专题06 图形的变化（5题型）（湖南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题06 图形的变化 题型概览 题型01 视图与投影 题型02 尺规作图 题型03 图形的对称、平移与旋转 题型04 相似与位似 题型05 锐角三角形 ( 题型01 ) 视图与投影 1．（2025·湖南长沙·一模）如图几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南株洲·一模）榫卯是将两个木制单元凹凸接合的方式，是数千年以来中华古建筑的灵魂所在．下列四种榫，以箭头为主视方向，则其主视图是如图所示的图形是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·一模）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于未来拼装建造月球基地．如图是“月壤砖”的示意图，其左视图为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·一模）篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·一模）湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，如图①是某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全不相同 ( 题型0 2 ) 尺规作图 1．（2025·湖南株洲·一模）如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为 ． 2．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，交于点，再连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ ( 题型0 3 ) 图形的对称、平移与旋转 1．（2025·湖南衡阳·一模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·一模）中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南衡阳·一模）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·一模）下面的剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 6．（2025·湖南张家界·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．下面截取了某个棋局中的四个局部图案，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·湖南株洲·一模）“赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为 ． 8．（2025·湖南娄底·一模）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点为网格线的交点，若线段绕原点O 顺时针旋转后，端点 A 的坐标变为 ． 9．（2025·湖南长沙·一模）如图，将绕点逆时针旋转至，若，则点旋转到点所经过的路径长为 . 10．（2025·湖南株洲·一模）【问题背景】如图1，正方形的边长为8，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转到，连接交于点，连接． 【初步感知】（1）求证：； 【研究感悟】（2）求线段长度的最小值； 【深度探索】（3）在线段上截取，连接，如图2所示，若，求线段的长． ( 题型0 4 ) 相似与位似 1．（2025·湖南株洲·一模）如图是一块含角的三角板，内外两个三角形中，如果它们的斜边的比为，则它们的面积比值为（   ） A． B． C． D．4 2．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南湘潭·一模）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·一模）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南永州·一模）已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ． 6．（2025·湖南张家界·一模）如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 7．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． ( 题型0 5 ) 锐角三角形 1．（2025·湖南永州·一模）如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·一模）黄旭华院士被誉为“中国核潜艇之父”，1970年黄旭华院士主持设计的中国第一艘核潜艇“长征一号”正式列入海军战斗序列．在一次反潜演习中，军舰A正在追踪“长征一号”B，军舰A的声呐系统测得“长征一号”B的俯角为．同时，军舰A正上方300米的反潜直升机C测得“长征一号”B的俯角．求此时“长征一号”B离开海平面的下潜深度．（结果保留整数， 3．（2025·湖南娄底·一模）新化北塔，一座矗立在资水之滨二百年的楼阁式砖石古塔，是我们身边触手可及的国家级文物保护古建筑．她凝视着新化这片土地上的万家灯火，守护着新化县城，是新化文化延绵、文明传承、文脉赓续的精神脊梁．某实践探究小组想测得新化北塔的高度，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容：新化北塔的高度                     活动日期：2025年3月12日 成员             组长：××               组员：×××××××××××× 工具：测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：塔高无法直接测量，数据勘测组在A，B两处通过测角仪可测得的度数，以及使用皮尺测得的长度． 测量数据 角的度数 边的长度 米 计算数据 求塔高（）． （结果精确到，参考数据：，，，） 特殊说明 （点A，B，C，D在同一平面内，且点A，B，C在同一水平线上） 4．（2025·湖南株洲·一模）某数学兴趣小组测量神农广场炎帝雕像的高度（含底座），测量方案与数据如表： 项目名称 测量神农广场炎帝雕像的高度 方案 方案①“测角仪” 方案②“直臂尺法” 方案示意图 测量过程 ①选取与雕像底部位于同一水平地面的处； ②站在处，用测角仪测量从眼睛处看雕像顶部的仰角； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度． ①人站在与雕像底部位于同一水平地面的处；手臂水平伸直，拇指竖起； ②调整人与雕像的距离，利用视线使眼睛、拇指顶端与雕像顶部在同一直线上； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度； ⑤测量手臂长，母指长． 