力学 第06讲 振动和波动- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

力学第06讲 《振动和波动》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是力学与波动学的综合模块，在高中简谐运动与机械波基础上拓展至非线性振动、波动方程及多普勒效应相对论修正等大学内容，重点培养学生对动态周期系统与波动传播的综合分析能力。核心内容涵盖： 振动理论深化： 简谐运动的微分方程建模（x¨+ω2x=0）与能量守恒分析； 阻尼振动、受迫振动的稳态解与共振条件（振幅-频率曲线的相位突变）； 耦合振动（双弹簧振子、简正模的矩阵解法）； 波动理论进阶： 一维波动方程的推导与行波/驻波的能量分布； 多普勒效应的相对论修正（高速声/光波源的运动影响）； 波的干涉与衍射定量分析（如菲涅尔半波带法简化模型）； 复杂系统建模： 非线性振动的微扰法初步（如单摆大角振动的椭圆积分修正）； 介质色散与波包扩散的群速度分析； 电磁波与机械波的类比（如偏振与横纵波特性对比）。 竞赛题型特点： 多过程耦合：结合振动与波动（如振源驱动的驻波形成）、非线性效应（如弹簧质心偏移的周期修正）； 数学工具强化：需利用微分方程求解振动响应、傅里叶级数分解复杂波动； 极限分析：设计临界问题（如共振条件破坏的阻尼阈值判定）。 备考建议： 掌握简谐运动的复数表示法与相位空间分析； 熟练运用波动叠加原理处理干涉与衍射问题； 强化非线性问题的线性化近似能力（如小角度展开的误差控制）。 本章是竞赛中区分度较高的专题，需突破线性与静态假设，建立动态周期系统的能量-相位综合视角。 经典名题 1．一长为L的轻杆一端固定在天花板上，可以自由摆动，两个质量均为m的小球，分别固定在杆中点和杆的自由端。试求该摆的振动周期。 2．两座冰山分别为四棱锥形和正三棱柱形，如图所示。按图示方式正放入水中，四棱锥形露出水面的高度为h，已知冰和水的密度之比为k。求： （1）的高度为多大； （2）右侧柱体在水中作小振动的周期为多大？ 3．如图所示的光滑斜面，固定在桌面上，且与桌面的倾斜角为，斜面上有一轻质弹簧，其一端与斜面底端固定，另一端上压着一个质量为的小方块，弹簧末端与小方块可以分离。现有一质量为的小方块，由静止沿斜面向下滑去，与质量为的小方块发生完全非弹性碰撞后形成一个复合体。已知弹簧的劲度系数为，重力加速度为。 （1）证明复合体的运动是周期性运动。 （2）当质量为的小方块初始位置离质量为的小方块的距离满足什么条件时，复合体的运动周期最短？ 4．摆长为，质量为的单摆的小幅摆动周期为，长度和质量均为相同的均质杆悬挂在其一端，小幅摆动周期为，则两者之比为（　　） A． B． C． D．以上都不对 5．单摆在摆动过程中，其摆动平面会逐渐发生转动（进动），这是因为（　　） A．地心引力不均匀 B．月球对地球的潮汐力 C．地球的自转造成地转偏向力 D．以上都不对 6．图示为一平面简波在t时刻的波形曲线。若此时平衡位置在A点处媒质质元的振动动能在增大，则（　　） A．A点处质元的弹性势能在减小 B．B点处质元的振动动能在增加 C．C点处质元的振动动能在减小 D．各点的波的能量密度都不随时间变化 E．波沿x轴负方向传播 7．一个盒子由两根具有相同线性质量密度的绳子悬挂在天花板上，如图所示，求弦1的基频与弦2的基频之比（　　） A． B．3 C． D． E． 8．由三根质量为M、长度为L的相同均匀杆组成一个三角形，它通过顶部的枢轴较接在垂直平面上，见图，这个物理摆的小振荡周期是多少（　　）（杆子通过其质心的转动惯量为） A． B． C． D． E． 9．两个相干点波源S1和S2，它们的振动方程分别是和。波从S1传到P点经过的路程等于2个波长，波从S2传到P点的路程等于个波长。设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两波传到P点的振动的合振幅为 。 10．如图，一平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播，O为坐标原点。已知P点的振动方程为 ，则（　　）    A．O点的振动方程为 B．波的表达式为 C．波的表达式为 D．C点的振动方程为 11．若一平面简谐波的表达式为 ，式中A、B、C为正值常量，则 （　　） A．波速为C B．周期为 C．波长为 D．角频率为 12．一弹簧振子，沿轴作振幅为的简谐振动，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，则振子处于处时；其势能的瞬时值为 J。 13．一个平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为u=160m/s，t=0时刻的波形图如图所示，则该波的表式为（　　）    A．m B．m C．m D．m 14．在单缝衍射实验中，缝宽a=0.2mm，透镜焦距f=0.4m，入射光波长=500nm，则在距离中央亮纹中心位置2mm处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带？（　　） A．亮纹，3个半波带 B．亮纹，4个半波带 C．暗纹，3个半波带 D．暗纹，4个半波带 15．分振动方程分别为和（SI制）则它们的合振动表达式为（　　） A． B． C． D． 16．一物体作简谐振动，振动方程为。在（T为周期）时刻，物体的加速度为（　　） A． B． C． D． 17．如图所示，一平面简谐波沿x轴正向传播，已知P点的振动方程为，则波的表达式为（　　） A． B． C． D． 18．一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长为λ，P处质点的振动规律如图所示。 （1）求P处质点的振动方程； （2）求此波的波动表达式； （3）若图中，求坐标原点O处质点的振动方程。 19．振动频率为300赫兹的一维谐振子的零点能量是 。 20．高层建筑（大楼）在风的作用下会发生晃动。在特定条件下，大楼的晃动幅度会变得较大，影响到安全。 (1)为了减小晃动幅度，通常会在高层建筑上加装阻尼器，例如悬点固定在大楼上、摆锤质量为m、摆臂长度为l的摆，摆臂是刚性的，质量可以忽略；大楼在风作用下的运动可简化为谐振子的强迫振动，谐振子的质量为M，恢复力等效为劲度系数为k的弹簧，大楼在运动过程中可视为刚体。整个摆和谐振子系统如图所示，系统的总质量为m与M之和。风可视为水平方向上的强迫力F（向左为正），它随时间t的变化为 其中振幅H和频率ω均为常量。重力加速度大小为g。为简单起见，只考虑摆和谐振子的小幅度振动（因而摆便成为单摆）。 （1.1）求谐振子因强迫力F的作用产生的稳定振动的振幅； （1.2）指出在没有阻尼器的情况下，风的频率为多大时，大楼受迫振动的振幅最大？对此频率的风，阻尼器应满足何种条件会最大限度地减小大楼的受迫振动？ (2)若风的频率为第（1.2）问中求出的风的频率的倍，在没有阻尼器的情况下，求此时大楼受迫振动的振幅有多大？若安装的阻尼器参数l符合第（1.2）问中得到的条件，为了使得大楼在此风的作用下的受迫振动的振幅减到无阻尼器时的1%，阻尼器的质量m应该为M的多少倍？ (3)实际的阻尼器还装有其他装置以提供阻尼力，通常做法是将摆锤浸泡在固定于建筑物上的油池中（相对于建筑物的质量，油的质量可以忽略；油池质量可视为已包含在大楼的质量之内）。已知当摆锤与油的相对速度为时，摆锤受到的阻尼力为其中γ为常量。试写出考虑加上阻尼力后系统的运动方程组（列方程组时不做小幅度近似，无需求解该方程组），为简单起见，假定摆球摆动时，油可视为相对于油池（固定在大楼上）静止。试根据你的理解定性分析为什么阻尼力是必不可少的。