第二十一章 一元二次方程 单元测试卷 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 单元测试卷·数学 人教版 （原卷版） （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1.本套试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题 2.作答时合理安排时间，解答题须写出必要的步骤及过程 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1．（2025春龙口市期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2＝3x B．x﹣3y＝0 C．x21 D．2x﹣3＝0 2．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 3.某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以（x﹣1），得x＝3． 移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0． ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 4．（2025金平区一模）若x1、x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣5 5．（2025万全区一模）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝﹣1中，k＜0，则方程的根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣2 D．两根之和为﹣2 6.（新情境·中国传统文化）中华优秀传统文化中蕴含着鼓励劳动、赞美劳动、劳动创造美好生活的内容，比如《大戴礼•武王践阼•履屡铭》中记载：“慎之劳，则富．”《国语•鲁语》中记载：“夫民劳则思，思则善心生．”如图是某学校的学生劳动实践基地，有三条同宽的矩形道路，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为32米，宽为20米，种植面积为570平方米，设劳动实践基地的道路宽为x米，则可列方程（　　） A．32×20﹣2×32x﹣20x＝570 B．（20﹣2x）（32﹣x）＝570 C．（32﹣x）（20﹣x）＝570 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 7．（2025春龙口市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．二次方程x2+bx+c＝0的两根为1和-5，则一次函数y＝bx+c不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 9．（2025春义乌市校级期中）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米20000元下降到3月份的每平方米16200元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　） A．9% B．10% C．19% D．20% 10.对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0有两个负实数根； ③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2﹣bx+a＝0（c≠0）的实数根为和； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分18分） 11.（2025长丰县期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 12．（2025中山市二模）若关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　　 ． 13．（2025春浙江期中）如果一元二次方程x（x﹣8）＝4（x﹣8）的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为　 　 ． 14． （2025春崇明区期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程　 　 ． 15．（2025武侯区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣5x+c＝0的两个实数根分别是m，n，且满足2m﹣n＝1，则c的值为 　　 ． 16．（2025春莱西市期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（本小题8分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣8x+6＝0； （2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0． 18.（本小题8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足x1+x2﹣x1x2＝7，求m的值． 19.（本小题8分）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“▲”的个数为 　 　 ； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为 　 　 ； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 20．（本小题8分）（2025千山区模拟）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 21．（本小题8分）（2025春温州期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园ABCD（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为28m，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为60m的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留2m宽的入口． 任务1：当长方形菜园ABCD的长BC为多少米时，菜园的面积为300m2？ 任务2：能否围成500m2的长方形菜园？若能，求出BC的长；若不能，请说明理由． 22．（本小题10分）（2025春鲤城区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣7x+12＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx﹣2＝0是“邻根方程”，令t＝20a+25﹣b2，试求t的最大值． 23．（本小题10分）（2025铜梁区模拟）今年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄开跑，这标志着我国人形机器人产业正在飞速发展．机器人甲参加了这次比赛，它先采用“跑步模式”以8km/h的速度跑完一段路程后，再采用“步行模式”匀速步行到达目的地（半程马拉松约为21km，本题按21km计算），共用时3h．此期间，已知机器人甲“跑步模式”的速度比“步行模式”的速度多2km/h． （1）求机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程是多少km？ （2）机器人乙也参加了本次比赛，当它速度为6km/h时，电池的续航时间为1h，每当速度提高1km/h，电池的续航时间将减少5min．实际比赛时，机器人乙满电量出发，当电量耗尽时就更换同规格满电量电池（更换电池时间忽略不计），并一直以akm/h的速度跑完比赛（a＞6）．已知机器人乙中途更换了3次电池，到达终点时，电量显示以这个速度还可以跑6km，求a的值． 24．（本小题12分）（2025铜仁市模拟）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行4﹣1＝3场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 人教版单元测试卷第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第二十一章 一元二次方程 单元测试卷·数学 人教版 （解析版） （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1.本套试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题 2.作答时合理安排时间，解答题须写出必要的步骤及过程 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1．（2025春龙口市期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2＝3x B．x﹣3y＝0 C．x21 D．2x﹣3＝0 A 2．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 D 3.某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以（x﹣1），得x＝3． 移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0． ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 B 4．（2025金平区一模）若x1、x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣5 D 5．（2025万全区一模）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝﹣1中，k＜0，则方程的根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣2 D．两根之和为﹣2 D 6.（新情境·中国传统文化）中华优秀传统文化中蕴含着鼓励劳动、赞美劳动、劳动创造美好生活的内容，比如《大戴礼•武王践阼•履屡铭》中记载：“慎之劳，则富．”《国语•鲁语》中记载：“夫民劳则思，思则善心生．”如图是某学校的学生劳动实践基地，有三条同宽的矩形道路，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为32米，宽为20米，种植面积为570平方米，设劳动实践基地的道路宽为x米，则可列方程（　　） 第7 题图 A．32×20﹣2×32x﹣20x＝570 B．（20﹣2x）（32﹣x）＝570 C．（32﹣x）（20﹣x）＝570 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D 7．（2025春龙口市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 C 8．二次方程x2+bx+c＝0的两根为1和-5，则一次函数y＝bx+c不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 B 9．（2025春义乌市校级期中）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米20000元下降到3月份的每平方米16200元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　） A．9% B．10% C．19% D．20% B 10.对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0有两个负实数根； ③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2﹣bx+a＝0（c≠0）的实数根为和； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 10.B【解析】①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0∴ac＜0，即a和c异号，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，∴，∴方程ax2+bx+c＝0的两个根异号，故②错误；③∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，∴，，∴，（）＝﹣（） ∴方程cx2﹣bx+a＝0（c≠0）的实数根是，，故③正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：，∴，∴，故④正确．故正确的有①③④．故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分18分） 11.（2025长丰县期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 2 12．（2025中山市二模）若关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　　 ． 1 13．（2025春浙江期中）如果一元二次方程x（x﹣8）＝4（x﹣8）的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为　 　 ． 20 14． （2025春崇明区期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程　 　 ． x（x﹣1）＝780 15．（2025武侯区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣5x+c＝0的两个实数根分别是m，n，且满足2m﹣n＝1，则c的值为 　　 ． 6 16．（2025春莱西市期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　 　 ． x2﹣1＝0（答案唯一） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（本小题8分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣8x+6＝0； （2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0． 17.解：（1）x2﹣8x+6＝0， x2﹣8x＝﹣6， （x﹣4）2＝10， ， ； ..........................................（4分） （2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣4）（x﹣1）＝0， x﹣4＝0，或x﹣1＝0， 解得x1＝4，x2＝1． ..........................................（8分） 18.（本小题8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足x1+x2﹣x1x2＝7，求m的值． 18.（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+3）]2﹣12m ＝m2+6m+9﹣12m ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2， ..........................................（2分） ∵（m﹣3）2≥0， ∴b2﹣4ac≥0， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； ..........................................（4分） （2）解：∵x1+x2＝m+3，x1•x2＝3m，x1+x2﹣x1x2＝7，……（5分） ∴m+3﹣3m＝7， 解得m＝﹣2， 故m的值为﹣2． ..........................................（8分） 19.（本小题8分）【观察思考】 第20 题图 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“▲”的个数为 　 　 ； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为 　 　 ； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 19.解：（1）3n﹣1； ..........................................（2分） 【解法提示】观察图形，得出：第1个图案中，“▲”的个数为2＝3×1﹣1；第2个图案中，“▲”的个数为5＝3×2﹣1；第3个图案中，“▲”的个数为8＝3×3﹣1；第4个图案中，“▲”的个数为11＝3×4﹣1；以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为3n﹣1.