精品解析：2025年江西省九年级阶段评估数学试卷

江西2025九年级阶段评估 数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义以及求一个数的算术平方根，绝对值，熟练掌握初中阶段无理数的主要表现形式是解本题的关键．无理数即为无限不循环小数，初中阶段接触的无理数的表现形式主要有：①开方开不尽的数；②含有的数；③（每两个之间依次多个0）这样的数；据此解答即可． 【详解】解：A. 是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B. 是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C. 整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D. 无理数，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 如图是某几何体的俯视图，则该几何体可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力，由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图再与题目图形进行比较即可． 【详解】解： A选项的俯视图是一个圆，故A选项不符合题意； B选项的俯视图是一个圆，且有圆心，故B选项不符合题意； C选项的俯视图是一个圆，故C选项不符合题意； D选项的俯视图是一个圆，且圆内有一个虚线圆，故D选项符合题意； 故选∶D． 3. 若式子的运算结果为，则在“□”中应添加的运算符号为（ ） A. + B. - C. × D. ÷ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，两点在数轴上，点C所对应的数是，若的长为3个单位长度，的长为7个单位长度，则点B对应的数可能是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三边关系，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，再结合三角形的三边关系得，根据每个选项的具体数值进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， ∵点C所对应的数是， 当点B对应的数是4，，满足； 当点B对应的数是3，，不满足； 当点B对应的数是2，，不满足； 当点B对应的数是1，，不满足； 故选：A． 5. 如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（ ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小明与入口的距离为 C. 小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键，因为如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是，当时，小明与入口的距离为，当时，y随x的增大而增大，即可作答． 【详解】解：A、观察图2，图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意； B、观察图2的图象，当时，小明与入口的距离为，故该选项不符合题意； C、观察图2的图象，当小明与入口的距离为时，旋转木马不一定转了（如下图所示），故该选项符合题意； D、观察图2的图象，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C 6. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答． 【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上）， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得 ∴ 解得（舍去），， 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 写出一个比小的正整数：_______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，则，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则2是比小的正整数， 故答案为：2（答案不唯一）． 8. 赣江是江西省最大河流，位于长江中下游南岸，源出赣闽边界武夷山西麓，自南向北纵贯全省，全长．数字766000用科学记数法可表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，n为整数，是解题的关键．根据科学记数法的表示方法，进行表示即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和性质，对顶角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和性质列式计算，求出的度数． 【详解】解：如图，     ， ， ， ， ， ． 故答案为： 10. 已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，矩形的性质，根据矩形性质可知方程有两个相等的实数根，再根据判别式等于零列式求解即可 【详解】解：，是矩形的对角线， ， ，是关于x的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得：， 故答案为： 11. 如图，在中，是的中点，将沿折叠，得到，连接，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理算出，再结合斜边上的中线等于斜边的一半，得，根据折叠的性质，得，再运用勾股定理整理得，代入数值计算，得，然后结合勾股定理得，即可作答．本题考查了折叠的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：记与相交于一点，如图所示： ∵ ∴， ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， 在中，， 在中，， 则， ∵， ∴， 解得 在中，， ∴（负值已舍去） ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，，若点P是平行四边形边上一动点，且，则的长为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】如图，作的外接圆，交平行四边形的边于，，连接，交于，连接交于，交于，可得，再分三种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，作的外接圆，交平行四边形的边于，，连接，交于， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴此时为符合条件的1个点， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴此时符合条件的， ∵， 同理可得：在中，， 连接交于，交于， 同理可得：， 而， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 综上：的长为：或或； 故答案为：或或 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根，含特殊角的三角函数的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简立方根、特殊角的三角函数值，再运算加法，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 14. 河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它们历史悠久，在古代文化史上地位极高、影响深远．如图，小沈将上述四个书院的图片制成编号分别为的四张卡片（除正面图案，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片，卡片中的书院所在地在江西的概率为_______； （2）小沈从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用概率公式列式计算，即可作答． （2）先画树状图，得出一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的结果有种，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵将上述四个书院图片制成编号分别为的四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片，卡片中的书院所在地在江西的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图，如图所示： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的结果有种， ∴抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的概率为． 