测量数据 米；；米． 米；米； 米；米． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：，， ①图上所有点均在同一平面内； ②，，，均与地面垂直； ③手臂与地面平行； 请你从以上两种方案中任选一种，求炎帝雕像的高度是多少米？（结果精确到米） 5．（2025·湖南娄底·一模）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行测算活动． 活动主题 测算学校旗杆高度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 测绘过程与数据信息 ①组员分工，制作测量数据记录表； ②选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据； ③，仰角为α． ①测角仪的高度； ②点C处测得旗杆顶端B的仰角； ③朝旗杆方向前进； ④在H处测得旗杆顶端B的仰角． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是______； (2)请你帮第一小组用含a，b，α的代数式表示旗杆的高度为______； (3)请你帮第二小组求出旗杆的高度（结果保留根号）． 6．（2025·湖南衡阳·一模）如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为． (1)若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）； (2)求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，） 7．（2025·湖南长沙·一模）如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼高，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，在楼底端D点测得A的仰角为，，在顶端E点测得A的仰角为，． (1)求两楼之间的距离； (2)求发射塔的高度． 8．（2025·湖南长沙·一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道， 经过测量知：米，米， 步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米)    1．（2025·湖南·一模）老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告． 课题 斜坡安全改造 成员 老师：×××  组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图①，原坡面是矩形，计划将斜坡改造成图②所示的坡比为的斜坡，坡面的宽度保持不变． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测得米，米； 【步骤二】在点处用测角仪测得斜坡的坡角为． …… …… 请根据活动报告，解答下列问题： (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度； (2)求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号） 2．（2025·湖南张家界·一模）《坐井观天》是大家熟知的寓言故事，“坐井观天”这个成语出自唐代韩愈《原道》：“坐井而观天，曰天小者，非天小也．”通过青蛙和一只小鸟的对话可知青蛙看到的“天”只有如井口一般大小，其原因是光是直线传播的．假设在《坐井观天》故事中的青蛙所在的井是圆柱形（如图），长为，井深为．某天青蛙蹲坐在井底的圆心位置抬头向上望去，雁群离地面的垂直高度约为，雁群的“领头雁”离井口正中心的水平距离约为． (1)此时青蛙是否可以看见雁群的“领头雁”？请说明理由． (2)当雁群沿直线飞行一段时间后，“领头雁”刚好到达青蛙的左边视线边界，此时尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界，求此时雁群队伍的长度． 3．（2025·湖南衡阳·一模）综合与实践 【问题情境】 类比是人类认知世界的重要思维方式，它不仅能帮助我们更好地理解复杂概念，更能激发创新思维，为人类认知开辟新的疆域．如示意图，在矩形中，于点，点是上一动点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：． 【类比探究】 （2）点运动到时，连接． ①如图2，当，，三点共线时，是否还成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出的值． ②如图3，当，时，求的长． 4．（2025·湖南岳阳·一模）【操作】在矩形中，，对角线，先将“复制”下来，得到，此时与完全重合，再将“复制”的绕边的中点顺时针旋转，连接，如图． 【研讨】下面是三位同学对旋转过程的研究： (1)乐乐同学初步尝试发现：连接，当时，总有，请你为他的发现给出证明． (2)明明同学深入探究思考：在的旋转过程中，当旋转角时，试求出点到边的距离． (3)奇奇同学积极研讨发现：在旋转过程中，线段与的数量关系可表示为，求的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 图形的变化 题型概览 题型01 视图与投影 题型02 尺规作图 题型03 图形的对称、平移与旋转 题型04 相似与位似 题型05 锐角三角形 ( 题型01 ) 视图与投影 1．（2025·湖南长沙·一模）如图几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.注意所看到的线都要用实线表示出来．找到从几何体的上面看所得到图形即可． 【详解】解：从几何体的上面看到的图形即俯视图如图所示， 故选：A 2．（2025·湖南株洲·一模）榫卯是将两个木制单元凹凸接合的方式，是数千年以来中华古建筑的灵魂所在．下列四种榫，以箭头为主视方向，则其主视图是如图所示的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可．利用三视图的定义是解题关键． 【详解】 解：的主视图是， 故选：B． 3．（2025·湖南·一模）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于未来拼装建造月球基地．如图是“月壤砖”的示意图，其左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．左视图是从左边看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】 解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其左视图为 故选：． 4．（2025·湖南长沙·一模）篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：主视图为： 故选B． 5．（2025·湖南·一模）湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，如图①是某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全不相同 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从正面、左面和上面看到的图形即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆， 故选：． ( 题型0 2 ) 尺规作图 1．（2025·湖南株洲·一模）如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了复杂作图-作垂直平分线，解直角三角形，勾股定理，求得和，即可解答，熟练利用三角函数求解是解题的关键． 【详解】解：由作图可得为的垂直平分线， 点是的中点， 对角线， ， ， ， 故答案为：． 2．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，交于点，再连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的画法和性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程解几何问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用线段的垂直平分线的画法和性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程解几何问题等知识点逐项进行判定即可． 【详解】解：①尺规作图的操作可知，直线垂直平分线段， ， ， ， 故①正确； ②， ， , 又∵直线垂直平分线段， ， 在和中只有,其余两角不相等，所以两个三角形不相似，故②错误； ③如图： 过点作于点，过点作于点， ， 又 由可知， 即， 由②得 ∴在和中，底边相等，底边上的高不相等，所以两个三角形的面积不相等， ∴的面积和的面积不相等， 故③错误； ④ 假设，则， 整理得，， 解得，， ， ∴ ∴ 故④正确； 故选：B． ( 题型0 3 ) 图形的对称、平移与旋转 1．（2025·湖南衡阳·一模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）结合轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）对选项逐一判断即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D 2．（2025·湖南岳阳·一模）中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：B、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有A选项； 故选：A． 3．（2025·湖南衡阳·一模）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握两个概念． 利用中心对称图形和轴对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 4．（2025·湖南·一模）下面的剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．即如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，坐标确定位置，解元一次不等式组，根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组是解题的关键． 根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；根据关于轴对称的点的坐标特征即可判断；根据点到坐标轴的距离的定义即可判断，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减即可判断． 【详解】解：、∵点在第二象限， ∴，解得：，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点关于轴的对称点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、∵点在第二象限， ∴点到轴的距离等于，点到轴的距离等于， ∴点到两坐标轴的距离之和等于，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点的坐标为，即，原选项错误，符合题意； 故选：． 6．（2025·湖南张家界·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．下面截取了某个棋局中的四个局部图案，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：由轴对称的定义可知：C是轴对称图形，符合题意；选项A、B、D中图案不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 7．（2025·湖南株洲·一模）“赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，设，则可得，，分类讨论，即三种情况，列方程即可解答，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：设， 把绕正方形的中心旋转三次，每次旋转， ，， ，， 当时， 可得， 解得或（舍去）， ， 当时， 可得， 解得或（舍去）， ， 故也不成立， 当时， 可得， 解得或（舍去）， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 8．（2025·湖南娄底·一模）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点为网格线的交点，若线段绕原点O 顺时针旋转后，端点 A 的坐标变为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标和旋转的作图，找到线段绕原点O 顺时针旋转后的线段，即可得到答案． 【详解】解：如图， 线段绕原点O 顺时针旋转后得到线段，端点 A 的坐标变为． 故答案为： 9．（2025·湖南长沙·一模）如图，将绕点逆时针旋转至，若，则点旋转到点所经过的路径长为 . 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据旋转的性质得到：，，再根据弧长公式计算即可解答． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， 则点旋转到点所经过的路径长， 故答案为：． 10．（2025·湖南株洲·一模）【问题背景】如图1，正方形的边长为8，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转到，连接交于点，连接． 【初步感知】（1）求证：； 【研究感悟】（2）求线段长度的最小值； 【深度探索】（3）在线段上截取，连接，如图2所示，若，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，点到圆的距离，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，即可解答； （2）利用定弦定角可得在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，利用颠倒圆的距离即可解答； （3）证明，求得，，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：（1），由逆时针旋转知， ，， ， ； （2） 在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，如图， ，， 在正方形中，，，连接 根据勾股定理可得， 当点E在线段上时（即D、E、M三点共线），取得最小值． 此时； （3）由题意知，在中，，， ，， 由旋转知，，， 由（1）知， ， ， 设，则， ， ， ， ，， 在中， ． ( 题型0 4 ) 相似与位似 1．（2025·湖南株洲·一模）如图是一块含角的三角板，内外两个三角形中，如果它们的斜边的比为，则它们的面积比值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形对应边成比例；相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方．利用相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个三角形是含角的三角板， ∴这两个三角形相似， ∵它们的斜边之比为， ∴它们的面积之比为， 故选：C． 2．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 3．（2025·湖南湘潭·一模）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．由，求证，，根据相似三角形性质得到，进而由相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于点F，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 4．（2025·湖南·一模）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，涉及相似三角形的面积比是相似比的平方等知识，先由题意得到，求出即可得到答案，熟记相似三角形性质、位似图形性质是解决问题的关键． 【详解】解：与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为， ，则， ， 故选：A． 5．（2025·湖南永州·一模）已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵与是位似三角形，且， ∴，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 6．（2025·湖南张家界·一模）如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：，，，， ，， ， 又， ． 7．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)灯泡离地面的高度为 【分析】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． ( 题型0 5 ) 锐角三角形 1．（2025·湖南永州·一模）如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义，根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．熟记定义是解题关键． 【详解】解：∵中，，，，所对的边分别为a，b，c， ∴，即，则A选项不成立，B选项成立 ，即，则C、D选项均不成立 故选：B． 2．（2025·湖南岳阳·一模）黄旭华院士被誉为“中国核潜艇之父”，1970年黄旭华院士主持设计的中国第一艘核潜艇“长征一号”正式列入海军战斗序列．在一次反潜演习中，军舰A正在追踪“长征一号”B，军舰A的声呐系统测得“长征一号”B的俯角为．同时，军舰A正上方300米的反潜直升机C测得“长征一号”B的俯角．求此时“长征一号”B离开海平面的下潜深度．（结果保留整数， 【答案】潜艇离开海平面的下潜深度约为410米 【分析】本题考查的是解直角三角形的性质，过点作，交的延长线于点，设，则，表示，，再建立方程求解即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 则即为潜艇的下潜深度， 根据题意得：，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：米， 潜艇离开海平面的下潜深度约为410米． 3．（2025·湖南娄底·一模）新化北塔，一座矗立在资水之滨二百年的楼阁式砖石古塔，是我们身边触手可及的国家级文物保护古建筑．她凝视着新化这片土地上的万家灯火，守护着新化县城，是新化文化延绵、文明传承、文脉赓续的精神脊梁．某实践探究小组想测得新化北塔的高度，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容：新化北塔的高度                     活动日期：2025年3月12日 成员             组长：××               组员：×××××××××××× 工具：测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：塔高无法直接测量，数据勘测组在A，B两处通过测角仪可测得的度数，以及使用皮尺测得的长度． 测量数据 角的度数 边的长度 米 计算数据 求塔高（）． （结果精确到，参考数据：，，，） 特殊说明 （点A，B，C，D在同一平面内，且点A，B，C在同一水平线上） 【答案】塔高约为． 【分析】本题考查解三角形的实际应用．设，可得，，列方程即可求解． 