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 力学第06讲 《振动和波动》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是力学与波动学的综合模块，在高中简谐运动与机械波基础上拓展至非线性振动、波动方程及多普勒效应相对论修正等大学内容，重点培养学生对动态周期系统与波动传播的综合分析能力。核心内容涵盖： 振动理论深化： 简谐运动的微分方程建模（x¨+ω2x=0）与能量守恒分析； 阻尼振动、受迫振动的稳态解与共振条件（振幅-频率曲线的相位突变）； 耦合振动（双弹簧振子、简正模的矩阵解法）； 波动理论进阶： 一维波动方程的推导与行波/驻波的能量分布； 多普勒效应的相对论修正（高速声/光波源的运动影响）； 波的干涉与衍射定量分析（如菲涅尔半波带法简化模型）； 复杂系统建模： 非线性振动的微扰法初步（如单摆大角振动的椭圆积分修正）； 介质色散与波包扩散的群速度分析； 电磁波与机械波的类比（如偏振与横纵波特性对比）。 竞赛题型特点： 多过程耦合：结合振动与波动（如振源驱动的驻波形成）、非线性效应（如弹簧质心偏移的周期修正）； 数学工具强化：需利用微分方程求解振动响应、傅里叶级数分解复杂波动； 极限分析：设计临界问题（如共振条件破坏的阻尼阈值判定）。 备考建议： 掌握简谐运动的复数表示法与相位空间分析； 熟练运用波动叠加原理处理干涉与衍射问题； 强化非线性问题的线性化近似能力（如小角度展开的误差控制）。 本章是竞赛中区分度较高的专题，需突破线性与静态假设，建立动态周期系统的能量-相位综合视角。 经典名题 1．一长为L的轻杆一端固定在天花板上，可以自由摆动，两个质量均为m的小球，分别固定在杆中点和杆的自由端。试求该摆的振动周期。 【答案】 【知识点】振动 【详解】当轻杆偏离平衡位置一个小角度时，根据角动量定理 而转动惯量 由于角度 较小，则 而 整理可得 因此 可知周期 2．两座冰山分别为四棱锥形和正三棱柱形，如图所示。按图示方式正放入水中，四棱锥形露出水面的高度为h，已知冰和水的密度之比为k。求： （1）的高度为多大； （2）右侧柱体在水中作小振动的周期为多大？ 【答案】（1）；（2） 【知识点】振动 【详解】（1）由边长与体积的关系可知 由于冰山处于平衡状态，则 而 整理得 （2）柱体长度恒定不变，根据体积与高的关系可知 处于平衡状态时 如果冰山离开平衡位置距离为x，露出水中的体积为 则回复力 而 略去二阶小量解得 可得 因此周期 3．如图所示的光滑斜面，固定在桌面上，且与桌面的倾斜角为，斜面上有一轻质弹簧，其一端与斜面底端固定，另一端上压着一个质量为的小方块，弹簧末端与小方块可以分离。现有一质量为的小方块，由静止沿斜面向下滑去，与质量为的小方块发生完全非弹性碰撞后形成一个复合体。已知弹簧的劲度系数为，重力加速度为。 （1）证明复合体的运动是周期性运动。 （2）当质量为的小方块初始位置离质量为的小方块的距离满足什么条件时，复合体的运动周期最短？ 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】振动 【详解】（1）m2下滑的过程中，满足机械能守恒 m1与m2碰撞的过程中，满足动量守恒 解得 接下来，m1、m2一起压缩弹簧，若v1较小，两物体不再离开弹簧，做简谐运动，且运动周期为 如果v1较大，两物体先做简谐运动，当返回弹簧原长后再向上做匀变速运动，然后再次以原速率压缩弹簧，做简谐运动，以后这一运动重复进行，因此无论那种运动，复合体的运动都是周期运动。 （2）当复合体不在离开弹簧时，运动周期最短，初始状态时 若复合体恰好未离开弹簧，根据机械能守恒 解得 因此 复合体的运动周期最短 4．摆长为，质量为的单摆的小幅摆动周期为，长度和质量均为相同的均质杆悬挂在其一端，小幅摆动周期为，则两者之比为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【知识点】振动 【详解】设想单摆和杆悬挂的摆（复摆）都与竖直方向片角摆至和竖直方向偏角，对单摆有 对复摆有 可得 即 故选B。 