15. 如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； （2）如图2，作一个底角为的等腰三角形． 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形； （2）如图，或即为所求； 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 【小问1详解】 解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴是正五边形的对称轴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 16. 如果分式M与N的和为常数k（k为正整数），则称M与N互为“和谐分式”，常数k称为“和谐值”． 例如：分式，则A与B互为“和谐分式”，“和谐值”为2． （1）判断分式与是否互为“和谐分式”． （2）已知分式，C与D互为“和谐分式”，且“和谐值”为5，求代数式M． 【答案】（1）分式与互为“和谐分式” （2） 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了分式的混合运算等知识，理解题意，根据题意正确列式并计算是解题管教． （1）计算，根据“和谐分式”定义即可求解； （2）根据题意得到，去分母得到，即可求出． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴分式与互为“和谐分式”； 【小问2详解】 解：∵C与D互为“和谐分式”，且“和谐值”为5， ∴， ∴， ∴ ∴． 17. 如图，为的直径，C为圆上一点，延长到点D，使，直线l经过点C，过点D作直线l的垂线，垂足为E，且，连接． （1）求证：； （2）猜想直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵为的直径， ∴ ∵过点D作直线l的垂线，垂足为E， ∴ ∵，， ∴； （2） 解：直线l与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵半径， ∴直线l与相切． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据圆周角定理以及垂线的定义，得，因为，，所以，即可作答． （2）先结合半径相等得，因为以及角的等量代换得，证明，由（1）得，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款玩具战机的进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 【答案】（1）甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元； （2）商家最少需购进甲款玩具战机60件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程组或不等式，然后求解． （1）设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元，列出方程组然后求解即可； （2）设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件，列出不等式然后求解即可． 【小问1详解】 解：设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元。 根据题意，得：， 解得； 答：甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元． 【小问2详解】 解：设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件， 根据题意，得：， 解得； 答：商家最少需购进甲款玩具战机60件． 19. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点O与原点重合，均在反比例函数的图象上，点B在第四象限，与y轴相交于D． （1）求证：四边形是菱形； （2）求点D的坐标． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先把代入，求出反比例函数的解析式，再求出，运用勾股定理算出，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可． （2）先求出的解析式为，结合菱形的性质得的解析式为，再把把代入，即可作答． 【小问1详解】 解：∵均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 把代入， ∴， ∴． 则， 即， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， 【小问2详解】 解：设的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 由（1）得四边形是菱形， ∴ 则设的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 当时，则， 即． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20. 如图1是某剧院的旋转舞台，其侧面结构示意图如图2所示，为水平地面，舞台长为的中点，均为支撑杆，可通过改变的大小实现舞台的升降，通过将绕点C旋转实现舞台的旋转． （1）当，且舞台与平行时，求舞台与支撑杆的夹角的度数； （2）在（1）的条件下，舞台与地面的距离为，为了演出的需要，要将平行于地面的舞台绕点C逆时针旋转得到，如图3，求舞台最高点到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）分别过点作，推出，利用平行线的性质即可解答； （2）过点作于点K，由题意得：，解直角三角形求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点K， 由题意得：， ∴， ∵与地面的距离为， ∴舞台最高点到水平地面的距离为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 初中部：． 高中部：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 8 a b 0.8 高中部 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_______，_______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致还是高中部的学生？请说明理由． （4）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”．已知该中学初中部有800名学生，高中部有600学生，请估计该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”． 【答案】（1）， （2） （3） 解：初中部学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴初中部的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于高中部的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致； （4） 解：根据题意：（人） （人） ∵， ∴估计该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，用样本估算总体，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据高中部平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可； （4）用初中部和高中部的学生数分别乘以样本中8分及以上人数所占比例，再求和，再求出达到“幸福餐”的人数，作比较即可解答． 