【详解】解：设． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∴， 解得． 答：塔高约为． 4．（2025·湖南株洲·一模）某数学兴趣小组测量神农广场炎帝雕像的高度（含底座），测量方案与数据如表： 项目名称 测量神农广场炎帝雕像的高度 方案 方案①“测角仪” 方案②“直臂尺法” 方案示意图 测量过程 ①选取与雕像底部位于同一水平地面的处； ②站在处，用测角仪测量从眼睛处看雕像顶部的仰角； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度． ①人站在与雕像底部位于同一水平地面的处；手臂水平伸直，拇指竖起； ②调整人与雕像的距离，利用视线使眼睛、拇指顶端与雕像顶部在同一直线上； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度； ⑤测量手臂长，母指长． 测量数据 米；；米． 米；米； 米；米． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：，， ①图上所有点均在同一平面内； ②，，，均与地面垂直； ③手臂与地面平行； 请你从以上两种方案中任选一种，求炎帝雕像的高度是多少米？（结果精确到米） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，方案①根据锐角三角函数的定义求出即可求解；方案②利用相似三角形的判定和性质求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：选方案①： 由题意得，四边形是矩形， 米，米，， 米， ∴米， 答：雕像高约为米； 选方案②： 由题意得，，四边形是矩形， ∴米，米，， ∴， 即， ∴米， ∴米， 答：雕像高约为米． 5．（2025·湖南娄底·一模）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行测算活动． 活动主题 测算学校旗杆高度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 测绘过程与数据信息 ①组员分工，制作测量数据记录表； ②选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据； ③，仰角为α． ①测角仪的高度； ②点C处测得旗杆顶端B的仰角； ③朝旗杆方向前进； ④在H处测得旗杆顶端B的仰角． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是______； (2)请你帮第一小组用含a，b，α的代数式表示旗杆的高度为______； (3)请你帮第二小组求出旗杆的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)减少误差； (2)； (3)． 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用，读懂题意，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据实际意义进行解答即可； （2）根据题意求出，利用线段的和差计算即可； （3）在中求出，利用线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：第一小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差； 故答案为：减少误差； （2）由题意可得，， 在中，， ∴， ∴ 故答案为：； （3）由题意可得，，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴旗杆的高度为． 6．（2025·湖南衡阳·一模）如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为． (1)若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）； (2)求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)房子的高度为米；塔的高度为米． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）利用，可求得米，在中，利用正切函数的定义求得，进一步计算即可求解； （2）作于点，交于点，在中，利用正切函数的定义列式得到，求得，在中，利用正切函数的定义列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵米，， ∴， ∴米， 在中，， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：，； （2）解：作于点，交于点， 则四边形和四边形是矩形， 设米， 在中，， ∴， 在矩形中，，， ∴， 在中，，，即， ∴， 解得， 由（1）得米，米， ∵四边形是矩形，，， 在中，，，，∴， ∴米． 答：房子的高度约为米；塔的高度约为米． 7．（2025·湖南长沙·一模）如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼高，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，在楼底端D点测得A的仰角为，，在顶端E点测得A的仰角为，． (1)求两楼之间的距离； (2)求发射塔的高度． 【答案】(1)两楼之间的距离为 (2)发射塔AB的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角的问题，熟练解直角三角形是解题的关键． （1）过点E作于点F，即可求得，可得答案； （2）利用解直角三角形，可得，再减去，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点F， ，， ， 由题可知：四边形为矩形， ，故两楼之间的距离为； （2）解：在中，， ， ， 故发射塔的高度为. 8．（2025·湖南长沙·一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道， 经过测量知：米，米， 步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米)    【答案】米． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的概念是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，求出米，得到米，求出，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得米， ∴米， ∵ ∴（米） ∴（米）． 答：山顶点C到地面的距离的长为米． 1．