专题03 函数、不等式 考前查漏补缺（十一大题型）-2025年高考数学最后冲刺题型秒杀专项训练（上海专用）

专题03 函数、不等式 考前查漏补缺（十一大题型） 目录： 题型1：分数指数幂与根式的互化；对数的运算 题型2：由对数函数的单调性解不等式 题型3：指、幂函数的概念与性质 题型4：函数的值域、最值问题 题型5：有解问题；根据分段函数的单调性求参数 题型6：基本不等式 题型7：基本不等式的应用 题型8：绝对值不等式；绝对值三角不等式 题型9：函数的双变量问题 题型10：对数运算的综合运用；三角函数的有界性在函数的应用 题型11：解答题 题型1：分数指数幂与根式的互化；对数的运算 1．将化为有理数指数幂的形式为 . 2．已知函数，则关于的方程的解为 . 3．设实数，若，则 . 4．已知，则 ．（请用含的代数式表达） 5．已知，，则= . 题型2：由对数函数的单调性解不等式 6．不等式的解集是 . 7．不等式的解集是 . 题型3：指、幂函数的概念与性质 8．若幂函数的图象分布在第一、三象限，则 . 9．函数的严格减区间为 10．已知定义在上的奇函数，当时，，则 ． 题型4：函数的值域、最值问题 11．函数的值域是 . 12．函数的最小值为 . 13．已知，则的最大值是 14．已知则函数的最大值为 . 题型5：有解问题；根据分段函数的单调性求参数 15．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 16．若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围 ． 17．已知函数 是 上的严格增函数，则实数 的取值范围是 题型6：基本不等式 18．已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 19．若正数x、y满足，则的最大值为 ． 20．已知正数满足，则的最小值为 . 21．设，，若，则的（    ） A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为2 D．最大值为2 题型7：基本不等式的应用 22．若，则的最小值是 . 23．已知实数、满足，则的最小值为 ． 题型8：绝对值不等式；绝对值三角不等式 24．设集合，集合，则 . 25．不等式的解集是 ． 26．存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 27．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 题型9：函数的双变量问题 28．已知函数若，则的取值范围是 ． 29．已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 . 30．已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 题型10：对数运算的综合运用；三角函数的有界性在函数的应用 31．已知，则的值为 . 32．若实数，满足，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 题型11：解答题 33．已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设． （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； 34．已知函数f(x)=3－2log2x，g(x)=log2x． (1)如果x∈[1，2]，求函数h(x)＝[f(x)+1]g(x)的值域； (2)如果对任意x∈[1，2]，不等式f(x2)f()＞kg(x）恒成立，求实数k的取值范围． 35．已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数、不等式 考前查漏补缺（十一大题型） 目录： 题型1：分数指数幂与根式的互化；对数的运算 题型2：由对数函数的单调性解不等式 题型3：指、幂函数的概念与性质 题型4：函数的值域、最值问题 题型5：有解问题；根据分段函数的单调性求参数 题型6：基本不等式 题型7：基本不等式的应用 题型8：绝对值不等式；绝对值三角不等式 题型9：函数的双变量问题 题型10：对数运算的综合运用；三角函数的有界性在函数的应用 题型11：解答题 题型1：分数指数幂与根式的互化；对数的运算 1．将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】由分数指数幂的运算即可得解. 【解析】由题意. 故答案为：. 2．已知函数，则关于的方程的解为 . 【答案】 【分析】根据函数解析式代入运算得解. 【解析】由，可得，即，解得. 所以方程的解为. 故答案为：. 3．设实数，若，则 . 【答案】 【分析】先根据对数的运算法则，将进行变形，再结合已知条件来求解. 【解析】根据对数运算法则，对于，所以. 已知，将其代入中，可得. 故答案为：14. 4．已知，则 ．（请用含的代数式表达） 【答案】 【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果. 【解析】由题意得，. 故答案为：. 5．已知，，则= . 【答案】2 【分析】根据已知求出的值即得解. 【解析】解：因为， 因为，所以. 所以. 故答案为：2 题型2：由对数函数的单调性解不等式 6．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意可得，令，判断函数的单调性，结合，即可求出不等式的解集. 【解析】不等式，即， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以当时， 则不等式的解集是. 故答案为： 7．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意，由对数函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【解析】不等式可转化为， 由对数函数单调性可得， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型3：指、幂函数的概念与性质 8．若幂函数的图象分布在第一、三象限，则 . 【答案】-3 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【解析】根据其为幂函数，则，解得或， 当时，，则其定义域关于原点对称， ，故为偶函数，且分布在一、二象限，图象如图所示： 故舍去， 当时，，则其定义域关于原点对称， ，故为奇函数，且分布在一、三象限，图象如图所示： 故答案为：. 9．函数的严格减区间为 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案. 【解析】函数在区间上单调递增， 函数在区间上单调递减， 根据复合函数单调性同增异减可知， 函数的严格减区间为. 故答案为：. 10．已知定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质得出，可得出的值，再利用奇函数的性质可求得的值. 【解析】当时，，∴， ∵是定义在上的奇函数， ∴，∴，∴. 故答案为：. 题型4：函数的值域、最值问题 11．函数的值域是 . 【答案】 【分析】对函数解析式进行变形处理，即可得解. 【解析】， 因为，， 所以. 故答案为： 12．函数的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据对数运算有，换元得，利用二次函数求最小值. 【解析】, 令，则有， 当时，，所以的最小值为. 故答案为：. 13．已知，则的最大值是 【答案】1 【分析】配方后利用二次函数求最值可得结果. 【解析】因为, 又因为 所以时,的最大值是1. 故答案为:1 【点睛】本题考查了二次函数求最大值,属于基础题. 14．已知则函数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值. 【解析】， , 令, 因为,所以, 所以,所以, 所以,对称轴, 所以在单调递增, 所以当时，, 即当,时，有最大值. 故答案为: . 题型5：有解问题；根据分段函数的单调性求参数 15．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为有实数解，进而结合二次函数求解即可. 【解析】解：因为关于的方程有实数解， 所以方程有实数解， 因为当且仅当时等号成立， 所以，方程有实数解，则 所以，实数的取值范围是. 故答案为： 16．若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】关于x的方程有负根可转化为指数函数与在第二象限有交点，结合图象即可求得实数a的取值范围． 【解析】关于x的方程有负根等价于指数函数与在第二象限有交点， 则当时，与在第二象限有交点， 所以实数a的取值范围． 故答案为：． 17．已知函数 是 上的严格增函数，则实数 的取值范围是 【答案】 【分析】由分段函数的两段均为严格增函数且临界点函数值满足的关系（左不大于右）可得． 【解析】由题易知是 上的严格增函数，则在上是增函数，必须有， 在时是增函数，最小值在时取得且最小值为， 由题意，解得， 故答案为：． 题型6：基本不等式 18．已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【解析】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 19．若正数x、y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，再结合二次函数的性质求解即可； 【解析】因为正数x、y满足，所以， 所以， 所以当时，最大值为， 故答案为：. 20．已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】利用基本不等式求解即可. 【解析】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为12. 故答案为：12. 21．设，，若，则的（    ） A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】A 【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据得出，并将转化为，最后取，即可得出结果. 【解析】因为，，所以， 因为，所以，， 则， 故当时，最小，， 故选：A. 题型7：基本不等式的应用 22．若，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 23．已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】根据对数运算和基本不等式求得正确答案. 【解析】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 题型8：绝对值不等式；绝对值三角不等式 24．设集合，集合，则 . 【答案】 【分析】解绝对值不等式，根据交集运算求解. 【解析】由可得， 解得，即， 所以， 故答案为： 25．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】讨论的范围去绝对值符号，得到不同范围下的解析式，分别进行求解，最后取并集即可得解. 【解析】当时，； 时，； 时，； 当时，，无解； 时，，解为； 时，，解为. 取并集，所以最终解集为. 故答案为：. 26．存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： 27．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示数轴上的对应点到和对应点的距离之和，其最小值为，再结合条件，即可解得的取值范围. 【解析】表示数轴上的对应点到和对应点的距离之和，其最小值为， 由题意的解集为， 可得恒成立，所以， 所以的范围是， 故答案为：. 题型9：函数的双变量问题 28．已知函数若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，且，结合图象有，从而得到求解. 【解析】函数的图象如图所示： 设，且， 则， 所以， ， ， 令，则， 其对称轴为， 所以在上递增，在上递增， 所以，， 所以的取值范围是， 故答案为： 29．已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，问题等价转化为f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，分别求出最值，列出不等式求解即可. 【解析】由题意f(x)的最小值不小于g(x)的最小值， 所以f(0)≥g(2)，即， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，属于简单题. 30．已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 【答案】0 【分析】考察函数的单调性，根据题中条件可得，继而可得区间关于原点对称，即可得到答案. 【解析】因为函数为上的递增函数， 且， 所以， 由题意， 对任意的，存在唯一的， 使得， 即， 即任意的，存在唯一的， 故区间关于原点对称， 则， 故答案为：0. 题型10：对数运算的综合运用；三角函数的有界性在函数的应用 31．已知，则的值为 . 【答案】或 【分析】对这两个式子两边同时取对数，结合对数运算性质化简，再联立由完全平方公式即可求解. 【解析】，则①， 则②， ①+②得：， 或. 故答案为：或 32．若实数，满足，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，得到，由得，将化为，根据二次函数的性质，即可得出结果. 【解析】因为，所以， 又，所以，即，解得：； 所以， 令，则其为开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此；又， 所以， 因此的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二次函数的值域问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型. 题型11：解答题 33．已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设． （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由二次函数的性质知在上为减函数，在上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求，即可写出解析式； （2）由题设得在上恒成立，即k只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【解析】（1）∵()，即在上为减函数，在上为增函数．又在上有最大值16，最小值0， ∴，，解得， ∴； （2）∵ ∴，由，则， ∴，设，， ∴在上为减函数，当时，最小值为1， ∴，即. 【点睛】关键点点睛： （1）根据二次函数的性质，结合区间最值列方程组求参数，写出函数解析式； （2）将问题转化为在区间内，求参数范围. 34．已知函数f(x)=3－2log2x，g(x)=log2x． (1)如果x∈[1，2]，求函数h(x)＝[f(x)+1]g(x)的值域； (2)如果对任意x∈[1，2]，不等式f(x2)f()＞kg(x）恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)[0,2] (2)(－∞,－2) 【分析】（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,1]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域； （2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用导数求出最值，即可求出实数的取值范围． 【解析】（1）由题可得h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2， 因为x∈[1,2]，令t＝∈[0,1]，则 ，函数在[0,1]上为增函数， ∴， 故函数h(x)的值域为[0,2]． （2）由f(x2)·f()＞k·g(x)， 得(3－4)(3－)＞k·， 令，因为x∈[1,2]，所以t＝∈[0,1]， 所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,1]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0,1]时，恒成立， 即， 由，得， ∴当t∈(0,1]时，，所以函数为减函数， 所以时，有最小值为－2.所以k＜－2. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－2)． 35．已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用对数函数和指数函数的单调性解不等式即可； (2)利用复合函数思想，由内到外分别求正弦型函数和对钩函数的值域，从而可求最小值. 【解析】（1）由已知代入可得不等式：， 根据对数函数的单调性可得：且， 则且， 解得： （2）由已知可得： 则 令， 因为，所以，即， 则， 此时在上单调递增，则， 要使得等式，则， 故的最小值为. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$