专题2 函数的单调性及最值（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块3函数中的第2个专题函数的单调性及最值。本专题涵盖函数单调性的概念、函数的单调性及单调区间、最值等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 函数的单调性及最值（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点2 函数的最值 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【考试题型1】由指数函数的单调性求值域 【例1】（2025年·河南对口升学高考）函数的值域是 ． 【考试题型2】判断所给函数的单调性 【例2】（2024年·河南对口升学高考）下列函数中，在上单调递减的为（       ） A. B. C. D. 【考试题型3】判断所给函数的奇偶性及单调性 【例3】（2023年·河南对口升学高考）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（       ） A. B. C. D. 【考试题型4】判断所给函数的奇偶性及单调性 【例4】（2022年·河南对口升学高考）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（       ） A. B. C. D. 【考试题型5】根据函数的奇偶性及单调性比较大小 【例5】（2021年·河南对口升学高考）已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（       ） A. B. C. D. 题型考点一 判断函数的单调性 1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（       ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在区间上是减函数的是（       ） A. B. C. D. 3．下列函数中是增函数的为（       ） A． B． C． D． 4．在区间上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 5．函数f(x)=在R上（       ） A．是减函数 B．是增函数 C．先减后增 D．先增后减 6．下列函数中，在区间上是增函数的是（       ） A． B． C． D． 7．函数的单调区间为（       ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 8．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 9．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（       ） A． B． C． D． 10．一次函数且. （1）求的值； （2）证明在上单调递增. 题型考点二 由单调性求函数的最值 1．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 2．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 3．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 4．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（       ） A． B．－ C．－2 D．2 5．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（       ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 7．设，则函数的最大值为 ． 8．已知函数=，则函数的最小值为 ，函数的最大值为 ． 9．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 题型考点三 利用单调性比较大小及求参数范围 1．若函数在R上是减函数，则有（       ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 3．若函数在R上是减函数，则与之间的关系是（       ） A． B． C． D． 4．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．已知函数是上的减函数，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 6．设函数是上的减函数，则（       ） A． B． C． D． 7．定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 8．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 9．若函数在上单减，则k的取值范围为 ． 10．已知函数. （1）若为偶函数，且，求函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块3函数中的第2个专题函数的单调性及最值。本专题涵盖函数单调性的概念、函数的单调性及单调区间、最值等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 函数的单调性及最值（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点2 函数的最值 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【考试题型1】由指数函数的单调性求值域 【例1】（2025年·河南对口升学高考）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数的值域，即可求解. 【解析】因为指数函数的值域是， 所以的值域是. 故答案为：. 【考试题型2】判断所给函数的单调性 【例2】（2024年·河南对口升学高考）下列函数中，在上单调递减的为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D 【考试题型3】判断所给函数的奇偶性及单调性 【例3】（2023年·河南对口升学高考）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项判断即可. 【解析】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【考试题型4】判断所给函数的奇偶性及单调性 【例4】（2022年·河南对口升学高考）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数的图像可知，为开口向上，顶点坐标为， 对称轴为y轴的抛物线，符合题意， 故选：B. 【考试题型5】根据函数的奇偶性及单调性比较大小 【例5】（2021年·河南对口升学高考）已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为在上为增函数， 所以，所以， 故选：B. 题型考点一 判断函数的单调性 1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式直接判断函数单调性，结合函数奇偶性的定义即可求解. 【解析】对A，一次函数，则不是奇函数，故A错误. 对B，为幂函数，在R上为减函数，故B错误. 对C，为反比例函数，为奇函数且在其定义域上不具备单调性，故C错误. 对D，，其定义域为R，又，则为奇函数. . 当时，在上为增函数，且. 当时，在上为增函数，且. 综上，在R上为增函数，故D正确. 故选：D. 2．下列函数中，在区间上是减函数的是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由四个函数的图像可知，满足在区间上是减函数的只有， 故选：B. 3．下列函数中是增函数的为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 4．在区间上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据选项中的函数逐一判断其在区间上的单调性即可. 【解析】选项A，在上单调递减，在单调递增，故A选项错误. 选项B，在上为常函数，故B选项错误. 选项C，在上单调递减，故C选项错误. 选项D，在上单调递增，故D选项正确. 故选：D. 5．函数f(x)=在R上（       ） A．是减函数 B．是增函数 C．先减后增 D．先增后减 【答案】B 【解析】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数. 故选：B. 6．下列函数中，在区间上是增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，是过原点，经过一、三象限的一条直线，在上为增函数，所以A正确， 对于B，是一次函数，且，所以上为减函数，所以B错误， 对于C，是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在上是减函数，所以C错误， 对于D，是二次函数，对称轴为轴，开口向下的抛物线，在上是减函数，所以D错误， 故选：A. 7．函数的单调区间为（       ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【解析】的对称轴为，开口向上， 所以在在单调递减，在单调递增， 故选：D. 8．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确， 对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误， 对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误， 对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误， 故选：A 9．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A中，根据幂函数的性质，可得函数为奇函数，不符合题意； 对于B中，函数，满足，所以函数为奇函数，不符合题意； 对于C中，根据二次函数的图象与性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意； 对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，当，可得为单调递增函数，符合题意. 故选：D. 10．一次函数且. （1）求的值； （2）证明在上单调递增. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】解：（1）一次函数且， 则，则. （2）证明：由（1）得，在上任取，，令， 则 ，，， 在上是单调递增函数． 题型考点二 由单调性求函数的最值 1．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【解析】函数在区间是减函数， 所以时有最大值为1，即A=1，时有最小值，即B=， 则， 故选：A. 2．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为在上单减，所以在上单减， 即在上单减， 所以f(x)的最大值为. 故选：D. 3．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【解析】∵，等号成立当且仅当， ∴函数的最小值是， 故选：C. 4．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（       ） A． B．－ C．－2 D．2 【答案】A 【解析】因为函数和在上均为减函数， 所以f(x)在上是减函数， ∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝， 故选：A. 5．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在区间单调递减， 所以当x=0时取得最大值：， 故选：B. 6．如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（       ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 【答案】A 【解析】因为为奇函数，则在对称区间上单调性相同， 所以在上为单调递增函数， 根据的图像关于原点对称，且， 所以在上的最小值为， 故选：A. 7．设，则函数的最大值为 ． 【答案】 【解析】二次函数是开口向下的，对称轴为， ∴当 时，， 故答案为：． 8．已知函数=，则函数的最小值为 ，函数的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】配方后得出函数的单调性，由单调性可得最值． 【解析】， 因此在上递增，是上递减， 时，，又，，因此时，． 故答案为：；4. 9．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】17 【解析】∵函数在上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为， ，， 是奇函数，则， ， 故答案为：17． 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据待定系数法求解题中二次函数解析式即可； （2）根据二次函数在定区间上的单调性求解即可. 【解析】解：（1）设二次函数为，，由题意得 解得 所以函数． （2）函数，开口向下，对称轴， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以， ． 题型考点三 利用单调性比较大小及求参数范围 1．若函数在R上是减函数，则有（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性判断函数值的大小即可. 【解析】因为函数在R上是减函数，且， 所以. 故选：C. 2．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值，即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值，即，解得舍去， 所以， 故选：B. 3．若函数在R上是减函数，则与之间的关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用减函数的性质，判断和之间的关系. 【解析】因为在R上是减函数，且，所以，所以， 故选：B. 4．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴和函数的递增区间易得答案. 【解析】∵函数在上单调递增，开口向上且对称轴为， ∴，解得． 故选：B． 5．已知函数是上的减函数，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性可得，然后解不等式求解. 【解析】由于函数是上的减函数， 则不等式，即， 则， 解得， 故选：C． 6．设函数是上的减函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，选项A、B、C都不正确； 因为，所以， 因为在上为减函数，所以，故D正确. 故选：D. 7．定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，则或， 故选：D. 8．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D. 9．若函数在上单减，则k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为函数在上单减， 所以，得，所以k的取值范围为. 故答案为：. 10．已知函数. （1）若为偶函数，且，求函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据其为偶函数得到，再根据则得到其解析式； （2）根据其对称性和单调性则得到不等式，解出即可. 【解析】解：（1）由为偶函数，则， 可得，即． 由，可得，即． 则. （2）由的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以，即， 解得或，则x的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$