7.1.2 两条直线垂直 （课件）2024—2025学年人教版数学七年级下册

人教版数学七年级下册 第七章 相交线与平行线 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 7.1.2 两条直线垂直 7.1 相交线 目录 壹 学习目标 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 学习目标 学习目标 1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离。 第贰章节 新课导入 新课导入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 第叁章节 新知探究 新知探究 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α . 转动木条的同时观察其夹角的变化. ） α a b b ） α ） α ） α 垂直、垂线、垂足的概念 1 b α α b ） α b a a 问题 2：木条 b 与 a 成 90° 的位置有几个?此时，木 条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系? 问题1：在木条 b 的转动过程中，什么量也随之发生改变? a 与 b 所成的角也随之发生改变. 唯一一个，a 与 b 垂直. 合作探究 两条直线 a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫作这两条直线互相垂直，记作 a⊥b. 知识要点 垂足 A B O C D 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. A B C D O 符号语言： ①判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O. 因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. ②性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°. 因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90°（垂直的定义）. (∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = 90°) 垂直的判定与性质 符号语言： 思考：① 两条直线垂直和相交是什么关系? ① 垂直属于相交的特殊情况. 所有垂直的两条直线一定相交，但相交的两条直线不一定垂直. ② 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种： 相交和平行. ② 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系 有 3 种：相交、平行、垂直? 想一想 思考：③ 如何判定两条射线垂直? 两条线段呢? ③ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为90°，那么这两条射线垂直. 将线段延长，使其成为直线，如果这两条直线相交且所成的角为90°，那么这两条线段垂直. 讨论：和同学讨论，试试举出生活中有关垂直的例子. 想一想 例1 (1)如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1= 90°， 则 m n； (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD， 则∠BOD =_____°； (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝____°，∠BOC 的补角为 °. O m n 1 B C A O ⊥ 90 72 162 图1 图2 典例精析 画一画：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. (1) 经过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (2) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? 垂线的画法及基本事实 2 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 1.放 l O 如图，已知直线 l，画 l 的垂线. A 无数条 2.靠 3.画 … l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 画 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 l M N 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 画 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 概念 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识要点 典例精析 A B 例 1 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线． P (1) A B P (2) 总结 过点画射线或线段的垂线，是指画点与射线、线段所在的直线的垂线. A B P (3) 垂线的性质及应用 3 讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ 在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？ l P 在直线 l 上是否存在这样一点，它与点 P 的连线在所有连接直线 l 与点 P 的线段中长度最短？ 运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短. 这样的线段 PO 只有一条. (2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？ (3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？ 合作探究 概念 垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 线段 PO 的长度叫作点到直线的距离. (4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？ (5) 如果图中的比例尺为 1:100 000，水渠大约要挖多长? (6) 与你的同桌讨论，试着列举生活中类似的实例. 图中 4.7 cm，实际 4700 m. 1. 如图，下列说法正确的是 （ ） A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离 B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离 C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离 D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离 A B C D D 思路点拨：紧扣定义解题. 练一练 第肆章节 随堂练习 随堂练习 (第1题) 1.如图，一辆汽车在笔直的公路上由向行驶， 是 学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离 学校最近( ) B A.点 B.点 C.点 D. 点 28 2.如图，在中， ，，垂足为点，那么点 到直线 的距离是线段_____的长. (第2题) 29 3.如图，于点，于点，若， ， ，则点到的距离是_______，点到 的距离是______． (第3题) 30 4.如图，直线，相交于点，平分，平分 ，若 ，则 _____. (第4题) 31 (第5题) 5.噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来 源距离越近，噪声越大.如图，一辆汽车在笔 直的公路上由点向点行驶， 是位于 一侧的某所学校. 画图说明汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重. 32 解：如图所示.过点作的垂线，垂足为，则汽车行驶到 点时，与 学校距离最近，学校受噪声影响最严重. 6.在中， ,,,，点是 边上的 动点(不与点， 重合). (第6题) 34 (1)作边上的高 ； (第6题) 解：如图所示. (答图) 35 (第6题) (2)求 的长； 解： ， ， ， . 36 (3)求线段 的取值范围. (第6题) 解：当点与点重合时， 取得最大值为4， 的取值范围为 . 37 7.如图，直线和相交于点，， ， ，求 的度数. (第7题) 38 (第7题) 解： ， . ， . ， 39 (第7题) ， . ， . 40 8.根据要求画图，并回答问题：如图，已知直线，相交于点 ， 于点 . (第8题) 41 (1)过点画直线，使得 ； (第8题) 解：如图①所示，直线 即为所求. ① 42 (2)点为直线上任意一点(不与点重合)，已知 ，求 的度数. (第8题) 43 解：当点在射线上时，如图②所示，， ， ， .当点在射线 上时，如图③所示， ， ， ， .综上， 的度 数为 或 . ② ③ 44 第伍章节 课堂小结 课堂小结 1.垂直的定义：一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”. 2.垂线的定义：两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 3.垂线的画法：用三角尺和量角器画已知直线的垂线. 4.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）垂线段最短. 5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 人教版数学七年级下册 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 谢谢观看 $$