．盘>球>环 B．球>环>盘 C．球>盘>环 D．环>盘>球 【答案】A 【知识点】电势 【详解】电势为标量，点电荷到中心的距离为r时，在中心处的电势 圆盘的电荷面密度 圆盘在中心处的电势 联立解得 球的电荷体密度 球中的电荷在中心处的电势 圆环的电荷线密度 因此圆环在中心处的电势 可知 故选A。 4．如图所示，长为2R的导体棒原来不带电，现将一个带正电的点电荷q放在棒的中心轴线上距离棒的左端R处，当棒达到静电平衡后，感应电荷在棒的中点O处产生的电场强度为（　　） A．  方向向右 B．0 C． 方向向左 D．无法确定 【答案】C 【知识点】静电感应现象、等势体、电场强度的叠加法则、库伦定律 电场强度 【详解】由于静电平衡，导体棒中的电场为零，即点电荷q在O处产生的电场与棒上感应电荷在O处产生的电场等大、反向，合场强为零，大小为 正点电荷q在O处产生的电场方向向右，所以棒上感应电荷在棒的中点O处产生的电场方向向左。 故选C。 5．如图，A、B是两块平行放置的无限大金属板。板带电板带点，下列说法正确的有（　　） A．板左表面和B板右表面带电量一定相等 B．板左表面和B板右表面带电量不一定相等 C．板右表面带电量为 D．B板右表面带电量为 【答案】AC 【知识点】库伦定律 电场强度 【详解】从左到右分别设A板外侧带电量为x，A板内侧带电量为y，B板内侧带电量为z，B板外侧带电量为m，则 根据两金属板内部合场强为0，得 即 联立以上各式得 故选AC。 两块靠的很近、用空气或其他物质绝缘的平行金属板构成一种最简单的电容器，称为平行板电容器。这两块金属板叫做电容器的极板。为了增大容量，减小体积，常把极板和绝缘介质卷起来，把电容器做成圆柱形，事实上，尽管形形色色的电容器大小、形状各异，它们往往都是平行板电容器的某种变形。 6．关于电容器和电容的概念，下列说法正确的是（　　） A．两个彼此绝缘又互相靠近的导体可以看成是一个电容器 B．用电源对平行板电容器充电后，两极板可以带有不等量异种电荷 C．某一电容器带电荷量越多，它的电容就越大 D．某一电容器两板间的电势差越高， 它的电容就越大 7．一位同学用底面半径为r的圆桶形塑料瓶制作了一种电容式传感器，用来测定瓶内溶液深度的变化， 如图所示， 瓶的外壁涂有一层导电涂层和瓶内导电溶液构成电容器的两极，它们通过探针和导线与电源、电流计、开关相连，中间层的塑料为绝缘电介质，其厚度为 d，介电常数为 εr。若发现在某一小段时间 t内有大小为 I的电流从下向上流过电流计，设电源电压恒定为 U，则下列说法中正确的是（　　） A．瓶内液面降低了 B．瓶内液面升高了 C．瓶内液面升高了 D．瓶内液面降低了 【答案】6．A 7．A 【知识点】电容器、改变极板间距，正对面积、填充物等，判断电容的变化、电容器的充放电过程及其特点 【解析】6．A．两个彼此绝缘又互相靠近的导体可以看成是一个电容器，故A正确； B．用电源对平行板电容器充电后，两极板带等量异种电荷，故B错误； CD．电容是电容器本身决定的，跟带电荷量和两板间的电势差都无关，故CD错误。 故选A。 7．电容器正对面积 电容 储存的电荷量 整理得 发现在某一小段时间 t内有大小为 I的电流从下向上流过电流计，则电容器放电，瓶内液面降低，有 得 故选A。 8．关于电场强度，以下认识正确的是（　　） A．若在电场中的P点不放试探电荷，则P点的电场强度为0 B．点电荷的电场强度公式表明，在距离为r的点上电场强度都相同 C．电场强度公式表明，电场强度的大小与试探电荷的电荷量q成反比，若q减半，则该处的电场强度变为原来的2倍 D．匀强电场中电场强度处处相同，所以试探电荷在其中任意位置的受力都相同 【答案】D 【知识点】电场强度的定义和单位、匀强电场、库伦定律 电场强度 【详解】A．电场强度由电场本身决定，与放不放试探电荷无关，在电场中的P点不放试探电荷，P点的电场强度不一定为零，故A错误； B．点电荷的电场强度公式表明，在距离为r的点上的电场强度大小都相等，但是方向不同，故B错误； C．公式是电场强度的定义式，电场强度由电场本身决定，与试探电荷所带的电荷量大小无关，故C错误； D．电荷在电场中所受电场力F=qE，电荷电场中所受电场力与q、E有关，匀强电场中的电场强度处处相同，试探电荷的电荷量q不变，其在电场中任意位置受力相同，故D正确； 故选D。 9．正电荷均匀分布在半径为的球形体积中(如图所示)，电荷体密度为，则球内点和球外点的电势差。    【答案】 【知识点】电势 【详解】球内点电势为 球外点电势为 则ab两点电势差为 10．在电场强度为的均匀电场中作一半径为r的半球面S，S边线所在平面的法线方向单位矢量与的夹角为 ，则通过半球面S的电通量（取弯面向外为正）为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】库伦定律 电场强度 【详解】根据电通量的公式可得 故选D。 11．半径为的均匀带电球面，电荷面密度为，则在球面外侧距离球面处的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】库伦定律 电场强度 【详解】对于半径为、带电荷量为的均匀带电球面，取同球心半径为的球面为高斯面，由高斯定理可得 由于 则有 故选C。 12．面积很大的均匀带电平面与导体板平行放置，两者间距远小于板的线度，如图所示，设平面带电，板带电总量为，求板两侧面上的面电荷密度及之间的电势差。    【答案】，， 【知识点】电势 【详解】设面的电荷面密度为，板相对于面的电荷面密度为，相背面的电荷面密度为，得 得 ， 之间的电场强度 之间的电势差 13．带电量分别为q1和q2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为和，空间各点总场强为＝＋。现在作一封闭曲面S，如图所示，则 ＝ ， ＝ 。 【答案】 0 【知识点】库伦定律 电场强度 【详解】[1]根据高斯定理（在真空静电场中，通过任意闭合曲面S的电通量等于该面所包围的所有电荷量的代数和除以），由于静电场强是由电荷q1产生的，但闭合曲面S未包围电荷q1，故 [2]根据高斯定理 14．面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】电容器 【详解】根据高斯定理 又 联立可得 则两极板间的相互作用力 故选B。 15．两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb（Ra<Rb）， 所带电荷分别为Qa和Qb。设某点与球心相距r，当Ra<r<Rb时，该点的电场强度的大小为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】库伦定律 电场强度、点电荷与均匀球体（球壳）周围的场强 【详解】对于半径为R、带电荷量为q的均匀带电球面，因其场强分布具有对称性，可取均匀带电球面的同心圆球面为高斯面，由高斯定理可得 在带电球面内，即 所以球面内电场强度为零； 在球面外，即 所以该点在大球面内部，小球面外，其场强为小球面产生的电场强度，即 故选D。 16．半径为R的“无限长”均匀带电圆柱面的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为（　　） A．   B．   C． D．   【答案】B 【知识点】库伦定律 电场强度 【详解】取一个和带电圆柱面同轴的高斯面，由高斯定理可知圆柱面内部电荷为零，因此场强为零，设圆柱面的线密度为，距离轴心为r处，取一个高h的高斯面，由电场的对称性可知上下两个面的电通量为零，高斯定理可得 可得 即 故选B。 17．一长直导线横截面半径为a，导线外同轴地套一半径为b的薄圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地，如图所示．设导线单位长度的电荷为+，并设地的电势为零，则两导体之间的P点（OP = r）的场强大小和电势分别为（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】库伦定律 电场强度、电势 【详解】以导线为中心，取一个半径为r，长度为l的圆柱，根据高斯定理 解得 利用 故选D。 18．若穿过球形高斯面的电场强度通量为零，则（　　） A．高斯面内一定无电荷 B．高斯面内无电荷或正负电荷的代数和为零 C．高斯面上的场强一定处处为零 D．以上说法均不正确 【答案】B 【知识点】库伦定律 电场强度 【详解】由高斯定理可知若穿过球形高斯面的电场强度通量为零，则高斯面内无电荷或正负电荷的代数和为零，高斯面上的场强不一定为零。 故选B。 19．一电量为-q的点电荷位于圆心O处， A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图所示。现将一试验电荷从A点分别移到B、C、D各点，则（　　） A．从A到B，电场力做功最大 B．从A到C，电场力做功最大 C．从A到D，电场力做功最大 D．从A到各点，电场力做功相等 【答案】D 【知识点】电势 【详解】A、B、C、D位于点电荷-q为圆心的同一圆周上，故四点电势相等，因而从A点到各点，电场做功为零。 故选D。 20．一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为（q为一正的常量），试求： （1）带电球体的总电荷； （2）球内、外各点的电场强度。 【答案】（1）；（2），方向沿半径向外，，方向沿半径向外 【知识点】库伦定律 电场强度 【详解】（1）在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 则球体所带的总电荷为 （2） 在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有             得 (r1≤R)，方向沿半径向外 在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有  得              (r2 >R)，方向沿半径向外 21．三个电容器如图联接，其中C1=10×10-6F，C2=5×10-6F，C3=4×10-6F，当A、B间电压U=100V时，试求： （1）A、B之间的电容； （2）当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？    【答案】（1）；（2），100V 【知识点】电容器 【详解】（1）AB之间的电容为 （2）当被击穿，两端的电压为，此时电荷为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$