5．单摆在摆动过程中，其摆动平面会逐渐发生转动（进动），这是因为（　　） A．地心引力不均匀 B．月球对地球的潮汐力 C．地球的自转造成地转偏向力 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】振动 【详解】单摆振动时，振动面依理应保持不变，但因地球在自转，而在地面上的观察者不能发觉地球在转，但在相当长的时期内，却发现摆的振动面不断偏转。从力学的观点来看，这也是由于受到了科里奥利力影响的缘故。在傅科摆试验中，人们看到，单摆在摆动的过程中摆动平面沿顺时针方向缓缓转动，摆动方向不断变化。分析这种现象，单摆在摆动平面方向上并没有受到外力作用，摆动的空间方向不会改变，因而可知，这种摆动方向的变化，是由于观察者所在的地球沿着逆时针方向 转动的结果，地球上的观察者看到相对运动现象，从而有力地证明了地球是在自转， 傅科摆放置的位置不同，摆动情况也不同在北半球时，摆动平面顺时针转动；在南半球 时，摆动平面逆时针转动.而且纬度越高，转动速度越快，在赤道上时摆几乎不转动。 故选C。 6．图示为一平面简波在t时刻的波形曲线。若此时平衡位置在A点处媒质质元的振动动能在增大，则（　　） A．A点处质元的弹性势能在减小 B．B点处质元的振动动能在增加 C．C点处质元的振动动能在减小 D．各点的波的能量密度都不随时间变化 E．波沿x轴负方向传播 【答案】BCE 【知识点】振动 【详解】E．若此时平衡位置在A点处媒质质元的振动动能在增大，则t时刻A点处质元向平衡位置运动，即向下运动，根据同侧法，可知波沿x轴负方向传播，故E正确； A．在平衡位置时，质元的动能最大，同时质元被拉伸或压缩得最厉害，即形变最大，对应的弹性势能也最大，若此时平衡位置在A点处媒质质元的振动动能在增大，A点处质元向平衡位置运动，则A点处质元的弹性势能在增加，故A错误； B．根据同侧法，可知B点处质元向平衡位置运动，B点处质元的速度增大，故B点处质元的振动动能在增加，故B正确； C．根据同侧法，可知C点处质元向波谷运动，C点处质元的速度减小，故C点处质元的振动动能在减小，故C正确； D．单位体积的介质中波所具有的能量称为能量密度 故各点的波的能量密度都随时间变化，故D错误。 故选BCE。 7．一个盒子由两根具有相同线性质量密度的绳子悬挂在天花板上，如图所示，求弦1的基频与弦2的基频之比（　　） A． B．3 C． D． E． 【答案】A 【知识点】振动 【详解】根据题图可知弦1的长度为 根据几何关系可知弦2的长度为 设弦1的拉力为，弦2的拉力为，根据平衡条件可得 可得 根据 可得 故选A。 8．由三根质量为M、长度为L的相同均匀杆组成一个三角形，它通过顶部的枢轴较接在垂直平面上，见图，这个物理摆的小振荡周期是多少（　　）（杆子通过其质心的转动惯量为） A． B． C． D． E． 【答案】E 【知识点】振动 【详解】根据几何关系可知，支点到其对边质心的距离为 已知杆子通过其质心的转动惯量为 则杆子对其端点的转动惯量为 根据复摆的周期公式 式中 ，， 可得这个物理摆的小振荡周期为 故选E。 9．两个相干点波源S1和S2，它们的振动方程分别是和。波从S1传到P点经过的路程等于2个波长，波从S2传到P点的路程等于个波长。设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两波传到P点的振动的合振幅为 。 【答案】2A 【知识点】波动 【详解】[1]根据振动方程，可知波源振动的相位差为 可知两波源频率相同，振动步调相反，由于 即两波源到P点距离的差值为半波长的奇数倍，可知，P点振动加强，则两波传到P点的振动的合振幅为2A。 10．如图，一平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播，O为坐标原点。已知P点的振动方程为 ，则（　　）    A．O点的振动方程为 B．波的表达式为 C．