专题1 函数的概念及其表示（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块3函数中的第1个专题函数的概念及其表示。本专题涵盖函数的概念及其表示、函数的三要素、分段函数、复合函数等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 函数的概念及其表示（讲义） 知识点1 函数的有关概念 1．函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值y的集合叫做函数的值域 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零； ②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 知识点2 两类常见函数 1．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 【考试题型1】求指数型函数的值域 【例1】（2025年·河南对口升学高考）函数的值域是 . 【考试题型2】利用分段函数求复合函数的解析式 【例2】（2025年·河南对口升学高考）若函数，则 . 【考试题型3】结合一元二次不等式的解法求函数的定义域 【例3】（2024年·河南对口升学高考）求函数的定义域． 【考试题型4】利用已知解析式求函数的解析式 【例4】（2023年·河南对口升学高考）设函数，则 . 【考试题型5】求抽象函数的定义域 【例5】（2021年·河南对口升学高考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 题型考点一 求函数的定义域 1．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 题型考点二 求函数的值域 1．函数（为常数），且，则（       ） A． B．9 C．2 D． 2．函数的定义域为，则其值域为（       ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为，则函数的值域为（       ） A． B． C． D． 4．函数 的值域是（       ） A． B． C． D． 5．函数的值域为 . 6．函数的值域 . 题型考点三 求函数的解析式 1．已知函数，则（       ） A． B． C． D． 2．已知，则函数的解析式为（       ） A． B． C． D． 3．已知，则的解析式为 （       ） A． B． C． D． 4．已知是一次函数，且，则（       ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，且，则（       ） A． B． C． D． 6．已知，求的解析式； 题型考点四 相同函数 1．下列各组函数中是同一个函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（       ） ①和 ②和 ③和 ④和 A. ①② B. ①③ C.③④ D.①④ 3．下列函数完全相同的是（       ） A．， B．， C．， D．， 4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A． B． C． D． 5．下列每组函数是同一函数的是（       ） A． B． C． D． 题型考点五 分段、复合函数 1． 已知，则的值为（       ） A．7 B．3 C． D．4 2．已知函数则（       ） A．1 B．2 C．0 D． 3．设，则等于（       ） A．1 B．0 C．2 D．－1 4．已知函数，部分与的对应关系如表：则（       ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（       ） A． B． C． D． 6．已知函数则（       ） A． B． C． D． 7．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（       ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 8．已知函数，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块3函数中的第1个专题函数的概念及其表示。本专题涵盖函数的概念及其表示、函数的三要素、分段函数、复合函数等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 函数的概念及其表示（讲义） 知识点1 函数的有关概念 1．函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值y的集合叫做函数的值域 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零； ②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 知识点2 两类常见函数 1．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 【考试题型1】求指数型函数的值域 【例1】（2025年·河南对口升学高考）函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数的值域，即可求解. 【解析】因为指数函数的值域是， 所以的值域是. 故答案为：. 【考试题型2】利用分段函数求复合函数的解析式 【例2】（2025年·河南对口升学高考）若函数，则 . 【答案】 【分析】分类讨论和的情况，将自变量代入对应的解析式，即可求解. 【解析】因为， 当时，，， 所以； 当时，，， 所以， 综上. 故答案为： 【考试题型3】结合一元二次不等式的解法求函数的定义域 【例3】（2024年·河南对口升学高考）求函数的定义域． 【答案】 【分析】根据算术平方根底数非负，且分母不为零求解. 【解析】解：要使函数有意义需满足，， 可化为，，得到 解得，. ∴函数的定义域为. 【考试题型4】利用已知解析式求函数的解析式 【例4】（2023年·河南对口升学高考）设函数，则 . 【答案】## 【分析】根据函数解析式直接得出答案. 【解析】因为函数， 所以. 故答案为：. 【考试题型5】求抽象函数的定义域 【例5】（2021年·河南对口升学高考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，，， 可得函数的定义域为， 故选：C. 题型考点一 求函数的定义域 1．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次方根的被开方数大于等于，计算即可. 【解析】因为函数是偶次根式，则被开方数， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 2．函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由被开方数大于等于0，分母不为0，即可求得定义域. 【解析】由解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 3．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数解析式有意义，需满足 解得:， 故选：C. 4．函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根号下大于等于零、分母不为零可求解 【解析】偶次根号下大于等于零，即，解得或； 分母不为零，即，解得； 综上或，即； 故选：D. 5．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【解析】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 6．若函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为，，即， 所以，即函数的定义域为，， 故选：A. 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数定义域求出自变量范围，再代入所求函数自变量解不等式即可解得. 【解析】因为函数的定义域为，即， 所以，令， 解得，所以函数的定义域为. 故选：A. 8．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得x的取值范围为：， 所以函数的定义域为. 故选：A. 题型考点二 求函数的值域 1．函数（为常数），且，则（       ） A． B．9 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用已知求出函数解析式，然后求值即可. 【解析】因为函数（为常数），且， 所以，；所以 ， 故选：B. 2．函数的定义域为，则其值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次将自变量代入，得到函数的值域. 【解析】∵，分别代入，得到， ， ， ， . 值域为． 故选：A. 3．已知函数的值域为，则函数的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知求得的范围，即可得到的范围. 【解析】因为函数的值域为，即， 所以， 所以， 即函数的值域为． 故选：A. 4．函数 的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意根据二次函数的单调性求解值域即可. 【解析】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为. 故选：D. 5．函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为，所以，，即， 所以值域为， 故答案为：． 6．函数的值域 . 【答案】 【解析】由在上单调递增， ∴在上单调递增， 而当时，； 当时，， ∴函数值域为， 故答案为：. 题型考点三 求函数的解析式 1．已知函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将的解析式中的替换成，从而得解. 【解析】因为， 所以. 故选：B. 2．已知，则函数的解析式为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 令，， 则， 故选：B. 3．已知，则的解析式为 （       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，利用换元法即可求解. 【解析】令，则， ∴， ∴. 故选：A. 4．已知是一次函数，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设一次函数， 则， 由得， 即，解得， ， 故选：A． 5．已知函数的定义域为，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令为，则， 与联立可解得，， 故选：D． 6．已知，求的解析式； 【答案】或 【解析】解：由于，所以， 由于时，；时，， 故的解析式是 （或)． 题型考点四 相同函数 1．下列各组函数中是同一个函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断是否为同一函数，一般考查两个方面：① 定义域相同；② 对应法则相同.只有两个方面都分别相同，才能称为同一函数. 【解析】对于A项，因函数的定义域为R，而函数的定义域为，故该组函数不是同一函数，A项错误； 对于B项，两函数的定义域相同，但对应法则不同，故该组函数也不是同一函数，B项错误； 对于C项，函数的定义域为，而函数的定义域为R，故该组函数不是同一函数，C项错误； 对于D项，两函数的定义域都是，且对应的法则相同，故该组函数是同一函数，D项正确. 故选：D. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（       ） ①和 ②和 ③和 ④和 A. ①② B. ①③ C.③④ D.①④ 【答案】C 【解析】只有当两个函数的定义域和解析式相同时，才表示同一函数，因为， 所以①②表示的不是同一函数，③④表示的是同一函数， 故选：C. 3．下列函数完全相同的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】判断每个选项给出的两个函数的定义域是否相同，以判断二者是否为同一函数即可求解. 【解析】对于选项A，的定义域是R，的定义域是； 对于选项B，和的定义域均为R； 对于选项C，的定义域是R，的定义域是； 对于选项D，的定义域是，的定义域是R. 故选：B. 4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数的定义域和对应法则进行判断. 【解析】选项A中，两个函数的定义域和对应法则都是相同的，所以他们是同一函数； 选项B中，函数的定义域为R，函数的定义域为，两个函数定义域不一样，因此它们表示不同的函数； 选项C中，函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不一样，因此它们表示不同的函数； 选项D中，函数的定义域为，函数的定义域为,两个函数定义域不一样，因此它们表示不同的函数. 故选：A 5．下列每组函数是同一函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相同函数的定义逐项判断即可得解. 【解析】选项，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故错误； 选项，函数的值域为，的值域为，两个函数的值域不相同，不是同一函数，故错误； 选项，函数的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，不是同一函数，故错误； 选项，，，函数和的定义域、值域、对应法则都相同，属于同一函数，故正确； 故选：. 题型考点五 分段、复合函数 1． 已知，则的值为（       ） A．7 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】因为，将带入分段函数解析式中即可得解. 【解析】已知，因为，所以. 故选：. 2．已知函数则（       ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】由分段函数求函数值即可得解. 【解析】由分段函数， 可知， 所以， 故选：A． 3．设，则等于（       ） A．1 B．0 C．2 D．－1 【答案】C 【分析】先计算函数，再结合与0的关系，计算函数. 【解析】由分段函数，可知， 又由于，所以. 故选：C. 4．已知函数，部分与的对应关系如表：则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由表知，， 则， 故选：D． 5．已知函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入函数解析式中求出的值，再把代入函数解析式，即可求解. 【解析】因为， 所以. 故选：B 6．已知函数则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，， 则， 所以， 故选：B 7．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（       ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题图可知，由题表可知， 故， 故选：D． 8．已知函数，则 . 【答案】3 【解析】，，即， ． 故答案为：3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$