（2025·湖南·一模）老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告． 课题 斜坡安全改造 成员 老师：×××  组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图①，原坡面是矩形，计划将斜坡改造成图②所示的坡比为的斜坡，坡面的宽度保持不变． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测得米，米； 【步骤二】在点处用测角仪测得斜坡的坡角为． …… …… 请根据活动报告，解答下列问题： (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度； (2)求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号） 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分的长度为米． (2)改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作，交的延长线于点H，构造直角三角形，再计算即可； （2）先计算，再计算体积即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点H， 在中，米， （米），（米）， 在中，， （米）, 米． 答：改造后斜面底部延伸出来的部分BE的长度为米； （2）解：平方米， 立方米． 答：改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料． 2．（2025·湖南张家界·一模）《坐井观天》是大家熟知的寓言故事，“坐井观天”这个成语出自唐代韩愈《原道》：“坐井而观天，曰天小者，非天小也．”通过青蛙和一只小鸟的对话可知青蛙看到的“天”只有如井口一般大小，其原因是光是直线传播的．假设在《坐井观天》故事中的青蛙所在的井是圆柱形（如图），长为，井深为．某天青蛙蹲坐在井底的圆心位置抬头向上望去，雁群离地面的垂直高度约为，雁群的“领头雁”离井口正中心的水平距离约为． (1)此时青蛙是否可以看见雁群的“领头雁”？请说明理由． (2)当雁群沿直线飞行一段时间后，“领头雁”刚好到达青蛙的左边视线边界，此时尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界，求此时雁群队伍的长度． 【答案】(1)不可以，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，，证明，根据相似三角形的性质求出，判断即可； （2）连接，则，根据垂径定理的推论得到，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解：青蛙不可以看见雁群的“领头雁”，理由如下： 如图1，连接，， 由题意可知：点O在线段上，， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴此时青蛙不可以看见雁群的“领头雁”； （2）如图2，假设雁群沿直线飞行一段时间后，尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界点F处， 连接，则， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴此时雁群队伍的长度为． 3．（2025·湖南衡阳·一模）综合与实践 【问题情境】 类比是人类认知世界的重要思维方式，它不仅能帮助我们更好地理解复杂概念，更能激发创新思维，为人类认知开辟新的疆域．如示意图，在矩形中，于点，点是上一动点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：． 【类比探究】 （2）点运动到时，连接． ①如图2，当，，三点共线时，是否还成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出的值． ②如图3，当，时，求的长． 【答案】（1）见详解（2）①不成立，② 【分析】（1）根据矩形的性质判定出为正方形，进而证明即可得答案； （2）①根据给出条件证明出为等边三角形，进而判断出，假设，则，根据勾股定理可得，最后可得比值； ②根据条件和相似三角形的性质求出，根据勾股定理逐步求出的长，再利用线段的和差求出的长，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，当时，矩形为正方形，为等腰直角三角形， ∵，， ，，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①不成立，理由如下， 根据题意可知，此时点为矩形对角线的交点， ， ∴为等边三角形， 根据等边三角形的性质可得，， ∴， ， ， 设，则，根据勾股定理可得， ， ； ②∵，则在中，， 又∵，，即， 由（1）条件可得， ， ， ， ， 如图，连接，在中，由勾股定理得， ， 是等腰三角形，为底边，为底边上的高， 为的垂直平分线， ， ， 在中，，，， ， 则， 根据勾股定理得 ， 在中，， ， 则， ， 过作，则，， ， 在中，，，设，则 ， ， 解得或(舍) ， ，， ， 在中，，， ， 即的长度为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角函数；解题的关键是熟练掌握相关性质和构造直角三角形． 4．（2025·湖南岳阳·一模）【操作】在矩形中，，对角线，先将“复制”下来，得到，此时与完全重合，再将“复制”的绕边的中点顺时针旋转，连接，如图． 【研讨】下面是三位同学对旋转过程的研究： (1)乐乐同学初步尝试发现：连接，当时，总有，请你为他的发现给出证明． (2)明明同学深入探究思考：在的旋转过程中，当旋转角时，试求出点到边的距离． (3)奇奇同学积极研讨发现：在旋转过程中，线段与的数量关系可表示为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，并准确作出辅助线． （1）根据条件证明即可得出结论； （2）过点作于，延长交于，则四边形是矩形，利用勾股定理求得，利用对应边相等和线段的中点和锐角三角函数比求得和，过点作交于点，再利用锐角三角函数比求得即可得出结果； （3）根据条件分别证出和，再求出线段的长，利用和可得结果． 【详解】（1）证明：点是和的中点， 在与中 ， ； （2）解： 令与交于，过点作于，延长交于，则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， 过点作交于点， ， ， ， 点到边的距离； （3）解：连接，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ， ， 又由（1）得：， 即， 在旋转过程中，为定值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$