精品解析：山东省烟台市、德州市2024-2025学年高三下学期二模考试数学试题

2025年高考适应性测试 数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求集合A，再根据指数函数性质求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 已知向量，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列出等式结合二次函数性质即可求解. 【详解】若，则， 当时，有最小值为. 故选：A 3. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出溶液的上底面半径为，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为， 下底面半径为，高为， 所以溶液的体积. 故选：B 4. 已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用最小正周期及对称中心求出，进而求出函数值. 【详解】由函数在上单调递增，得， 解得，由的图象关于点对称，得， 解得，于是，， 所以. 故选：C 5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可得是以4为周期的周期函数，利用周期性可得答案. 【详解】令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 可得是以4为周期的周期函数， 则. 故选：D. 6. 若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将换成用表示,从而将平方表示成，由,求出，进而求出范围. 【详解】因为, 所以且, 故且, 所以, 故, , 所以, 所以, 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7. 一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,的方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用极差的定义判断选项A；利用方差的性质判断选项B；利用百分位数的定义判断选项C；利用平均数的定义和计算公式判断选项D. 【详解】对于选项A: 因为数据的极差为6， 所以. 根据可知：，. 所以，所以A正确. 对于选项B： 因为数据的方差为4，， 所以根据方差的性质可知：数据的方差为. 所以B正确. 对于选项C： 因为，为整数，则第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值， 即，所以C错误. 对于选项D： 因为数据的平均数为3，， 所以数据的平均数为. 所以数据,的平均数为. 所以D正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：； （2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 由题可得，且，所以为的中点， 在中，，所以，同理， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由题设求证和即可由线面垂直判定定理求证平面，进而得证； （2）由题设结合（1）建立适当的空间直角坐标系，接着由题设和二面角定义依次求出所需点和向量坐标，进而求出平面的一个法向量，再由线面角的向量法公式计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可以点为坐标原点，以，方向和垂直于平面向上的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题可知为等腰梯形，且，可得， 由（1）可知，为二面角二面角的平面角， 所以，从而， 因为，所以点到平面的距离为， 则有，，，， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 则有，令，则， 设直线与平面所成角为， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高考适应性测试 数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7. 一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,的方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：； （2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $