精品解析：山西省朔州市怀仁市云洲职业中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟预测数学试题

怀仁市云洲职业中学2024-2025学年度下学期第四次模拟考试 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某产品分为一等品、二等品和三等品三个等级，若生产中出现二等品的概率为，三等品的概率为，则对该产品进行抽查时，抽到一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数在其定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的焦点为和，离心率为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得DC距离为21km，若此人必须在30分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（ ） A. 30km/h B. 45km/h C. 14km/h D. 15km/h 7. 关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（   ）. A. B. C. D. 8. 函数的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 以下表达式中符合逻辑运算法则的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 将弧度化为角度是__________ 12. 数列满足，，数列的前项和记为，若有对任意的恒成立，则正整数的最小值为_________． 13. 将，，，按从大到小排列是________. 14. 已知，．则________．（用及表示） 15. 设，若，则的取值范围是__． 16. 某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则的方差__________． 17. 双曲线的渐近线方程为，且经过点，则双曲线方程为__________. 18. 二进制数转换为十进制数是________. 三、解答题（本大题共6小题，共38分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 若直线的倾斜角为，求实数m的值； 20. 已知等比数列中，，. （1）求通项； （2）若，试求数列的前n项和. 21. 某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： （1）该模具的表面积（含盖子）； （2）若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 22. 已知数列的前项和为，满足． （1）求，； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 23. 已知函数的图像经过点． （1）求实数a的值； （2）若，求x的取值范围． 24. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求角； （2）若，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁市云洲职业中学2024-2025学年度下学期第四次模拟考试 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某产品分为一等品、二等品和三等品三个等级，若生产中出现二等品的概率为，三等品的概率为，则对该产品进行抽查时，抽到一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据所有事件概率之和等于1即可. 【详解】设抽到一等品的概率为 ，二等品概率为=0.06 ，三等品概率为 ， 则 ， ， 故选：A. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则，故A选项错误； B选项，若，则，故B选项错误； C选项，因为，所以，C选项正确； D选项，若，则，，即，故D选项错误； 故选：C. 3. 下列函数在其定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、余弦函数、幂函数的性质求解即可. 【详解】选项A. 在上单调递增. 选项B. 是周期性函数，且在上单调递减. 选项C. 在上单调递减. 选项D. 在上单调递减. 故选：A. 4. 已知椭圆的焦点为和，离心率为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，，即可求出、，从而得解. 【详解】依题意可得，，所以，所以， 所以方程为. 故选：B 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一函数的判断标准，只要定义域相同，对应关系一致，即为同一函数，进行判断即可. 【详解】A选项中，由于的定义域为，的定义域为，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数； B选项中，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数； C选项中，的定义域为，的定义域为，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数； D选项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数. 故选：B. 6. 某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得DC距离为21km，若此人必须在30分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（ ） A. 30km/h B. 45km/h C. 14km/h D. 15km/h 【答案】A 【解析】 【分析】结合正弦定理、余弦定理求得，从而求得速度. 【详解】， 在三角形中，由余弦定理得, 则为锐角，. 在三角形中，由正弦定理得， 由余弦定理得, 即，解得， 所以, 所以最小速度为 km/h. 故选：A 7. 关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（   ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据判别式判断方程有实根的条件，结合两正根的条件，由方程所对应的二次函数的对称轴大于0且，求出的范围即可. 【详解】方程有两个实数根，，解得. 由的方程有两个正的实数根， 所以对应的二次函数的开口向上，对称轴， 且，即，解得或， 综上，. 故选：D. 8. 函数的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合对数型复合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为， 令，即，解得或， 即函数的定义域为， 因为函数在定义域上单调递增， 又函数， 所以函数的图像开口向上，对称轴为，在上单调递减，上单调递增， 根据复合函数同增异减的性质可知， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的单调增区间为. 故选：D. 9. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解集可得且，代入整理后直接求解即可. 【详解】关于x的不等式的解集是， 则有，即，， 代入不等式中，得， 化为，解得， ∴所求不等式的解集为. 故选：C. 10. 以下表达式中符合逻辑运算法则的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据逻辑运算法则即可求解. 【详解】对A，逻辑表示或运算，则，故A正确. 对B，是比较运算符，属于关系运算，不属于逻辑运算符，故B错误. 对C，属于算数运算符，不属于逻辑运算符，故C错误. 对D，，故D错误. 故选：A. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 将弧度化为角度是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据，可将弧度化为角度. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 12. 数列满足，，数列的前项和记为，若有对任意的恒成立，则正整数的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解数列的通项，再分析数列是递减数列，得到其最大项，令其小于等于，建立不等式即可求解. 【详解】由得，即， 又，即， 所以是首项为公差为的等差数列，通项公式为， 即， 又 ， 又，即， 所以数列是递减数列，最大项为， 即，故的最小正整数为． 故答案为：. 13. 将，，，按从大到小排列是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以， 又在区间上为减函数， 故. 故答案为： 14. 已知，．则________．（用及表示） 【答案】## 【解析】 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】由可知，所以. 故答案为： 15. 设，若，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角同角三角函数的基本关系和正余弦函数图象的性质即可求解. 【详解】因为， 所以，又因为，所以的取值范围是． 故答案为: . 16. 某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则的方差__________． 【答案】6 【解析】 【分析】由二项分布标准差公式求出，再利用二项分布方差公式求解即可. 【详解】因为同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是， 且在各路口是否遇到红灯是相互独立的． 记为遇到红灯的次数，则，所以， 因为，所以， 故答案为：6． 17. 双曲线的渐近线方程为，且经过点，则双曲线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入到双曲线的方程，计算可得的值，将其方程变形为标准方程的形式，即可得答案. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线的标准方程为， 又因为双曲线经过点， 所以，解得：， 则双曲线的方程为：， 其标准方程为：， 故答案为：. 18. 二进制数转换为十进制数是________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二进制转十进制的方法即可求解. 【详解】由题意得，二进制数转为十进制即： . 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共38分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 若直线的倾斜角为，求实数m的值； 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程得到斜率，进而求解即可. 【详解】因为直线方程 时，直线倾斜角为，不合题意； 所以斜率. 又因为直线倾斜角为. 所以. 所以解得或. 当时，原方程为：不成立. 当时，原方程为：成立. 故. 20. 已知等比数列中，，. （1）求通项； （2）若，试求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式，即可求解. （2）利用等差数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 设等比数列首项为公比为q， 由题意知，， 所以， 解得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 则. 综上所述，数列的前n项和为. 21. 某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： （1）该模具的表面积（含盖子）； （2）若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由圆锥的展开面求得底面半径，再利用圆锥的表面积公式和球的表面积公式即可得解； （2）根据圆锥的体积和球的体积公式求值即可. 【小问1详解】 设圆锥的底面半径，即半球的半径为， 因为，且扇形的半径为， 则有，解得， 所以模具的表面积为 . 【小问2详解】 已知圆锥的母线长为，底面半径为， 则圆锥的高为， 该模型的体积为 . 即最多能装立方厘米的橡皮泥. 22. 已知数列的前项和为，满足． （1）求，； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，分别令即可求出，； （2）由化简，得出数列是等比数列，再由等比数列通项公式求解即可； （3）利用分组求和，分别用等比数列和等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 数列的前项和为，满足， ， ． ， ． 【小问2详解】 当时，，联立， 得，．又， 数列是首项，公比为的等比数列， ． 【小问3详解】 由题意得，， ． 23. 已知函数的图像经过点． （1）求实数a的值； （2）若，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知函数过点求参数. （2）解三角函数不等式易得答案. 【小问1详解】 因为函数的图像经过点,所以,所以. 【小问2详解】 因为,所以,根据正弦函数的图像和性质, 解得. 24. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求角； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）. （2）直角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解. （2）根据正弦定理以及两角和、差的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 进而. 所以. 因为，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以. 进而. 因为，所以或. 当时， ，则. 当时，. 所以为直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $