高考模拟测试卷01-2025年高考数学最后冲刺题型秒杀专项训练（上海专用）

2025年上海市高考模拟测试卷01（临考押题卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合，，则 . 2．抛物线的焦点坐标为，则C的准线方程为 . 3．在中，若，，，则的长为 . 4．已知，则的最小值为 . 5．数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则 ． 6．已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为 ． 7．若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 8．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 9．若、是实系数一元二次方程的两虚根，，且，则a的取值范围为 （用区间表示）． 10．已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 11．如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 12．已知非零向量、不共线，设，定义点集 . 若对于任意的，当，且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的最小值为 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．（    ） A． B． C． D． 14．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 15．已知平面，B，，，且，，且，则下列叙述错误的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线在上的射影可能与平行 C．过有且只有一个平面与平行 D．过有且只有一个平面与垂直 16．定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为． (1)设且，求x的取值范围； (2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 19．为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 20．阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. (1)求椭圆的标准方程； (2)点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； (3)直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 21．设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市高考模拟测试卷01（临考押题卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题 1．已知全集，集合，，则 . 【答案】 【分析】由题意，根据交集的定义，可得答案. 【解析】因为集合，， 所以. 故答案为：. 2．抛物线的焦点坐标为，则C的准线方程为 . 【答案】 【分析】由抛物线的标准方程及焦点坐标直接写出准线方程. 【解析】因为抛物线的焦点坐标为， 所以C的准线方程为. 故答案为： 3．在中，若，，，则的长为 . 【答案】 【分析】由余弦定理即可求解； 【解析】， 所以, 故答案为： 4．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故答案为： 5．数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则 ． 【答案】9 【分析】由两组数据满足的一次函数关系，得方差间的关系，即可得结果. 【解析】数据1、2、3、4、5依次记为，数据3、6、9、12、15依次记为， 则有，所以，即. 故答案为：9 6．已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【解析】因为圆锥的高为8，底面半径为， 所以圆锥的母线长为， 则圆锥的侧面积. 故答案为：. 7．若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【答案】 【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域. 【解析】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 8．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由古典概型公式求出、，进而计算可得答案. 【解析】根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况， 事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故， 若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即. 所以. 故答案为： 9．若、是实系数一元二次方程的两虚根，，且，则a的取值范围为 （用区间表示）． 【答案】 【分析】由题意知，再由表示出模长并进行化简，即可得到a的取值范围. 【解析】由已知、是实系数一元二次方程的两虚根，则、互为共轭复数，，， ，，，即. 故答案为：. 10．已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 【答案】144 【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【解析】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足，， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列的个数为， 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：144 【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键. 11．如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】由题设有，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值. 【解析】由题意，， 设，则， 在中，得， 则， 由于，解得， 则，解得， 令，，则. 令，则， 令，则，函数单调递增； 令，则，函数单调递减； 所以， 所以， 即人行步道的最短距离为. 故答案为：. 12．已知非零向量、不共线，设，定义点集 . 若对于任意的，当，且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的最小值为 【答案】 【解析】不妨设， ， ，则 设， 即 点在此圆内 实数的最小值为 点睛：本题考查了向量的综合运用并求最值，由可知三点共线，再由向量的数量积的几何意义可得平分，可得点的轨迹方程，由圆的直径代入求得最值 二、单选题 13．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式即得. 【解析】由二倍角公式可得，. 故选：A. 14．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态密度曲线的对称性逐项判断即可. 【解析】对于A选项，因为， 所以，，A对； 对于B选项，由正态密度曲线的对称性可得，B对； 对于C选项，由正态密度曲线的对称性可得，C对； 对于D选项，因为正态分布密度曲线呈现“中间高，两边低”的特点， ，D错. 故选：D. 15．已知平面，B，，，且，，且，则下列叙述错误的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线在上的射影可能与平行 C．过有且只有一个平面与平行 D．过有且只有一个平面与垂直 【答案】D 【分析】利用反证法判断选项正确；举例说明选项正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项错误． 【解析】对于选项，若直线与是共面直线，设与共面， 不共线的三点，，均在与内，与重合， 又不共线的三点，，均在与内，与重合，则与重合，与矛盾， 故直线与是异面直线，所以选项正确； 对于选项，当，，且二面角为锐二面角时，直线在上的射影与平行，所以选项正确； 对于选项，在上任取一点，过该点作的平行线，则由与确定一个平面，该平面与平行， 若过另外有平面与平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线外的一点有两条直线与平行， 与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项正确； 对于选项，只有当与异面垂直时，过有且只有一个平面与，否则，不存在过与垂直的平面，故选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16．定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【分析】对①，根据题意，可得，利用累加法求求答案；对②，分别求出，，的解析式，利用导数判断极大值情况，得解. 【解析】对于①，当为正整数时，已知， 则，， 将这些式子累加可得， 由等差数列求和公式， 所以，故①正确， 对于②，当时，，令， ， 即， 同理，可得， ， 由，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 当时，则， 同上易得是极大值点， 当时，则， 可得为极大值点， 当时，则， 易得为极大值点， 因为函数在区间内有3个极大值点，所以，故②错误. 故选：A. 三、解答题 17．如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：分析可知是二面角的平面角，以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；解法二：过作，交的延长线于，连接，再过作，交于，结合线面垂直的性质定理和判定定理可知即为直线与平面的所成角，求正弦值即可. 【解析】（1）因为为棱的中点， 所以且，所以四边形是平行四边形. 所以，又平面不在平面上， 由线面平行的判定定理知，平面. （2）解法一：因为，即，且异面直线与所成的角为，即， 又平面平面， 又，由三垂线定理可得， 因此是二面角的平面角，，所以， 不妨设，则， 以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，（其中， 则， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：过作，交的延长线于，连接， 由（1）知： ， 因为，所以， 因为，即， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又是在平面上的射影，由三垂线定理知，， 又，所以平面， 再过作，交于， 因为平面平面，所以， 又，所以平面，所以即为直线与平面的所成角， 因为平面，由三垂线定理， 因此是二面角的平面角，， 设，则， 因为所以四边形为正方形， 所以， 所以，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为． (1)设且，求x的取值范围； (2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设，利用指数单调性求解集即可； （2）由已知有，，根据条件分析中的元素组成，利用等差数列前n项和公式、分组求和. 【解析】（1）由题设，又且都不为1的正实数， 所以，而，故. （2）由，， 而数列前100项中有，其中属于数列有， 所以数列前100项是的前103项去掉三个元素， 则. 19．为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 【答案】(1)列联表见解析，0.35； (2)有； (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【解析】（1）完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. （2）由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. （3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 20．阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. (1)求椭圆的标准方程； (2)点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； (3)直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)直线恒过定点 【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）设（为参数），根据点到直线的距离公式表示出R到直线PQ的距离为，由正弦函数的性质确定d的最小值，即可求解； （3）设直线，，进而写出为两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标. 【解析】（1）由题意知，椭圆的面积知，得， 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由题意得，直线方程为，即，设（为参数）， 则点到直线的距离为， 当即即时，取得最小值，且最小值为， 所以的面积的最小值为， 此时. （3）设直线，，则，， 三点共线，得 ， 直线与椭圆交于两点，， ，， 由，得， ， ，代入中， ，， 当，直线方程为，则重合，不符合题意； 当时，直线，所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 21．设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 【答案】(1)是函数,不是函数，理由见解析. (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据“函数”的定义结合函数的奇偶性以及单调性判断即可. （2）令，利用导数分类讨论其单调性即可求解. （3）令函数结合必要条件的定义，推理判断即得. 【解析】（1）函数的定义域为，， 则函数和均为定义在上的奇函数， 当时，函数严格减，因此函数是函数； 当和时，，即函数在上不单调，因此函数不是函数. （2）函数的定义域为， ， 则函数是定义在上的奇函数， 当时，不是函数，则且， 当时，令， 求导得， 令函数， 求导得. 令，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立， 则当时，， 若，则，，函数在上单调递增，， ，则函数在上严格单调递增，不是D函数； 若，则，函数在上单调递减，， ，则函数在上严格单调递减，是D函数， 所以正数的取值范围是. （3）令函数，其是定义域为，，上的奇函数， 函数在上严格单调递减，因此函数为函数， ，而，则函数在上不单调， 所以“在上严格减”不是“为函数”的必要条件. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于证明的导函数恒成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$