波的表达式为 D．C点的振动方程为 【答案】C 【知识点】振动 【详解】A．该波沿x轴正方向传播，即向右传播，OP间的距离为，则可知O点的振动早于P点，可得 由此可得O点的振动方程为 故A错误； BC．根据O点的振动方程可知，该波的表达式为 故B错误，C正确； D．该波沿x轴正方向传播，P点早于C点振动，PC间的距离为，可得 由此可得C点的振动方程为 故D错误。 故选C。 11．若一平面简谐波的表达式为 ，式中A、B、C为正值常量，则 （　　） A．波速为C B．周期为 C．波长为 D．角频率为 【答案】C 【知识点】波动 【详解】B D．根据题意有 故可知角频率 根据 解得 BD错误； A C．根据前面分析有 解得 波长为 A错误，C正确。 故选C。 12．一弹簧振子，沿轴作振幅为的简谐振动，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，则振子处于处时；其势能的瞬时值为 J。 【答案】 【知识点】振动 【详解】由题意，在平衡位置处弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，所以该振子的总能量为，当振子处于处时，其势能的瞬时值为 13．一个平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为u=160m/s，t=0时刻的波形图如图所示，则该波的表式为（　　）    A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【知识点】波动 【详解】在处，时，有 ， 所以 又 故波动表达式为 故选C。 14．在单缝衍射实验中，缝宽a=0.2mm，透镜焦距f=0.4m，入射光波长=500nm，则在距离中央亮纹中心位置2mm处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带？（　　） A．亮纹，3个半波带 B．亮纹，4个半波带 C．暗纹，3个半波带 D．暗纹，4个半波带 【答案】D 【知识点】波动 【详解】由衍射暗纹公式及最大光程差为 且可知，因此为暗纹，四个半波带。 故选D。 15．分振动方程分别为和（SI制）则它们的合振动表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】波动 【详解】由简谐振动合振幅为 代入数据可得 初相位角为 可得 因此可表达为。 故选C。 16．一物体作简谐振动，振动方程为。在（T为周期）时刻，物体的加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】振动 【详解】根据导数的意义可知物体的加速度 ① 周期 当时，代入①式可得 故选B。 17．如图所示，一平面简谐波沿x轴正向传播，已知P点的振动方程为，则波的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】振动、波动 【详解】该波沿x轴正向传播，所以波的表达式为 由波速公式 可得 当t=0，x=l时 解得 代入可得波的表达式为 故A正确。 故选A。 18．一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长为λ，P处质点的振动规律如图所示。 （1）求P处质点的振动方程； （2）求此波的波动表达式； （3）若图中，求坐标原点O处质点的振动方程。 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】振动、波动 【详解】（1）由图可知 且当时 则P点的振动方程为 （2）设波速为，则 且波沿Ox轴的负方向传播，则波动方程为 （3）当时，将代入方程可得 19．振动频率为300赫兹的一维谐振子的零点能量是 。 【答案】9.93×10-32 J 【知识点】振动 【详解】振动频率为300赫兹的一维谐振子的零点能量为 20．高层建筑（大楼）在风的作用下会发生晃动。在特定条件下，大楼的晃动幅度会变得较大，影响到安全。 (1)为了减小晃动幅度，通常会在高层建筑上加装阻尼器，例如悬点固定在大楼上、摆锤质量为m、摆臂长度为l的摆，摆臂是刚性的，质量可以忽略；大楼在风作用下的运动可简化为谐振子的强迫振动，谐振子的质量为M，恢复力等效为劲度系数为k的弹簧，大楼在运动过程中可视为刚体。整个摆和谐振子系统如图所示，系统的总质量为m与M之和。风可视为水平方向上的强迫力F（向左为正），它随时间t的变化为 其中振幅H和频率ω均为常量。重力加速度大小为g。为简单起见，只考虑摆和谐振子的小幅度振动（因而摆便成为单摆）。 （1.1）求谐振子因强迫力F的作用产生的稳定振动的振幅； （1.2）指出在没有阻尼器的情况下，风的频率为多大时，大楼受迫振动的振幅最大？对此频率的风，阻尼器应满足何种条件会最大限度地减小大楼的受迫振动？ (2)若风的频率为第（1.2）问中求出的风的频率的倍，在没有阻尼器的情况下，求此时大楼受迫振动的振幅有多大？若安装的阻尼器参数l符合第（1.2）问中得到的条件，为了使得大楼在此风的作用下的受迫振动的振幅减到无阻尼器时的1%，阻尼器的质量m应该为M的多少倍？ (3)实际的阻尼器还装有其他装置以提供阻尼力，通常做法是将摆锤浸泡在固定于建筑物上的油池中（相对于建筑物的质量，油的质量可以忽略；油池质量可视为已包含在大楼的质量之内）。已知当摆锤与油的相对速度为时，摆锤受到的阻尼力为其中γ为常量。试写出考虑加上阻尼力后系统的运动方程组（列方程组时不做小幅度近似，无需求解该方程组），为简单起见，假定摆球摆动时，油可视为相对于油池（固定在大楼上）静止。试根据你的理解定性分析为什么阻尼力是必不可少的。 【答案】(1)（1.1）；（1.2）或尽可能大 (2) (3)见解析 【知识点】振动 【详解】（1）（1.1）记质量为的振子偏离平衡位置的位移为（向左为正），单摆的偏转角为（向左为正），摆臂上的张力为，按牛顿第二定律，摆锤在水平方向上的运动方程为 ① 在竖直方向上的运动方程为 ② 利用小幅度振动条件，保留到小量的领头阶，有 ③ 将③式代入①②式，并保留到小量的领头阶，得 ④ ⑤ 【注：利用悬点不动的非惯性系也可更方便地得到上述结果。在悬点不动的非惯性系中，摆锤额外受到横向的惯性力，有角向运动方程 ① 同时也有径向运动方程 ② 进一步利用小摆幅条件，保留到小量的领头阶，即得⑤④式。】 质量为的振子在水平方向上做一维运动，由牛顿第二定律得 ⑥ 由③④⑥式得 ⑦ 只考虑系统在强迫力下的稳定振动，稳定振动的圆频率为，设 ⑧ ⑨ 其中是稳定振动与所受强迫力之间的位相差。将将⑧⑨式代入方程⑤⑦后，所得出的两个方程对任意时间均成立，故有 ⑩ 进而有 ⑪ ⑫ 由⑪⑫式得 ⑬ ⑭ 其中 （1.2）由⑬式可知，当没有阻尼器时（这时），有 ⑮ 即当风的频率为 ⑯ 时，大楼受迫振动幅度最大。 当风的频率取⑮式所示的值、但有阻尼器时，由⑬式得 ⑰ 为了调节阻尼器的参数使得最小，可取 ⑱ 或尽可能⑲ （2）若（即没有阻尼器），当，由⑬式可得 ⑳ 加入阻尼器后，为了让减小到无阻尼器时的，将及⑰式代入⑬式，得 ㉑ （3）摆锤相对于油的速度的水平与竖直分量分别为 ㉒ ㉓ 按牛顿第二定律可得其运动方程，摆锤在水平方向上的运动方程为 ㉔ 摆锤在竖直方向上的运动方程为 ㉕ 【注：利用悬点不动的非惯性系也可更方便地得到上述结果。在悬点不动的非惯性系中，摆锤额外受到横向的惯性力，有角向运动方程 ㉔ 同时也有径向运动方程 ㉕】 质量为的振子在水平方向上做一维运动，由牛顿第二定律得 ㉖ 阻尼是不可缺少的，首先是因为当（15）式成立时，仅有重物而无阻尼力的系统会发生共振，此时阻尼力可以有效地抑制振动。㉗ 其次阻尼效应会让系统的机械能不断衰减，当风停下来时高层建筑物也会在阻尼作用下逐渐停止晃动。㉘ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$