专题01 集合与常用逻辑用语、复数与平面向量、基本不等式及概率统计（八大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（重庆专用）

专题01 集合与常用逻辑用语、复数与平面向量、基本不等式及概率统计 一、集合与常用逻辑用语 1．（2025·重庆·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·一模）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·一模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 二、复数 7．（2025·重庆·一模）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2025·重庆·一模）若，则（   ） A．1 B． C． D．3 9．（2025·重庆·一模）已知，若复数，则 ． 10．（2025·重庆·一模）若(为实数，为虚数单位)，则 . 三、平面向量 11．（2025·重庆·一模）已知向量，，且，则实数（   ） A． B． C．5 D．10 12．（2025·重庆·一模）已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 13．（2025·重庆·一模）已知为坐标原点，点，将绕点逆时针方向旋转得到，则的模等于（   ） A．2 B． C． D．4 14．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·重庆·一模）在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . (1)求的值; (2)设 ，求的值. 四、基本不等式 16．（2025·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 17．（2025·重庆·一模）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为 . 18．（2025·重庆·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 五、统计及数字特征 19．（2025·重庆·一模）有 4 位同学各掷骰子 5 次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数 1的是（    ） A．平均数为3 ，中位数为4 B．中位数为3 ，众数为5 C．平均数为4 ，方差为1.2 D．中位数为4 ，方差为1.6 20．（2025·重庆·一模）（多选）某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：      研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（  ） A．若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B．若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C．若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D．若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 六、概率 21．（2025·重庆·一模）已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 七、回归方程 22．（2025·重庆·一模）已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数r= ，其决定系数= ． 23．（2025·重庆·一模）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（    ） A． B．0.4 C． D．0.2 八、概率统计解答题 24．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 25．（2025·重庆·一模）某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了两个套餐服务，顾客可自由选择两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 6 销售量（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：. 参考公式：. (1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求关于的经验回归方程； (2)若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； (3)请根据下列定义，解决下列问题： （i）定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列收敛于. （ii）运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 26．（2025·重庆·一模）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.    (1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； (2)求的分布列和数学期望； (3)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率. 27．（2025·重庆·一模）在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10，接下来比赛规则如下: 两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 1 分，直到有一方得分超过对方 2 分时即可获得该局的胜利. 已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 . 比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 . (1)求甲以 的比分赢得比赛的概率; (2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 0.6，求的范围; (3)若 ，设甲运动员在第 球比赛中获胜的概率为 ，数列 满足 ，求证: . （参考知识: 当 时，若 ，则 .） 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语、复数与平面向量、基本不等式及概率统计 一、集合与常用逻辑用语 1．（2025·重庆·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义即可得解. 【详解】因为集合，因此. 故选：B. 2．（2025·重庆·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】解不等式，得或，因此或， 所以. 故选：B 3．（2025·重庆·一模）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，，利用交集和补集求出答案. 【详解】， 令得，令得，令得， 故， ， 所以. 故选：D 4．（2025·重庆·一模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的单调性求解对数不等式得集合，再求即得. 【详解】由可得，故， 又，则. 故选：C. 5．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的解集为可得，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为，所以，所以， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件. 故选：. 6．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，令，显然有，但，A不是； 对于B，当，时，，B不是； 对于C，，显然有，但，C不是； 对于D，当，则，即， 反过来，令，不等式成立，而， D是. 故选：D 二、复数 7．（2025·重庆·一模）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 8．（2025·重庆·一模）若，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】将原式变形，由复数的除法运算可得，再由复数的模的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：. 9．（2025·重庆·一模）已知，若复数，则 ． 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再计算其模. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 10．（2025·重庆·一模）若(为实数，为虚数单位)，则 . 【答案】3 【详解】因为，所以.又因为都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以. 【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查. 三、平面向量 11．（2025·重庆·一模）已知向量，，且，则实数（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得的值. 【详解】由已知可得：， 因为，所以有，解之得：. 故选：C. 12．（2025·重庆·一模）已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】由可得，即，解之即可求解. 【详解】由，等式两边同时平方得， 又的夹角为，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以. 故选：B. 13．（2025·重庆·一模）已知为坐标原点，点，将绕点逆时针方向旋转得到，则的模等于（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】求出，根据，结合数量积的运算法则求解即可. 【详解】因为点，绕点逆时针方向旋转得到， 所以， 故选：A.. 14．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 15．（2025·重庆·一模）在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . (1)求的值; (2)设 ，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出的值，再利用正弦定理得进行化简，然后得到相应的值； （2）由得到，再由余弦定理，得到，从而得到. 【详解】（1）由，且， 则， 又因为，由正弦定理得， 所以 （2）因为，得， 所以，即 由余弦定理得： 所以得， 所以， 所以. 四、基本不等式 16．（2025·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】    设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 17．（2025·重庆·一模）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据等比数列的性质整理可得公比，再利用通项公式代入中，可得出与的关系，最后结合基本不等式即可求解。 【详解】由题，因为，， 所以， 因为各项均为正数，所以，则，解得或（舍去）， 又，则， 所以，即，则， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为. 故答案为： 18．（2025·重庆·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得，然后结合和差公式将所求化简为关于的表达式，利用基本不等式可得. 【详解】由题知，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 又， 所以，得， 所以最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为的表达式，即可利用基本不等式求解. 五、统计及数字特征 19．（2025·重庆·一模）有 4 位同学各掷骰子 5 次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数 1的是（    ） A．平均数为3 ，中位数为4 B．中位数为3 ，众数为5 C．平均数为4 ，方差为1.2 D．中位数为4 ，方差为1.6 【答案】C 【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可 【详解】对于A，由于平均数为3，中位数为4，所以这5个数从小到大排列后，第3次是4，当第3,4,5次为4,4,4时，总和为12，第1,2次总和为3，故这5个数可以是1,2,4,4,4， 故A错误； 对于B，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3次是3，则第4和5次为5，所以这5个数可以是1,2,3,5,5，所以B错误； 对于C，由于平均数为4，方差为1.2，则5次总和为20，， 若有一个数为1，取，则，不合题意，则一定没有出现点数1，故C正确； 对于D，由中位数为4 ，方差为1.6，所以这5个数从小到大排列后，第3次是4，平均数最小值为2.8， ， ， 若有一个数为1，取，， 若取平均数为3，则， ，则符合要求，这5个数为1,2,4,4,4，故D错误， 故选：C. 20．（2025·重庆·一模）（多选）某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：      研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（  ） A．若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B．若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C．若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D．若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 【答案】AD 【分析】选项A,B利用分层抽样即可判断，选项C,D则利用简单随机抽样判断即可. 【详解】对于选项A：按学科分层抽样，则数学学科抽样比为，则数学学科抽取人数为人，故A正确； 对于选项B：按性别分层抽样，男性抽样比为，则男性科研人员被抽到的人数为人，故选项B错误. 对于选项C：若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定被抽取10人，选项C错误； 对于选项D: 若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学学科科研人员，故选项D正确； 故选：AD 六、概率 21．（2025·重庆·一模）已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 【答案】 【分析】求出所有函数的个数，再求出增函数的个数，利用古典概型的概率公式可求对应的概率. 【详解】若函数的定义域为，值域为， 则不同的函数的个数为， 其中增函数共有3个： （1）； （2）； （3）； 故所求概率为， 故答案为：. 七、回归方程 22．（2025·重庆·一模）已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数r= ，其决定系数= ． 【答案】 1 【分析】由所有样本点都在一条直线上，结合相关系数的意义，可得出答案. 【详解】由所有样本点都在直线上， 又， 由题易知，． 故答案为： 23．（2025·重庆·一模）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（    ） A． B．0.4 C． D．0.2 【答案】A 【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出. 【详解】因为，两边取对数可得， 又， 依题意回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得，所以. 故选：A. 八、概率统计解答题 24．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， (2) 【分析】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，利用条件概率公式可求得的值； （ii）由题意可知，的取值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【详解】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件， 则． （ii）根据题意可知的取值可能为、、、． 则，， ，． 则的分布列为： 所以． （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 25．（2025·重庆·一模）某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了两个套餐服务，顾客可自由选择两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 6 销售量（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：. 参考公式：. (1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求关于的经验回归方程； (2)若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； (3)请根据下列定义，解决下列问题： （i）定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列收敛于. （ii）运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到经验回归方程； （2）由题意可知时，，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）分为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【详解】（1）由题意，，， ， ， 所以关于的经验回归方程为． （2）由题意，可知，， 当时，，即， ． 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以，即． （3）由第二问可知，， 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为,最小值为． 对于任意，总存在正整数，其中表示不超过的最大整数， 当时，， 所以数列收敛于． 【点睛】关键点点睛：时，，即可根据， 证明时，数列为各项都为1的常数列，进而可求解，对分奇偶，结合单调性求解收敛. 26．（2025·重庆·一模）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.    (1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； (2)求的分布列和数学期望； (3)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率. 【答案】(1)或 (2)分布列见解析，1 (3) 【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得. （2）根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望. （3）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案. 【详解】（1）设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 故，解得或. （2）由题知， 时分3类情形， ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态； ②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态， 通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态， 所以， 同理， ， 所以所求的分布列为 X 0 1 2 P 所以所求数学期望. （3）设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”， 则， ， 则. 故. 27．（2025·重庆·一模）在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10，接下来比赛规则如下: 两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 1 分，直到有一方得分超过对方 2 分时即可获得该局的胜利. 已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 . 比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 . (1)求甲以 的比分赢得比赛的概率; (2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 0.6，求的范围; (3)若 ，设甲运动员在第 球比赛中获胜的概率为 ，数列 满足 ，求证: . （参考知识: 当 时，若 ，则 .） 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据条件概率公式即可得到答案； （2）记甲运动员在第球比赛中获胜的概率为，可推得，再对分类讨论即得； （3）根据（2）得到，则，化简计算，最后利用累加法和等比数列求和公式即可得证. 【详解】（1）记第一球比赛甲运动员获胜的事件为，第二球比赛甲运动员获胜的事件为， 由题意知：，且， ∴. 即甲以 的比分赢得比赛的概率为. （2）记甲运动员在第球比赛中获胜的概率为，则 ， 则, 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 则有，, ①当时，，又，故是一个递减数列， 当时，，依题需使，即与条件矛盾,舍去； ②当时，，不合题意； ③当时，，又，故是一个递增数列， 依题意，只需，即，解得，故； ④当时，，符合题意； ⑤当时，，又，因此是一个摆动数列， 若为偶数，则，； 若为奇数，则是一个递增数列，只需，而， 因，于是， 得：，解得，故. 综上：时，甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6. （3）当时，由（2）可得，，   则， ， ， ， ， 故：. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到，再对分类讨论. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$