20.2数据的波动程度练习2024-2025学年人教版数学八年级下册

20.2数据的波动程度 练习 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B． C．丙 D．丁 2．一位射击运动员在一次训练测试中射击了五次，成绩如图所示，对于这五次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．方差是 3．某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，7个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 42.02 36.34 36.58 42.02 单穗粒数的方差 114.77 65.81 170.32 66.38 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域推广种植．工作人员在该地不同区域选取了4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田中这四种甜玉米的产量（单位：公顷），统计结果如图所示．根据统计结果，最适合在该地不同区域推广种植的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等．把和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（    ） A．新数据的平均值比原数据的平均值小 B．新数据的方差比原数据的方差大 C．这两组数据的中位数可能相同 D．以上结论都不正确 6．投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪，某班举行投壶游戏，甲、乙两名同学五次的成绩（个数）如图，下列判断正确的是成绩（个数）（   ） A．甲的成绩比乙稳定 B．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大 C．甲的最好成绩比乙的最好成绩高 D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 7．甲、乙、丙、丁四位同学进行篮球测试，他们成绩的方差分别是：，，，，成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．下列四个选项中，正确的是（   ） A．云南省位于中国西南部，与越南、老挝、缅甸接壤，边境线全长4060000米，是中国边境线最长的省份之一．4060000用科学记数法表示为 B．8名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，19，17，15，这组数据的众数和中位数都是15 C．一个数的绝对值是3，这个数是3 D．甲乙两组同学参加学校知识竞赛，若甲乙两组同学平均成绩相同，甲组同学成绩方差，乙组同学成绩的方差，从两组中选择一组成绩好且发挥稳定的同学参加市上的比赛，应该选甲组同学 9．为庆祝鹊桥二号中继通信卫星发射成功，学校开展了航天知识竞赛活动．甲、乙、丙、丁四位同学的初赛成绩如下表，如果要从4名同学中选一名成绩好且状态稳定的参加决赛，那么应该选择（    ） 一 甲 乙 丙 丁 平均分 97 96 98 98 方差 1.6 0.3 0.3 1.8 A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 10．题目：“已知5个数据，，，，的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： ，小程的式子为： ．则小方，小程所列的式子（      ） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 11．若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 12．甲、乙两位同学参加学校组织的科普大赛，如图是根据甲、乙5次预赛成绩绘制的折线统计图，则甲、乙两位同学成绩的方差，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 13．两组数据如下表所示，则这两组数据的方差的大小关系为 ．（填“”，“”，“”） A 1 2 3 4 5 B 17 19 20 21 23 14．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于 ． 15．甲、乙、丙、丁四名运动员参加掷标枪比赛，下表记录了四人选拔测试（每人掷5次）的相关数据： 甲 乙 丙 丁 平均距离 45 54 48 54 方差 根据表中数据，四名运动员中选成绩又好又稳定的是 ． 16．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 三、解答题 17．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，甲、乙两校参加区教育局举办的“中国诗词大会”竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分 数 7 分 8 分 9 分 10 分 人 数 11 0 8 乙校成绩扇形统计图 (1)在图中，“7分”所在扇形的圆心角等于 ； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)填空： ①甲校的平均分是 ，中位数是 ； ②乙校的平均分是8.3分， 中位数是 ； ③若从平均分和标准差的角度判断，哪所学校的成绩较为稳定？ 答： 校． (4)如果区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 18．温州市以“数据+能力”双轮驱动，创新打造区域医疗集成平台，通过12项医学服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航．为了进一步了解系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查．以下是患者就诊时长随机抽样统计表（单位：分钟）： 患者就诊时长随机抽样统计表（样本容量：40） 时长 系统 10 20 30 40 50 60 众数（分钟） 中位数（分钟） 平均数（分钟） 方差（分钟） AI系统（人数） 1 21 15 3 0 0 20 　 　 46.15 老系统（人数） 0 8 18 11 2 1 　 30 32.5 85.9 (1)老系统就诊时长的众数是______，系统就诊时长的中位数是______； (2)计算系统患者的平均就诊时长： (3)结合以上数据，评价系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用． 19．某校为引导同学们学习天文知识、探索宇宙奥秘，组织了一次“中国梦·航天情”知识竞赛．现从七、八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，用表示，且均不低于70分，将学生竞赛成绩分为三个等级：．，．，C．）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的10名学生的竞赛成绩为； 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩在等级中的数据为． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩综合统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 87 4 八年级 87 89 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩比较稳定？请说明理由； (3)若该校七年级有600人参赛，八年级有500人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中竞赛成绩为“优秀”的学生共有多少人． 20．某校为了普及消防安全知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加消防安全知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 学生消防安全知识竞赛得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 a 80 c 八年级参赛学生成绩 b 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________；若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断__________（填“>”“<”或“=”）． (2)求七年级参赛学生成绩的平均数a． (3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D A C B C C 题号 11 12 答案 D C 1．A 【分析】本题考查平均数和方差的意义，熟练掌握平均数和方差的意义是解题的关键；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 此题有两个要求：①平均成绩较高，②状态稳定．于是应选平均数较大、方差较小的运动员参赛． 【详解】解：由于甲的平均数较大且方差较小， 故选：A 2．D 【分析】本题考查的知识点是求平均数、众数、中位数、方差，解题关键是熟练掌握相关知识点． 结合射击成绩计算平均数、众数、中位数、方差对选项逐一判断即可． 【详解】解：选项，这五次射击的成绩平均数为，结论正确，不符合题意，选项错误； 选项，将这五次射击的成绩按从小到大排列可得：，，，，，则中位数为，结论正确，不符合题意，选项错误； 选项，这五次射击的成绩出现最多的是， 众数是，结论正确，不符合题意，选项错误； 选项，这五次射击的成绩方差为，结论错误，符合题意，选项正确． 故选：． 3．D 【分析】本题考查了平均，方差作决策，理解表格信息，掌握方差作决策是关键． 根据平均数的大小，方差的含义进行判定即可． 【详解】解：平均数：， 方差：， ∴从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是丁， 故选：D ． 4．C 【分析】本题主要考查了数据的稳定性判断和平均数作决策，从统计结果可以看出甲和丁在不同的试验田产量不稳定，丙的平均产量高于乙，即可作出判断． 【详解】解：从统计结果可以看出甲和丁稳定性不好，丙的平均产量高于乙，故乙的稳定性和产量是最好的， 故选∶C 5．D 【分析】设9个数据为，则，根据平均数，方差，中位数的定义计算判定即可． 本题考查了中位数，方差，平均数的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：设9个数据为，且， 则， 则 ， 故平均数不变， 故A错误； 根据方差定义，得起始数据的方差为：， 新数据的方差为： ， 分子相同，分母变大， 故新方差变小， 故B错误； 根据，则起始数据的中位数为， 新数据的中位数是中间两个数的平均数，即第5个，第六个数据的平均数， 故， 若，则， 这与有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等矛盾． 故C错误， 故D正确， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均数的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数和平均数．分别计算出两人成绩的平均数、中位数、最好成绩、方差可得出答案． 【详解】解：甲同学的成绩按从小到大顺序依次为：、、、、， 则其中位数为7，平均数为，最好成绩是，方差为； 乙同学的成绩依次为：、、、、， 则其中位数为，平均数为，最好成绩是，方差为， 甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低． 故选项A符合题意， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴最小， ∴成绩最稳定的是丙， 故选：C 8．B 【分析】本题考查了科学记数法、求众数和中位数、绝对值、方差，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据科学记数法、求众数和中位数、绝对值、方差等知识点，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、4060000用科学记数法表示为，故此选项不正确，不符合题意； B、这组数据重新排序得：10，14，15，15，15，17，17，19．众数是15，中位数是，故此选项正确，符合题意； C、一个数的绝对值是3，这个数是3或，故此选项不正确，不符合题意； D、因为，所以从两组中选择一组成绩好且发挥稳定的同学参加市上的比赛，应该选乙组同学，故此选项不正确，不符合题意； 故选：B． 9．C 【分析】本题考查利用平均数和方差作决策，根据平均数越大，方差越小，成绩越优秀越稳定，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，丙同学的平均分最高，方差最小， 故丙同学的成绩好且状态稳定， 所以应该选择丙同学参加决赛； 故选C． 10．C 【分析】本题主要查了方差．根据方差公式可得，再由完全平方公式计算，可得，即可解答． 【详解】解：∵5个数据，，，，的平均数为6， ∴， ∴方差为 ∴小方，小程所列的式子都正确． 故选：C 11．D 【分析】本题考查求平均数和标准差，根据平均数和方差的变化规律：一组数据的平均数为，方差为，则：的平均数为，方差为，以及标准差为方差的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，的平均数为：，方差为：， ∴标准差为：； 故选D． 