精品解析：江苏省盐城市职教高考2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题

2025年盐城市职教高考高三年级第三次模拟考试 数学试卷 命题人：梁永年 审题人：冯娟、郑宏标 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分.第Ⅰ卷1页，第Ⅱ卷2至4页.两卷满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则的模等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. 6 D. 3 4. 已知函数，（），则“是奇函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，，下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度得到 B. 向右平移个单位长度得到 C. 向左平移个单位长度得到 D. 向右平移个单位长度得到 8. 二项式的展开式中含x的系数是（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 15 9. 若3男3女排成一排，则下列说法错误的是（ ） A. 共计有720种不同的排法 B. 男生甲排在两端的共有240种排法 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D. 男女生相间排法总数为72种 10. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若为第二象限角，，则________． 12. 设抛物线的焦点为F，准线为l，则以为圆心且与l相切的圆的标准方程为________． 13. 用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的体积为________． 14. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 15. 已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是________. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知函数在区间上的最大值与最小值的和为． （1）求实数a的值； （2）解关于x的不等式． 17. 已知是定义在区间上的奇函数，当时，，函数，满足，求： （1）实数的值； （2）当时，的表达式； （3）函数在区间上的值域． 18. 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． （1）求A； （2）若面积为，求边上中线的长． 19. 某职业学校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从机电工程系男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第1组 10 0.100 第2组 ① 0.150 第3组 30 ② 第4组 25 0.250 第5组 20 0.200 合计 100 1.00 （1）求频率分布表中①、②位置相应的数据； （2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？ （3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？ 20. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点E在底面的圆周上，，F是垂足． （1）求证：； （2）如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线与平面所成角的正切值． 21. 某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为42万元，且每生产100台的生产成本为15万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述条件，完成下列问题： （1）写出总利润函数的解析式（利润销售收入总成本）； （2）要使工厂有盈利，求产量x的范围； （3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 22. 已知等差数列的公差为2，其前n项和，． （1）求k的值及； （2）设，数列的前n项和为，若，求正整数n的值； （3）在等比数列中，，，若，求证：． 23. 在平面直角坐标系中，椭圆（）的离心率为，两准线之间的距离为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知斜率为k（）的直线l与椭圆E交于A，B两点． ①设线段的中点为（），证明：； ②设直线l过左焦点F，若C在x轴上，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年盐城市职教高考高三年级第三次模拟考试 数学试卷 命题人：梁永年 审题人：冯娟、郑宏标 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分.第Ⅰ卷1页，第Ⅱ卷2至4页.两卷满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为集合，， 则. 故选：D. 2. 若复数z满足，则的模等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先由复数的除法求出z，再由共轭复数的概念得出，再根据复数的几何性质即可解答. 【详解】已知复数z满足， 则， 所以，所以， 故选：A. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出式子解得答案. 【详解】由于，可得， 解得， 故选：D. 4. 已知函数，（），则“是奇函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦型函数的奇偶性及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】若函数是奇函数，则，故充分性不成立； 若，则函数是奇函数，故必要性成立； 故“是奇函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出焦点以及渐近线，再根据点到直线的距离求解即可. 【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，即为， 则焦点到直线的距离为. 故选：A. 6. 在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，，下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合线线，线面的位置关系即可得解. 【详解】有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，， 若，，则与可能平行，相交或异面，故错误； 若，，则与可能平行，相交或异面，故错误； 若，，则，故正确； 若，，，则与可能平行或异面，故错误， 故选：. 7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度得到 B. 向右平移个单位长度得到 C. 向左平移个单位长度得到 D. 向右平移个单位长度得到 【答案】A 【解析】 【分析】首先将用辅助角公式进行化简，再根据左右平移变换的规律求解即可. 【详解】. 所以将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象. 故选：A. 8. 二项式的展开式中含x的系数是（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中含x的项为, 所以展开式中含x的系数是60. 故选：B. 9. 若3男3女排成一排，则下列说法错误的是（ ） A. 共计有720种不同的排法 B. 男生甲排在两端的共有240种排法 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D. 男女生相间排法总数为72种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合排列数和组合数的应用，利用捆绑法和插空法，即可求解. 【详解】若3男3女排成一排，共有种不同的排法，故选项A正确，不符合题意； 男生甲排在两端，共有种不同的排法，故选项B正确，不符合题意； 男生甲、乙相邻，利用捆绑法，共有种不同的排法，故选项C错误，符合题意； 男女生相间排列，利用插空法，共有种不同的排法，故选项D正确，不符合题意； 故选：C. 10. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由对数的换底公式得到，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为， 所以由，得，且， 故，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若为第二象限角，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，三角函数在各象限的符号，及三角函数诱导公式，即可求解. 【详解】因为为第二象限角，， 所以， 所以. 故答案为：. 12. 设抛物线的焦点为F，准线为l，则以为圆心且与l相切的圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出焦点F，以及准线l，再求出半径，进而得到圆的标准方程. 【详解】因为抛物线，所以焦点，准线. 所以焦点到准线的距离为，即半径为2. 则则以为圆心且与l相切的圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以确定圆锥的母线长和底面圆的周长，再设底面圆半径为，根据圆的周长公式列方程求的值，再由母线和半径的值求出高，最后由圆锥体积公式求值即可. 【详解】已知圆锥的侧面是半径为2的半圆， 即圆锥的母线长为，设底面圆半径为， 则，解得， 所以圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为， 故答案为：. 14. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，等比数列的规律，结合古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意得，一个以1为首项，为公比的等比数列为：， 其中前项有个负数和，共个数小于， 则10个数中小于的概率为. 故答案为：. 15. 已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数与二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为，所以在单调递增. 因为存在，且，使得成立， 所以函数在上不是单调的. 由于在单调递增，所以只要不单调， 或者的大于的值即可. 若不单调，则对称轴，解得； 当时，，若的值大于2， 即，解得； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知函数在区间上的最大值与最小值的和为． （1）求实数a的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性确定最值，再根据题意列方程求解即可. （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 已知函数在上为增函数， 所以在区间的最大值为，最小值为， 由最大值与最小值的和为，得， 即，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则，即， 因为在上为增函数， 所以， 即，解得 所以不等式的解集为. 17. 已知是定义在区间上的奇函数，当时，，函数，满足，求： （1）实数的值； （2）当时，的表达式； （3）函数在区间上的值域． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合奇函数的概念和性质，即可求解； （2）根据题意，结合奇函数的概念，即可求得函数解析式； （3）根据题意，结合函数的对称性，可得函数的对称轴，结合二次函数的图像和性质，即可求得函数在区间上的最大值和最小值，继而求得函数在区间上的值域. 【小问1详解】 因为是定义在区间上的奇函数， 所以，解得； 又当时，， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以是定义在区间上的奇函数，且时，， 令，则， 所以， 所以； 【小问3详解】 因为，所以函数的对称轴为， 解得， 所以， 又， 所以当时，函数取得最小值，即； 当时，函数取得最大值，即； 故当时，函数的值域为. 18. 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． （1）求A； （2）若面积为，求边上中线的长． 【答案】（1）. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及题目条件求解即可. （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 所以， 因为A，B，C的为三角形内角，所以或， 又，所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 依题意，因为，所以， 则，解得， 设边的中点为，所以，， 所以在中，由余弦定理知 ， 所以边上中线的长． 19. 某职业学校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从机电工程系男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第1组 10 0.100 第2组 ① 0.150 第3组 30 ② 第4组 25 0.250 第5组 20 0.200 合计 100 1.00 （1）求频率分布表中①、②位置相应的数据； （2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？ （3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？ 【答案】（1）15；0.3 （2）3人、4人 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布表，补齐内容，即可. （2）根据分层抽样，即可求解. （3）利用古典概型以及组合数，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布表可知， 第2组的频数为（人）， 第3组的频率为. 【小问2详解】 因为第2、5组共有35名学生， 所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为： 第2组：（人）， 第5组：（人）， 所以第2、5组分别抽取3人、4人． 【小问3详解】 设第2组的3位同学为，，， 第5组的4位同学为，，，， 则从7位同学中抽2位同学有种可能情况： 其中第5组的4位同学，，，中没有一位同学入选有种， 则至少有1名学生来自第5组有种. 故至少有1名学生来自第5组的概率． 20. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点E在底面的圆周上，，F是垂足． （1）求证：； （2）如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的结构特征，结合线面垂直的判定即可求解. （2）先找出为与平面所成角，再根据圆柱的结构特征及体积公式，棱锥的体积公式，结合面面垂直的性质即可求解. 【小问1详解】 由圆柱的性质可得，平面，因为平面，所以， 因为是圆柱底面的直径，点E在圆周上，所以， 又，，平面，故平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 由圆柱的性质可得，平面平面，过作，连接， 因为平面平面，平面，则平面， 即为与平面所成角， 因为圆柱的轴截面是边长为2正方形，所以圆柱的体积， 的面积为， 三棱锥的体积为， 因为圆柱与三棱锥的体积比等于，所以，解得， 所以为中点，在中，， 所以，即直线与平面所成角的正切值为. 21. 某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为42万元，且每生产100台的生产成本为15万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述条件，完成下列问题： （1）写出总利润函数的解析式（利润销售收入总成本）； （2）要使工厂有盈利，求产量x的范围； （3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 【答案】（1） （2）大于100台，小于820台 （3）400台 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出总成本，再利用销售收入减去总成本，即为利润. （2）利用二次函数的图像和性质以及分段函数，即可求解. （3）根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，由，得， 解得，所以， 当时，由，解得，所以， 综上得当时有， 所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利. 【小问3详解】 当时，函数，在定义域上单调递减， 所以（万元）， 当时，函数， 当时，有最大值为54（万元）． 所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元. 22. 已知等差数列的公差为2，其前n项和，． （1）求k的值及； （2）设，数列的前n项和为，若，求正整数n的值； （3）在等比数列中，，，若，求证：． 【答案】（1）； （2）64 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式结合已知条件列式可得，，再根据等差数列的通项公式即可求解. （2）由，则，故数列的前n项和为，根据已知条件列式即可求解. （3）设等比数列的公比为，由已知可得，则当时，，故数列表示首项为8，以为公比的等比数列，根据等比数列的前n项和公式即可证明. 【小问1详解】 因为等差数列前n项和， 又因为，，则，， 所以，又因为等差数列的公差为2， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以． 由，得，解得， 故正整数n的值为64． 【小问3详解】 证明：设等比数列的公比为， 由，，解得， 又由当时，，， 所以数列表示首项为8，以为公比的等比数列， 所以． 因为，所以，即． 23. 在平面直角坐标系中，椭圆（）的离心率为，两准线之间的距离为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知斜率为k（）的直线l与椭圆E交于A，B两点． ①设线段的中点为（），证明：； ②设直线l过左焦点F，若C在x轴上，且，求的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②4 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，计算求得求出，，由此能求出椭圆的标准方程； （2）①利用点差法，通过设，，将两点代入椭圆方程后作差，结合中点坐标公式，得到直线斜率与的关系，再根据中点在椭圆内部确定的取值范围，从而得出的取值范围. ②先联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到和的值，再代入弦长公式求出，然后根据得出垂直平分，求出中点坐标，进而得到直线方程，令求出点坐标，算出，即可得出结果. 【小问1详解】 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，， 解得，，于是， 因此椭圆E的标准方程是． 【小问2详解】 ①已知斜率为k（）的直线l与椭圆E交于A，B两点． 设，，则，． 两式相减得：．即， 又线段的中点为（），可得， 并由，于是：． 又因为点在椭圆内部，所以（），，， 所以． ②直线l过左焦点F，可设直线的方程为． 代入椭圆方程，整理得， 则，. 所以 ， 设的中点为，所以，， 所以的垂直平分线方程为． 因为，所以点C为的垂直平分线与x轴的交点， 所以， 所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $