专题02 三角函数与解三角形、函数与导数（八大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（重庆专用）

专题02 三角函数与解三角形、函数与导数 一、指对幂函数 1．（2025·重庆·一模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·一模）已知正实数满足，则 . 4．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 二、函数及其性质 5．（2025·重庆·一模）已知函数 满足: ① 是偶函数; ②在 上为增函数. 若 ， 且 ，则 与 的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（2025·重庆·一模）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 三、切线问题 7．（2024·安徽·模拟预测）若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为 ． 四、三角函数 8．（2025·重庆·一模）（多选）已知函数 的最小正周期为 ，则（    ） A． B． C．的单调递增区间为 D．将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则 9．（2025·重庆·一模）某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 10．（2025·重庆·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·重庆·一模）（多选）声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（   ） A． B． C． D． 五、零点与方程的根 12．（2025·重庆·一模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值集合为 ． 13．（2025·重庆·一模）已知函数，，则方程的所有实数解的和是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 六、函数新定义问题 14．（2025·重庆·一模）定义双曲正弦函数：.若双曲正弦函数在区间上的值域与在区间上的值域相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·重庆·一模）（多选）对于任意两个正数，，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·重庆·一模）（多选）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（   ） A．函数 不是周期函数； B．函数 的值域是 C．函数 的图象关于 对称： D．方程 只有一个实数根； 七、解三角形 17．（2025·重庆·一模）已知的角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．1 D． 18．（2025·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·重庆·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（2025·重庆·一模）在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . (1)求的值; (2)设 ，求的值. 八、导数及其应用解答题 21．（2025·重庆·一模）已知函数. (1)若时，求曲线在处的切线方程； (2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值. 22．（2025·重庆·一模）已知函数 在 处的切线方程为 ，其中 为常数，为自然对数的底数. (1)试确定 的值; (2)求函数 的单调区间; (3)若对任意 ，不等式 恒成立，求的取值范围. 23．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 24．（2025·重庆·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求． 25．（2025·重庆·一模）已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角函数与解三角形、函数与导数 一、指对幂函数 1．（2025·重庆·一模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的单调性求解对数不等式得集合，再求即得. 【详解】由可得，故， 又，则. 故选：C. 2．（2025·重庆·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过举反例结合函数的性质逐项判断可确定选项. 【详解】A.设，定义域为， 由得，，故在定义域内不是减函数，选项A错误. B.设，定义域为且，故为奇函数， 由是上的增函数可得是上的减函数，选项B正确. C.设，定义域为， 由得，，故在定义域内不是减函数，选项C错误. D.函数定义域为，定义域不关于原点对称，故该函数不是奇函数，选项D错误. 故选：B. 3．（2025·重庆·一模）已知正实数满足，则 . 【答案】/ 【分析】对等式两边取对数后构造关于的方程，求出其解后可求的值. 【详解】因为，易知且，故， 故，即， 故， 故答案为：. 4．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 【答案】 【分析】设至少经过个小时后才能驾驶，由题意有，两边同时取对数得，然后求解即可. 【详解】设至少经过个小时后才能驾驶，则有， 即，两边同时取对数得，即， 因为，所以， 所以，即至少经过个小时才能驾驶. 故答案为：. 二、函数及其性质 5．（2025·重庆·一模）已知函数 满足: ① 是偶函数; ②在 上为增函数. 若 ， 且 ，则 与 的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据是偶函数，可得函数图象关于对称，则在 上为减函数，讨论两种情况，分别利用单调性比较大小，即可得答案. 【详解】不妨设， 由是偶函数，则，即， 即函数 的图象关于对称，且， 因为在上为增函数，所以在上为减函数， 因为，且，所以， 若则，则，即； 若因为，则，所以； 综上可得：. 故选：A. 6．（2025·重庆·一模）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，，且，， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，由可得， 整理可得， 当时，则有，即， 当时，，也满足， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为是定义域为的奇函数， 且，所以，函数是周期为的周期函数，C对； 对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数， 则，，，， ，所以，， 因为，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 三、切线问题 7．（2024·安徽·模拟预测）若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出过点的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线与曲线有两个交点,借助导数研究单调性和最值，结合图像可解. 【详解】曲线即曲线， 在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 又切线过点，则. 令，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以． 由题意知，直线与曲线有两个交点，则， 当时，，当时，，故. 故答案为：. 四、三角函数 8．（2025·重庆·一模）（多选）已知函数 的最小正周期为 ，则（    ） A． B． C．的单调递增区间为 D．将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则 【答案】ACD 【分析】由最小正周期为，求得，即可判断选项B；计算即可判断选项A；然后利用正弦函数的单调性求解即可判断选项C；由图象的平移伸缩变换求解函数的解析式即可判断选项D. 【详解】函数 的最小正周期为 ， 所以，解得，故B错误； 所以，所以，故A正确； 由，得， 所以的单调递增区间为，故C正确； 将函数的图象向右平移个单位后，得到， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得到，故D正确； 故选：ACD. 9．（2025·重庆·一模）某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 【答案】A 【分析】由题意可得，可求得，进而根据已知可得，，可求得解析式，进而可求得时的函数值，可得结论. 【详解】由题意可知，直线是曲线的一条对称轴， 所以，，即，.又， 即，所以. 因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以①. 又当时，，所以，所以②. 由①②解得，， 所以，则当时，℃. 故选：A. 10．（2025·重庆·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数基本关系求出的值，再根据二倍角公式求出即可. 【详解】因为，所以. 又因为. 故选：B. 11．（2025·重庆·一模）（多选）声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合诱导公式可得出合乎题意的模型. 【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，， 或，， AB选项满足题意， 故选：AB. 五、零点与方程的根 12．（2025·重庆·一模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据函数的零点个数分三种情况分别讨论函数零点，再结合函数图象求出参数范围. 【详解】由题可知：函数有且仅有一个正零点， 又 当时，不妨令， 则， 所以． 当时，， 由，，所以． 此时函数没有零点； 当时，， 令，， ， 当时，，，所以， 即在上恒成立， 则在单调递增， 当时，，，则， 又，所以在上的值域为 当时，， 令，， 由在上单调递减，在上单调递减， 所以也在上单调递减， 当时，，，则， 又，所以在上的值域为 若只有一个正零点， 即与在有且仅有一个交点， 由上述分析可得的取值范围为： 或． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数的图象，数形结合得出参数范围. 13．（2025·重庆·一模）已知函数，，则方程的所有实数解的和是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】令，得的图象关于点对称，利用导数知在上有且只有一个零点，则在上有且只有一个零点，故. 【详解】令，其定义域为， 令，显然是奇函数， 则其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称. 先讨论在上方程的所有实数解的情况，即函数的零点情况， 因为，，， 所以，所以在上单调递减， 又时，，， 所以在上有且只有一个零点， 又的图象关于点对称，所以在上有且只有一个零点， 且，即方程的所有实数解的和是2. 故选：C 【点睛】关键点点睛：令，得的图象关于点对称，利用对称性求零点和. 六、函数新定义问题 14．（2025·重庆·一模）定义双曲正弦函数：.若双曲正弦函数在区间上的值域与在区间上的值域相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析两个函数的单调性，求出它们的值域，再根据函数的值域相同，得到一个方程组，进而将问题转化为方程对应的函数有两个不同的零点问题求解. 【详解】因为，所以在上为增函数， 所以在上的值域为. 又在也是增函数， 所以在上的值域为. 因为两个函数的值域相同，所以. 即方程有两个不同的解. 因为方程. 当即时，方程成立，即是方程的一个解； 则当即时，只有一个解， 因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减. 因为且，所以且， 所以当且时，方程有且只有一个非0解. 综上：且. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据两个函数的值域相同，得到方程组，进而将问题转化为方程有两个不同的解. 15．（2025·重庆·一模）（多选）对于任意两个正数，，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据所给新定义运算即可判断AB，根据曲边梯形与梯形面积大小判断C，取特殊值判断D. 【详解】由题意，所以， 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，也成立； 综上所述：. 对于选项A：，， 所以，故A正确； 对于选项B：， 且，所以，故B正确； 对于选项C：如图， 因为，所以， 即，故C正确. 对于选项D：取，则，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用的定义，分类讨论求得，从而得解. 16．（2025·重庆·一模）（多选）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（   ） A．函数 不是周期函数； B．函数 的值域是 C．函数 的图象关于 对称： D．方程 只有一个实数根； 【答案】ABD 【分析】利用偶函数性质，只需要研究部分，再利用数形结合，就可以对各选项判断. 【详解】函数 的定义域为 ， 因为 ，所以 为偶函数， 当 时，， 则 当时，， 当时，， 所以函数 的图象如图所示 由 可知，在 内，， 当 时，， 当 ，且 时，， 当或，时，， 因为 ，所以 为偶函数， 则函数 的图象如图所示： 由函数 的图象得到 不是周期函数，故选项 正确； 所以函数 的值域是 ，故选项 正确； 由 ， 所以函数 的图象不关于 对称，故选项 不正确； 对于方程 ，当 时，方程有一个实数根， 当 时，，此时 ，方程没有实数根， 当 时，，此时 ，方程没有实数根， 所以方程 只有一个实数根，故 正确. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：就是利用对函数的的图象研究，可得到的图象，然后通过数形结合来对各选项判断. 七、解三角形 17．（2025·重庆·一模）已知的角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 故选：D. 18．（2025·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 19．（2025·重庆·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得，然后结合和差公式将所求化简为关于的表达式，利用基本不等式可得. 【详解】由题知，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 又， 所以，得， 所以最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为的表达式，即可利用基本不等式求解. 20．（2025·重庆·一模）在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . (1)求的值; (2)设 ，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出的值，再利用正弦定理得进行化简，然后得到相应的值； （2）由得到，再由余弦定理，得到，从而得到. 【详解】（1）由，且， 则， 又因为，由正弦定理得， 所以 （2）因为，得， 所以，即 由余弦定理得： 所以得， 所以， 所以. 八、导数及其应用解答题 21．（2025·重庆·一模）已知函数. (1)若时，求曲线在处的切线方程； (2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导数确定函数的单调性，即可求解，构造函数求导即可求解. 【详解】（1）当时，且， 所以， 故切线方程为，即， （2）， 由，存在，使得，即， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 故， ， 故在单调递减，又， 故 22．（2025·重庆·一模）已知函数 在 处的切线方程为 ，其中 为常数，为自然对数的底数. (1)试确定 的值; (2)求函数 的单调区间; (3)若对任意 ，不等式 恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)减区间为，增区间为 (3) 【分析】（1）求出函数的导数，根据，以及切点处曲线的函数值与切线的函数值相等列方程组求解即可. （2）由（1）求出函数解析式，判断导函数符号，求出函数的单调区间即可. （3）结合（2）求出的最小值，再解一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 因为函数 在 处的切线方程为 ， 所以， 可得，化为①， 由，可得②， 由①②解得， 所以，. （2）由（1）知（）， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以函数的减区间为，增区间为． （3）由（1）， 由（2）知，在处取得最小值， 因，恒成立，则，解得或， 所以的取值范围为． 23．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， (2) 【分析】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，利用条件概率公式可求得的值； （ii）由题意可知，的取值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【详解】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件， 则． （ii）根据题意可知的取值可能为、、、． 则，， ，． 则的分布列为： 所以． （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 24．（2025·重庆·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）由单调性与导数符号的关系列出不等式即可求解； 【详解】（1）的定义域为． 当时 所以 在处的切线方程为． （2）令． 由题意，当时 当时 只需 即 解得： 因为为整数，所以． 25．（2025·重庆·一模）已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由导数确定单调性得极值点； （2）由（1）不等式转化为，引入函数令，由导数求得最小值后可证． 【详解】（1）由，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以为的极大值点，即． （2）由（1）知，， 要证，只需证，即， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即，所以． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$