4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时) 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前项和公式 (第2课时) 第四章 数列 1 ②时, ①时,. 设等比数列的首项为,公比为,前项和为: 复习导入 等比数列求和公式 注意:使用公式前,先判断公比是否为1 知三求二 1.使用公式求和时,需注意对 和 的情况加以讨论; 2.推导公式的方法:错位相减法。 注意: 2 新知2:等比数列的前n项和的性质 qn的系数和常数项互为相反数 ﹣1 ﹣2 3 性质4:若等比数列的公比,前项和为,则成等比数列,其中公比为. 等比数列的片段和性质: 例9 已知等比数列的公比,前项和为,证明: , 成等比数列,并这个数列的公比. 典例分析 ∴ 成等比数列,公比为。 例题讲解 例9.已知等比数列{an}的公比q≠-1,前n项和为Sn. 证明Sn, S2n- Sn, S3n- S2n,成等比数列,并求这个数列的公比. 思考: (1)为什么有这个条件:公比q≠-1 (2)不用分类讨论的方式能否证明该结论? (1)当q=-1且n为偶数时结论不成立 1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系? {an}是等比数列 2. Sn为等比数列的前n项和,Sn≠0, q≠-1或k不是偶数时, 则Sk, S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N*)是等比数列. 方法总结 (1)若等比数列的项数有项,则 (2)若等比数列的项数有项,则 S奇=a1+a3+… + a2n-1 +a2n+1 =a1+(a3+… a2n-1 +a2n+1) =a1+q(a2+a4+…+a2n) =a1+qS偶 S奇=a1+qS偶 S奇=a1+a3+…+a2n-1 S偶=a2+a4+…+a2n S偶=qS奇 新知探究 问题探究1:若是公比为的等比数列,分别是数列的偶数项和与奇数项和,则之间有什么关系? 性质5:项数为偶数时,则 :项数为奇数时,则= 新知探究 例2、已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。 解:由性质5,得: ∴ 又∵ 解得: 1、为等比数列的和,当q=1时,=;当q≠ 1时, . 3、设与分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为,则=;若项数为,则。 4、若等比数列的公比,前项和为,则成等比数列,其中公比为。 性质总结 5、数列是等比数列,则,其中 若q未知,用公式时要考虑q是否为1 法1: 法2: 11 变式1-2:在等比数列中,设前项和为, , ,求. 练习巩固 12 变式1-3:等比数列中,,则公比 若q未知,用公式时要考虑q是否为1 练习巩固 13 例2:已知等比数列的首项为前项和为,若,求公比 若q未知,用等比数列前n项和公式时要考虑q是否为1. 练习巩固 14 变式2-1:设公比不为的等比数列,其前项和为若成等差数列,则 练习巩固 15 变式2-2:等比数列首项,公比,前项和为,其中最大的一项为,又它的前项和为,则,. 练习巩固 16 练习1. 在等比数列{an}中,求满足条件的量: (1)Sn=189,q=2,an=96,求a1和n; (2)若 a1+a3=10,a4+a6=, 求a4 和S5; 练习巩固 17 练习2.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n-1,求该数列的奇数项的前n项和. 练习巩固 18 练习3.在等比数列{an}中,已知a1+a2+…+an=2n-1,则a12+a22+…+an2等于_. 练习巩固 19 练习4. 练习巩固 20 课本P38-例10.如图,正方形ABCD的边长为5 cm,取正方形ABCD各边的中点作E,F,G,H,第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去. 求从正方形ABCD开始,连续10个正方形的面积之和; 如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些 正方形的面积之和将趋近于多少? 课本P38/39-例11.去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理。预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨。为了确定处理生活垃圾的预算,请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 分析:每年生活垃圾的总量构成等比数列,公比为1+5%; 每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列,公差为1.5; 从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨。 课本例题 例12某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为C1,C2,C3,…. (1)写出一个递推公式,表示cn+1与cn之间的关系; (2)将(1)的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式,其中k,r为常数; (3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1) 分析:(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系; (2)这是待定系数法的应用,可以将它还原为(1)中的递推公式的形式,通过比较系数,得到方程组; (3)利用(2)的结论可得出解答。 解:(1)由题意,得c1 =1200,并且cn+1 =1.08cn-100. 所以,(1)中的递推公式可以化为cn+1-1250=1.08(cn-1250). (3)由(2)可知,数列{cn -1250}是以-50为首项,利用递推公1.08为公比的等比数列,则 (c1 -1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+…+(c10 -1250)=≈-724.3. 所以S10=c1+c2+c3+…+c10 ≈1250 10-724.3=11775.7≈11776. 方法归纳:解数列应用题 (1)认真审题,明确问题是等差数列问题?还是等比数列问题?还是含有递推公式的数列问题?是求an,还是求Sn? ①特别要注意项数是多少. ②细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题. (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达. (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式. 课堂小结 性质:Sn+m=Sn+qnSm qn=eq \f(Sn+m-Sn,Sm)(q为eq \o(公比 .,\s\do4( ,)) 证明 左边=Sm+n=(a1+a2+…+am)+(am+1+am+2+…+am+n) =Sm+qmSn=右边,∴Sm+n=Sm+qmSn. =Sm+(a1qm+a2qm+…+anqm)=Sm+(a1+a2+…+an)qm (1)等比数列前项和公式,对于公比未知的等比数列,应用等比数列的前项和公式时,需讨论公比是否为1; (2)等比数列前项和公式的推导:错位相减法; (3)数学思想方法的应用: ①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现; ②分类讨论思想:由等比数列前项和公式可知,解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想. $$