故答案为：3n﹣1. （2）； ..........................................（5分） 【解法提示】第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为；故答案为：； （3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4， ∴， ∴12n＝（n+1）（n+2）+12， 解得n1＝2，n2＝7． ∴n的值为2或7． ..........................................（8分） 20．（本小题8分）（2025千山区模拟）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 解：（1）设y＝kx+b（k≠0）， 将（12，56），（14，52）代入， ∴， 解得：， ∴y＝﹣2x+80； 故y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80； ..........................................（4分） （2）由题意，销售额＝x（﹣2x+8）＝﹣2x2+80x， 又销售额是1000元， ∴1000＝﹣2x2+80x． ∴2x2﹣80x+1000＝0． ∴Δ＝（﹣80）2﹣4×2×1000＝﹣1600＜0． ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到1000元． ..........................................（8分） 21．（本小题8分）（2025春温州期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园ABCD（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为28m，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为60m的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留2m宽的入口． 任务1：当长方形菜园ABCD的长BC为多少米时，菜园的面积为300m2？ 任务2：能否围成500m2的长方形菜园？若能，求出BC的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（任务1）设AB＝x米，则AD＝（60+2﹣2x）米， 根据题意得：x（60+2﹣2x）＝300， 整理得：x2﹣31x+150＝0， 解得：x1＝25，x2＝6， 当x＝25时，60+2﹣2x＝60+2﹣2×25＝12＜28，符合题意； 当x＝6时，60+2﹣2x＝60+2﹣2×6＝50＞28，不符合题意，舍去． 答：当长方形菜园ABCD的长BC为25米时，菜园的面积为300m2； ..........................................（4分） （任务2）不能围成500m2的长方形菜园，理由如下： 假设能围成500m2的长方形菜园，设AB＝y米，则AD＝（60+2﹣2y）米， 根据题意得：y（60+2﹣2y）＝500， 整理得：y2﹣31y+250＝0， ∵Δ＝（﹣31）2﹣4×1×250＝﹣39＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即不能围成500m2的长方形菜园． ..........................................（8分） 22．（本小题10分）（2025春鲤城区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣7x+12＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx﹣2＝0是“邻根方程”，令t＝20a+25﹣b2，试求t的最大值． 【解答】解：（1）解一元二次方程x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x+4）＝0， 解得，x＝3或x＝4， 4﹣3＝1， ∴x2﹣7x+12＝0，是邻根方程． ..........................................（3分） （2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0， （x﹣m）（x+1）＝0， ∴x1＝m或x2＝﹣1， |m﹣（﹣1）|＝1， ∴解得m＝0或m＝﹣2； ..........................................（6分） （3）ax2+bx﹣2＝0， x， ∵ax2+bx﹣2＝0是邻根方程， ∴|x1﹣x2|＝||＝1， ∴±1， ∴b2＝a2﹣8a， ∴t＝20a+25﹣a2+8a＝﹣a2+28a+25， 对于y＝﹣a2+28a+25开口向下，在对称轴处取最大值， ∴当a＝14，t取最大值， tmax＝221． ..........................................（10分） 23．（本小题10分）（2025铜梁区模拟）今年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄开跑，这标志着我国人形机器人产业正在飞速发展．机器人甲参加了这次比赛，它先采用“跑步模式”以8km/h的速度跑完一段路程后，再采用“步行模式”匀速步行到达目的地（半程马拉松约为21km，本题按21km计算），共用时3h．此期间，已知机器人甲“跑步模式”的速度比“步行模式”的速度多2km/h． （1）求机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程是多少km？ （2）机器人乙也参加了本次比赛，当它速度为6km/h时，电池的续航时间为1h，每当速度提高1km/h，电池的续航时间将减少5min．实际比赛时，机器人乙满电量出发，当电量耗尽时就更换同规格满电量电池（更换电池时间忽略不计），并一直以akm/h的速度跑完比赛（a＞6）．已知机器人乙中途更换了3次电池，到达终点时，电量显示以这个速度还可以跑6km，求a的值． 【解答】解：（1）由题意，设机器人甲采用“跑步模式”跑的路程为x km，则步行路程为（21﹣x）km， ∴跑步时间为小时，步行时间为小时． ∴． 解得x＝12． 答：机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程是12km． ..........................................（5分） （2）由题意，设机器人乙的速度为a km/h， ∴电池续航时间与速度的关系为：当速度为a时，续航时间T分钟为：60﹣5（a﹣6），转换为小时为． ∴每个满电电池可跑的距离为：． 又∵机器人乙更换3次电池，共使用4块电池，最后一块电池剩余电量可跑6km， ∴总路程满足：3D+（D﹣6）＝21． ∴D＝6.75． ∴6.75． ∴a＝9（舍去负解）． ..........................................（10分） 24．（本小题12分）（2025铜仁市模拟）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行4﹣1＝3场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 【解答】解：（1）设这支球队胜的场次是x场，则平的场次是y场， 由题意得：， 解得：， 答：这支球队胜的场次是7场； ..........................................（5分） （2）设总参赛队伍为n支， 由题意得：n（n﹣1）＝190， 整理得：n2﹣n﹣380＝0， 解得：n1＝20，n2＝﹣19（不符合题意，舍去）， ..........................................（8分） 即总参赛队伍为20支， ∴平均分成四个小组，每组5支球队， ∵小组内通过单循环赛确定前两名， ∴小组内比赛共440（场）， ∵把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴淘汰赛需4+2+1＝7（场）， ∴这种方案决出冠军共需要比赛40+7＝47（场）， 答：这种方案共需要47场比赛决出冠军． ..........................................（12分） 人教版单元测试卷第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$