12．C 【分析】此题考查了方差的意义，折线统计图．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义即可判断． 【详解】解：由统计图可知，乙选手的成绩波动较大，说明其成绩不稳定；甲选手的成绩的波动较小，说明其成绩比较稳定， ∴， 故选：C． 13．< 【分析】本题主要考查了求方差，根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故答案为：< 14．18 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义．由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为3， 所以这组数据的总和为， 故答案为：18． 15．乙 【分析】本题考查了利用平均数和方差进行决策，从平均数来看平均成绩最好的是乙、丁，再比较方差，即可求解；理解平均数及方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由表格得 平均成绩最好的是乙、丁， ， 乙的成绩稳定， 四名运动员中选成绩又好又稳定的是乙， 故答案为：乙． 16．12 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 17．(1) (2)见解析 (3)①8.3；7；②8；③乙校 (4)选甲校，理由见解析 【分析】（1）根据10分的有5人，对应的圆心角度数是，设7分有人对应的圆心角度数是，列比例求解即可． （2）根据10分的有5人，对应的圆心角度数是，即所占的比例是，据此即可求得总人数，进而求得分是8分的人数，补全条形统计图． （3）①根据平均数与中位计算公式求解； ②根据中位计算公式求解； ③因为两校平均分相同，再分别计算出两校的标准差，比较标准差，根据标准差较小的成绩较为稳定，可得出答案． （4）观察两校的高分人数进行分析． 【详解】（1）解：设7分的人对应的圆心角度数是，由图可得 解得：， ∴“7分”所在扇形的圆心角等于； （2）解：（人）， 得分是8分的人数为：（人） 补充条形统计图为： （3）解：①9分人数为：， ∴， 成绩按从小到大排列，第十、十一位成绩是7，所以甲校的中位数为7； ②成绩按从小到大排列，第十、十一位成绩是8分，所以乙校的中位数为8； ③两校平均分相同，都要是8.3分， ∵ ∴ ∴从平均分和标准差的角度判断，乙学校的成绩较为稳定． 故答案为：乙方校． （4）解：因为区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，甲校得（10分）的有8人，而乙校得（10分）的只有5人，所以应选甲校． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数，中位数，标准差，利用标准差判定稳定等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 18．(1)30；20 (2)系统患者的平均就诊时长为25 (3)从众数、中位数、平均数上分析，系统比老系统用时更短；从方差上分析，系统就诊时长更稳定 【分析】本题考查了统计的应用，熟练掌握中位数，众数，平均数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义计算即可； （2）根据加权平均数的计算公式求解即可； （3）根据众数、中位数、平均数、方差分析即可． 【详解】（1）∵老系统就诊时长出现次数最多的是30，出现了18次， ∴老系统就诊时长的众数是30． ∵系统就诊时长从小到大排列后，排在第20和第21位的是20和20， ∴系统就诊时长的中位数是． 故答案为：30，20； （2）分钟； （3）系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用，从众数、中位数、平均数上分析，系统比老系统用时更短；从方差上分析，系统就诊时长更稳定． 19．(1),87,30 (2)七年级竞赛成绩比较稳定，理由见详解 (3)330 【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的意义，样本估计总体等知识是解题的关键． （1）八年级10名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到中位数的值；根据七年级10名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到众数的值；八年级10名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值； （2）比较方差即可得到答案； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：八年级一共有10个数据，则组中数据的个数为， 对八年级10个数据进行从小到大的顺序进行排列，排在第5位的数是86，排在第6位的数是89，所以中位数为， 七年级10个数据中87出现的次数最多，所以该组数据中的众数为：87， 八年级组中数据的个数为，所以其所占百分比为：， ∴， 故答案为：； （2）解：七年级竞赛成绩比较稳定，理由如下： 七年级的方差为，八年级的方差为， 方差越小数据波动越小，成绩就越稳定， 所以，七年级竞赛成绩比较稳定； （3）解：七年级10名同学中，“优秀”的人数为3，八年级10名同学中，“优秀”的人数为3， ∴， 所以，该校七、八年级参赛学生中竞赛成绩为“优秀”的学生共有330人． 20．(1)85；87；> (2) (3)七年级参赛学生的成绩较好 【分析】本题考查了求中位数、求众数、求平均数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）找到八年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将七年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值，根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，即可得出结论； （2）利用平均数的计算公式即可求解； （3）利用平均数和中位数分析即可判断． 【详解】（1）解：由图可得，八年级的10个数据中出现次数最多的是85， ， 将七年级的10个数据进行排序：74,80,80,80,86,88,88,89,91,99， ， 由图可得，七年级的成绩波动程度较大， 方差越小，数据越稳定， ， 综上所述，，，． 故答案为：85；87；>． （2）解：由（1）得，七年级的10个数据为：74,80,80,80,86,88,88,89,91,99， 平均数． 七年级参赛学生成绩的平均数． （3）解：七年级和八年级的平均成绩相同，且七年级的中位数比八年级的中位数大，所以七年级参赛学生的成绩较好． 学科网（北京）股份有限公司 $$