精品解析：山东省烟台市、德州市2024-2025学年高三下学期二模考试数学试题

2025年高考适应性测试 数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为上一点，且满足.若线段的中垂线过原点O，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组递增数据,,,,平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 10. 已知抛物线与直线交于A，B两点，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线过抛物线的焦点，则 B. 若线段的长度为8，则 C. 当时，抛物线上恰有三个点到直线的距离为 D. 无论p为何值，抛物线上都恰有三个点M，使得为等腰三角形 11. 在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，为棱上一动点，设，则（ ） A. 无论为何值，都有 B. 当时，平面平面 C. 当时，过点和的平面截三棱锥所得截面面积的最小值为 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 13. 若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为_______. 14. 已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为_______；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边中点，若，的面积为14，求的长 16. 如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：； （2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线：的焦距为4，点在上. （1）求的方程； （2）设过的左焦点的直线交的左支于点A，B，过的右焦点的直线交的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线的方程. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数为增函数，求的值； （3）若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考适应性测试 数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由一元二次不等式解法和指数函数性质求出集合A和集合B即可根据交集定义求解. 【详解】由题集合， 集合， 所以. 故选：D 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求出可得答案. 【详解】由得， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列出等式结合二次函数性质即可求解. 【详解】若，则， 当时，有最小值为. 故选：A 4. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为上一点，且满足.若线段的中垂线过原点O，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出与，再结合线段的中垂线过原点得到的性质，最后利用勾股定理求出椭圆的离心率. 【详解】已知，且由椭圆定义可知，将代入到中，可得，即，解得，那么. 因为线段的中垂线过原点，所以，又因为，所以，那么是以为直角顶点的直角三角形. 在中，根据勾股定理可得，其中， 将，代入，可得，即，化简可得，即. 因为椭圆的离心率，且，所以. 故选：D. 5. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出溶液的上底面半径为，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为， 下底面半径为，高为， 所以溶液的体积. 故选：B 6. 已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用最小正周期及对称中心求出，进而求出函数值. 【详解】由函数在上单调递增，得， 解得，由的图象关于点对称，得， 解得，于是，， 所以. 故选：C 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可得是以4为周期的周期函数，利用周期性可得答案. 【详解】令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 可得是以4为周期的周期函数， 则. 故选：D. 8. 若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将换成用表示,从而将平方表示成，由,求出，进而求出范围. 【详解】因为, 所以且, 故且, 所以, 故, , 所以, 所以, 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,的方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用极差的定义判断选项A；利用方差的性质判断选项B；利用百分位数的定义判断选项C；利用平均数的定义和计算公式判断选项D. 【详解】对于选项A: 因为数据的极差为6， 所以. 根据可知：，. 所以，所以A正确. 对于选项B： 因为数据的方差为4，， 所以根据方差的性质可知：数据的方差为. 所以B正确. 对于选项C： 因为，为整数，则第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值， 即，所以C错误. 对于选项D： 因为数据的平均数为3，， 所以数据的平均数为. 所以数据,的平均数为. 所以D正确. 故选：. 10. 已知抛物线与直线交于A，B两点，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线过抛物线的焦点，则 B. 若线段的长度为8，则 C. 当时，抛物线上恰有三个点到直线的距离为 D. 无论p为何值，抛物线上都恰有三个点M，使得为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：由题知焦点在x轴上，得到焦点，接着可求p. 选项B：联立抛物线与直线方程，通过弦长公式建立方程求解. 选项C：设点，用距离公式化解得到方程，根据方程解得个数来判断交点个数. 选项D：分析等腰三角形的三种可能情况，结合图像判断点个数至少4个. 【详解】对A，若直线过抛物线的焦点，所以焦点为，即，故A正确； 对B，， 设，，则，， ， 代入验证不成立，故B错误； 对C，当时，，直线， 设抛物线上点，， 则到直线距离， 即，有两个解，或，， 所以共有3个这样的点P，故C正确； 对D，为等腰三角形, ∴，，三种情况， 当时，M在AB垂直平分线上，设AB中点为，， 即AB垂直平分线的方程为，联立， 得到，，所以方程有两个解， 故此时符合题意的点M有2个，如下图， 当时，M在以B为原点，AB为半径的圆上，如图， ∵直线，∴倾斜角为，， 故此时符合题意的点M至少一个，且不与重合， 当时，M在以A为原点，AB为半径的圆上，如图， 故此时符合题意的点M至少一个， 综上，无论p为何值，使得为等腰三角形的点M至少4个，故D错误， 故选：AC. 11. 在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，为棱上一动点，设，则（ ） A. 无论为何值，都有 B. 当时，平面平面 C. 当时，过点和的平面截三棱锥所得截面面积的最小值为 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以A为原点，以AB所在直线为x轴，以过A点且垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各项. 【详解】以A为原点，以AB所在直线为x轴，以过A点且垂直于AB的直线为y轴， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，， 设，则，且， 依题意得，，又， 所以， ， 所以， 把，代入得 ，所以， 所以， 所以，即无论为何值，都有，故A对； 取平面的法向量为， 因，所以， 所以， ，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则， 所以， 所以， 所以平面 VBC不垂直于平面 ABC，故B错； 当时，， 所以， 截面是三角形 PBC，其面积为，其中 h 是 P 到BC 距离， 因为， 因为在棱上，设，所以， 又， 所以 ， 所以当时，， 所以当时，过点和的平面截三棱锥所得截面面积的最小值为，故C对； 底面 ABC 是等边三角形，其外接圆圆心（外心）在， 半径 ， 设球心 O的坐标为，其中 d为球心到底面的距离， 球心到 A的距离， 当且仅当时，， 当最小时，三棱锥外接球表面积的最小， 此时 , 解得，因为，所以符合题意， 所以三棱锥外接球表面积的最小值为，故D对； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 13. 若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】将题设条件转化为函数与函数的函数图象有交点，再利用导数工具研究函数的图象性质即可得解. 【详解】若函数与的图象在第一象限内有公共点，则方程在上有解， 即方程在上有解，显然不是方程的解， 所以方程在上有解， 则函数与函数的函数图象有交点， 又，所以时，，时，， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，时；时，； 时； 所以或. 故答案为：或. 14. 已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为_______；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为_________ 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】①根据“友好数列”的定义，直接枚举时所有可能的三元组； ②当时，分别计算满足前三个和后三个条件以及同时满足两个条件的数列数目，再通过容斥原理求总数. 【详解】对于①： 当时，数列共有种可能. 需满足，分情况讨论： ：可取0，1，2，对应，共3种； ：可取0，1，共2种； ：可取0，共1种； 总数为. 对于②： 当时，数列共有种可能. 需满足存在至少一个三元组满足条件： 计算满足前三个条件的数列数目： 前三个元素满足，有6种可能，任意，共有种. 计算满足后三个条件的数列数目： 后三个元素满足，有6种可能，任意，共有种. 计算同时满足两个条件的数列数目： 需满足，，有4种可能. 根据容斥原理，总数为 所以概率为. 故答案为：①6 ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解； （2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即. 在中，由，得， 所以， 又，，所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以. 16. 如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：； （2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由题设求证和即可由线面垂直判定定理求证平面，进而得证； （2）由题设结合（1）建立适当的空间直角坐标系，接着由题设和二面角定义依次求出所需点和向量坐标，进而求出平面的一个法向量，再由线面角的向量法公式计算即可求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 由题可得，且，所以为的中点， 在中，，所以，同理， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 【小问2详解】 由（1）可以点为坐标原点，以，方向和垂直于平面向上的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题可知为等腰梯形，且，可得， 由（1）可知，为二面角二面角的平面角， 所以，从而， 因为，所以点到平面的距离为， 则有，，，， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 则有，令，则， 设直线与平面所成角为， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知双曲线：的焦距为4，点在上. （1）求的方程； （2）设过的左焦点的直线交的左支于点A，B，过的右焦点的直线交的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，求得四边形得到面积为，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，得到方程为，结合平行线的距离公式以及弦长公式，求得四边形面积的表达式，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由双曲线：的焦距为4，点在上， 可得，所以，且， 又因为，即， 联立方程组，解得，， 所以方程为. 【小问2详解】 由题意知，四边形为平行四边形，可得直线与平行， 当直线斜率不存在时，令，代入双曲线方程，可得， 此时四边形为矩形，面积为，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，则直线方程为， 直线和的距离， 设，，联立方程组， 整理的， 则且，， 又由双曲线的渐近线的方程为， 要使得过的左焦点的直线交的左支于点，可得， 则 ， 所以， 化简可得，解得，或， 因，所以，解得， 故直线的方程为，即或. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数为增函数，求的值； （3）若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意只需求出即可； （2）由题意恒成立，对分或两种情况讨论即可； （3）求导，对分类讨论得出函数的单调性情况，结合零点存在定理进行分析即可. 【小问1详解】 当时，，， 所以，，， 所以，在点处的切线方程为：，即； 【小问2详解】 因为函数为增函数，所以对于恒成立， 所以，当时，恒成立，即，即， 当时，恒成立，即，即， 综上，得； 【小问3详解】 由， ①当时，令，得， 当时，，当时，， 因为时，，，， 所以在上存在一个零点，不合题意舍去. ②当时， （ⅰ）当时，由（2）可知在上单调递增，不合题意舍去； （ii）当时，令，得，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，取得极大值，且， 当时，取得极小值，又当时，， 只需保证，即. 所以，当时，在和上各存在一个零点； （ⅲ）当时，令，得，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值，又， 只需保证，即，解得， 此时在，上各存在一个零点. 综上所述，的取值范围为. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）①首先列出的概率表达式，然后用数学期望公式将它的数学期望表达式列出来，进行化简和错位相减从而得到数学期望； ②根据题意可得，，时，，进而可得数列是首项为，公比为的等比数列，求出，进而可求出的最大值. 【小问1详解】 因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005； 【小问2详解】 ①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 所以. ， 以上两式错位相减得 ， 所以 . ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得，， 当时，则， 因为，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 又且， 所以数列是各项均为1的常数列，则， 所以，解得. 当为奇数时，，， 当n为偶数时，，， 所以的最大值在为偶数时产生， 又当为偶数时，随着的增大而减小， 所以当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$