【小问1详解】 解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； 【小问2详解】 解：高中部打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若点A是抛物线L的顶点，求点A的坐标； （2）将抛物线L向左平移a个单位长度后，与直线l相交于两点，求平移后的抛物线的解析式； （3）若均在抛物线L上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线解析式求出抛物线的顶点坐标为：，再根据点是抛物线L的顶点，得出，求出，然后再求出点A的坐标即可； （2）根据平移特点得出，得出抛物线的解析式为直线，根据抛物线与直线l相交于两点，得出，求出，即可得出答案； （3）根据，得出，根据点在抛物线L上，求出，得出，解不等式得出或；根据点在抛物线L上，得出，求出或，综合得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵点是抛物线L的顶点， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 解：将抛物线L向左平移a个单位长度后抛物线的解析式为： ， ∴抛物线对称轴的解析式为直线， ∵抛物线与直线l相交于两点， ∴， 解得：， ∴平移后的抛物线的解析式为： ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵点在抛物线L上， ∴， 解得：， ∴， 当时，，因此不成立； 当，即时，， 解得：或； ∵点在抛物线L上， ∴， 解得：， ∴， 当时，，因此不可能成立， 当，即时，， 解得：或， 综上分析可知：m的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【课本再现】 （1）如图1，的和的平分线相交于点G． ①若，则_______； ②求证：． 【数学思考】 （2）如图2，中的平分线与其外角的平分线交于点O，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【问题解决】 （3）如图3，菱形的顶点在上，与相交于点为的中点，若，求的值． 【答案】（1）①； ②见详解；（2）； 证明见详解；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可求出；②根据角平分线的性质定义可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可证明； （2）根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可． 根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形的（3）连接，设与交于点，由四边形是菱形，得，由，，可得，，，，进而可推出， ，，，，证明，进而可得 ，，即可求解． 【详解】(1)解：①， 理由：∵，的平分线相交于点， ，， ， ， ， 故答案为：； ②证明：∵，的平分线相交于点， ，， ， ； (2)解：； 证明： 平分，平分， ，， ， ． （3）解：连接，设与交于点， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (舍负)， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的性质和判定、菱形的性质等知识点，灵活运用等量代换思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西2025九年级阶段评估 数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A B. C. D. 2. 如图是某几何体的俯视图，则该几何体可能为（ ） A. B. C. D. 3. 若式子的运算结果为，则在“□”中应添加的运算符号为（ ） A + B. - C. × D. ÷ 4. 如图，两点在数轴上，点C所对应的数是，若的长为3个单位长度，的长为7个单位长度，则点B对应的数可能是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（ ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小明与入口的距离为 C. 小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 写出一个比小的正整数：_______． 8. 赣江是江西省最大河流，位于长江中下游南岸，源出赣闽边界武夷山西麓，自南向北纵贯全省，全长．数字766000用科学记数法可表示为_______． 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为_______． 10. 已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为__________． 11. 如图，在中，是的中点，将沿折叠，得到，连接，则的长度为_______． 12. 如图，在平行四边形中，，若点P是平行四边形边上一动点，且，则的长为_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）化简：． 14. 河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它们历史悠久，在古代文化史上地位极高、影响深远．如图，小沈将上述四个书院的图片制成编号分别为的四张卡片（除正面图案，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片，卡片中的书院所在地在江西的概率为_______； （2）小沈从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图方法求抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的概率． 15. 如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； （2）如图2，作一个底角为的等腰三角形． 16. 如果分式M与N的和为常数k（k为正整数），则称M与N互为“和谐分式”，常数k称为“和谐值”． 例如：分式，则A与B互为“和谐分式”，“和谐值”为2． （1）判断分式与是否互为“和谐分式”． （2）已知分式，C与D互为“和谐分式”，且“和谐值”为5，求代数式M． 17. 如图，为的直径，C为圆上一点，延长到点D，使，直线l经过点C，过点D作直线l的垂线，垂足为E，且，连接． （1）求证：； （2）猜想直线l与的位置关系，并说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款玩具战机进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点O与原点重合，均在反比例函数的图象上，点B在第四象限，与y轴相交于D． （1）求证：四边形是菱形； （2）求点D的坐标． 20. 如图1是某剧院的旋转舞台，其侧面结构示意图如图2所示，为水平地面，舞台长为的中点，均为支撑杆，可通过改变的大小实现舞台的升降，通过将绕点C旋转实现舞台的旋转． （1）当，且舞台与平行时，求舞台与支撑杆的夹角的度数； （2）在（1）的条件下，舞台与地面的距离为，为了演出的需要，要将平行于地面的舞台绕点C逆时针旋转得到，如图3，求舞台最高点到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 初中部：． 高中部：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 8 a b 0.8 高中部 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_______，_______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是初中部学生对“校园餐”的满意度更为一致还是高中部的学生？请说明理由． （4）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”．已知该中学初中部有800名学生，高中部有600学生，请估计该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若点A是抛物线L的顶点，求点A的坐标； （2）将抛物线L向左平移a个单位长度后，与直线l相交于两点，求平移后的抛物线的解析式； （3）若均在抛物线L上，且，求m的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【课本再现】 （1）如图1，的和的平分线相交于点G． ①若，则_______； ②求证：． 【数学思考】 （2）如图2，中的平分线与其外角的平分线交于点O，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【问题解决】 （3）如图3，菱形的顶点在上，与相交于点为的中点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $