精品解析：辽宁省丹东市2023届高三二模数学试题

丹东市2023届高三总复习质量测试（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．本试卷共22题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或， 3. 直线与直线平行，则（ ） A. -2 B. 1 C. -2或1 D. -1或2 4. 古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的汲水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”．在右图所示的平面直角坐标系xOy中，点A匀速离开坐标系原点O，同时又以固定的角速度绕坐标系原点O逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线与坐标轴交点依次为A1（-1，0），A2（0，-2），A3（3，0），A4（0，4），A5（-5，0），…按此规律继续，若四边形的面积为220，则n=（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数满足，当0≤x<1时，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数由关系式确定，函数，则（ ） A. 为增函数 B. 为奇函数 C. 值域为 D. 函数没有正零点 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，O为坐标原点，A为对应的点，则（ ） A. z的虚部为i B. C. D. 10. 如图，玻璃制成的长方体容器内部灌进一多半水后封闭，仅让底面棱BC位于水平地面上，将容器以BC为轴进行旋转，水面形成四边形EFGH，忽略容器壁厚，则（ ） A 始终与水面EFGH平行 B. 四边形EFGH面积不变 C. 有水部分组成的几何体不可能是三棱柱 D. AE+BF为定值 11. 设，为抛物线C：上两点，F为C的焦点，直线 经过点，则（ ） A. 若，则 B. C在点M处的切线经过点 C. 为钝角 D. 若，则 12. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若集合，，则真子集个数为_________． 14. 如图，电商平台售卖木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把该升斗看作一个正四棱台，该四棱台侧棱与底面成角的余弦值为_______________． 15. 等比数列{an}前6项中的两项分别为1，2，记事件A：a3<0，事件B：{an}既不是递增数列也不是递减数列，则____________． 16. 对20进行“乘以2”或“减去3”的一种运算，得到的结果再进行“乘以2”或“减去3”的一种运算，…，一直进行这样运算，每进行一种运算记作一次运算，已知运算n次后，得到结果为49，则n的最小值为____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 记为数列前项和，已知，． （1）求{an}的通项公式； （2）证明：． 18. 已知函数，． （1）若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图； （2）若在上单调递减，求． 19. 如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． （1）证明：CD⊥AE； （2）点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 20. 已知为函数的极值点． （1）求； （2）证明：当时，． 21. 某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲乙两地一些小白鼠体内，小白鼠血样某项指标X值满足12.2≤X≤21.8时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层抽样的方法抽取了210只进行X值检测，其中甲地120只小白鼠的X值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的X值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的X值平均数与方差分别为，（与均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设． （1）求，； （2）小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的N只小白鼠中有102只产生抗体，试估计N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作为N的估计值）； （3）对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X值进行分组检测，若每组n（n≤50）只小白鼠混合血样的X值在特定区间内，就认为这n只小白鼠全部产生抗体，否则要对n只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，n只小白鼠混合血样的检测费用为n+9元．试给出n的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）． 附：若，则，． 参考数据：，，，． 22. 已知椭圆的离心率为，C上点M到C外点的距离最小值为2． （1）求C方程； （2）设A，B为C的左右顶点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线与的斜率之积为．记和的面积分别为S1，S2，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丹东市2023届高三总复习质量测试（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．本试卷共22题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示即可求得答案. 【详解】由题意可得，故， 故选：B 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或， 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式即可求解. 【详解】不等式等价于，等价于，解集为． 故选：C 3. 直线与直线平行，则（ ） A. -2 B. 1 C. -2或1 D. -1或2 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行即可得出的值. 【详解】由题意， 直线与直线平行， ∴由，得或． 当时，，，． 当时，，，与重合． 故选：A. 4. 古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的汲水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”．在右图所示的平面直角坐标系xOy中，点A匀速离开坐标系原点O，同时又以固定的角速度绕坐标系原点O逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线与坐标轴交点依次为A1（-1，0），A2（0，-2），A3（3，0），A4（0，4），A5（-5，0），…按此规律继续，若四边形的面积为220，则n=（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据推理得出四边形面积，再由方程求解即可. 【详解】如图，凸四边形对角线垂直，故其面积等于 ． 由得或，因为，所以． 故选：C. 5. 中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求得，再由同角基本关系式求出. 【详解】由正弦定理，得，因为BC>AC，所以． 故选：D 6. 设函数满足，当0≤x<1时，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先证明函数的周期为2，再化简，再利用函数的周期和已知化简得解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以函数的周期为2. 因为， 所以. 故选：A． 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简已知得到，其中．再求出即得解. 【详解】由， 得． 因为，所以， 所以， 所以， 于是，其中． 所以. 所以 从而． 故选：D 8. 设函数由关系式确定，函数，则（ ） A. 为增函数 B. 为奇函数 C. 值域为 D. 函数没有正零点 【答案】D 【解析】 【分析】化简已知函数并作出图像，即可得出结论 【详解】由题意， 在函数中，， 可知画以下曲线： ，，． 这些曲线合并组成图象，是两段以为渐近线的双曲线和一段圆弧构成． 因为作图象在轴右侧部分包括点关于x轴对称， 得到曲线，再作关于坐标原点对称，去掉点得到曲线，与合并组成图象． 由图象可知，不是奇函数，不是增函数，值域为R． 当时，图象与图象没有公共点，从而函数没有正零点． 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，O为坐标原点，A为对应点，则（ ） A. z虚部为i B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的虚部概念判断A；根据共轭复数的概念判断B；根据复数模的计算判断C；根据复数的乘方以及复数的几何意义可判断D. 【详解】由题意，z的虚部为1，选项A错误． ，选项B正确． ，则， 故，选项C正确． 由题意知，故，则，而，，选项D错误， 故选：BC 10. 如图，玻璃制成的长方体容器内部灌进一多半水后封闭，仅让底面棱BC位于水平地面上，将容器以BC为轴进行旋转，水面形成四边形EFGH，忽略容器壁厚，则（ ） A. 始终与水面EFGH平行 B. 四边形EFGH面积不变 C. 有水部分组成的几何体不可能是三棱柱 D. AE+BF为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】证明水面EFGH，所以A1D1始终与水面平行，故选项A正确；四边形是矩形，EH=FG长度不变，但是EF改变，水面所在四边形EFGH面积改变，选项B错误；因为水的体积大于一半容器容积，所以不可能是三棱柱，选项C正确；当且仅当E，F分别在棱AA1，BB1上时，AE+BF是定值，所以选项D错误． 【详解】可知水面EFGH，水面EFGH，所以水面EFGH，所以A1D1始终与水面平行，故选项A正确． 由于平面，所以, 所以，又，平面截两平行平面和，所以，所以四边形是矩形，EH=FG长度不变，但是EF改变，水面所在四边形EFGH面积改变，选项B错误． 有水部分组成的几何体为棱柱，因为水的体积大于一半容器容积，所以不可能是三棱柱，选项C正确． 有水部分的棱柱体积不变，高BC也不变，所以底面面积不变，所以当且仅当E，F分别在棱AA1，BB1上时，AE+BF是定值，当E在上，在上时，是定值，即是定值，即是定值，而不一定和相等，所以此时AE+BF不是定值.所以选项D错误． 故选：AC 11. 设，为抛物线C：上两点，F为C的焦点，直线 经过点，则（ ） A. 若，则 B. C在点M处的切线经过点 C. 为钝角 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设的方程为，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，根据抛物线焦半径公式可判断A；利用导数的几何意义可判断B；利用向量的坐标运算结合数量积的坐标表示可判断C；利用，结合根与系数关系式化简可判断D. 【详解】由题意知不垂直于x轴，可设， 联立得 ， 所以． 因为，若，则， 而，故，则，选项A正确． 由知C在点M处的切线方程为，即， 经过点，选项B正确． 由得 ， 而M，N，F不共线，当时，，则为锐角， 当时，，即为直角， 当时，，即为钝角，选项C错误． ， 由，得，即，即，选项D正确， 故选：ABD 12. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数判断出函数的单调性，并根据求得函数的对称中心，即可判断A；比较的大小，结合函数单调性可判断B；当时，设，判断在上单调递增，即可判断C；结合函数解析式可推出，从而而等价于，比较可得，结合函数单调性即可判断D. 【详解】由，令，则或，令，则， 可知在单调递增，在单调递减，在单调递增， 又， 故，即图象关于点中心对称． 由对称性得，从而等价于， 因为，结合函数单调性可知，故选项A错误． 因为，而，所以， 因此，选项B正确． 当时，设，则在上单调递增， 所以，即， 因为，所以，选项C正确． 当时，，所以， 从而， 而等价于， 因为，所以，即，故D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查三次函数的性质的应用，比如其单调性以及对称性，进而比较大小，因此解答的关键就是利用导数判断函数的单调性，以及利用，判断函数的对称中心. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若集合，，则真子集的个数为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】首先根据交集含义得，再根据真子集个数结论即可得到答案. 【详解】，则真子集的个数为． 故答案为：7. 14. 如图，电商平台售卖的木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把该升斗看作一个正四棱台，该四棱台侧棱与底面成角的余弦值为_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，先证明该四棱台侧棱与底面成角为，再利用解三角形求解. 【详解】如图所示，在正四棱台中，分别是上下底面的中心，过点作，垂足为，由于，所以底面. 所以该四棱台侧棱与底面成角为. 由题得. 所以 所以该四棱台侧棱与底面成角的余弦值为． 故答案为： 15. 等比数列{an}前6项中的两项分别为1，2，记事件A：a3<0，事件B：{an}既不是递增数列也不是递减数列，则____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】分析得到若等比数列{an}既不是递增数列也不是递减数列，则1，2只能是{an}的第1，3，5项或第2，4，6项中的两项．有种可能．若a3<0，共有种可能．再利用条件概率公式求解. 【详解】若等比数列{an}既不是递增数列也不是递减数列，则公比为负数． 因为{an}前6项中的两项分别为1，2，所以1，2只能是{an}的第1，3，5项或第2，4，6项中的两项． 事件A∩B：若a3<0，则{an}的第1，3，5为负，第2，4，6项为正，共有种可能． 事件B：1，2是{an}第1，3，5项或第2，4，6项中的两项，有种可能． 所以． 故答案为： 16. 对20进行“乘以2”或“减去3”的一种运算，得到的结果再进行“乘以2”或“减去3”的一种运算，…，一直进行这样运算，每进行一种运算记作一次运算，已知运算n次后，得到结果为49，则n的最小值为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意可得至少要进行一次“乘以2”的运算，再按“乘以2”的运算次数分类讨论、推理判断作答. 【详解】依题意，对20不断进行“乘以2”或“减去3”的运算，由于，则至少要进行一次“乘以2”的运算， ①若一共只有1次“乘以2”的运算， 设做了k次“减去3”的运算后，再“乘以2”，再做了t次“减去3”的运算后， 得数，即，无非负整数解； ②若一共只有2次“乘以2”运算， 设做了k次“减去3”的运算后，再“乘以2”，再做了t次“减去3”的运算后，再“乘以2”， 再做了m次“减去3”的运算后， 得数，即，无整数解； ③若一共只有3次“乘以2”的运算， 设做了k次“减去3”的运算后，再“乘以2”，再做了t次“减去3”的运算后，再“乘以2”， 再做了m次“减去3”的运算后，再“乘以2”， 再做了s次“减去3”的运算后， 得数，即，， 当时，，解得或或 ，此时， 当时，，，， 当时，，， 因此的最小值为6，即至少运算9次，该运算为； ④若一共只有4次或4次以上“乘以2”的运算，“减去3”的运算次数显然不止5次，总运算次数不止9次， 所以至少运算9次，即n的最小值为9. 故答案为：9 【点睛】思路点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 记为数列的前项和，已知，． （1）求{an}的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合数列前项和与第项的关系进行求解即可； （2）根据等差数列的单调性进行求解证明即可. 【小问1详解】 当时， 由，两式相减，得 ．所以数列从第三项起，每一项与前一项的差为， 因为，所以， 所以当时，，显然不适合， 故； 【小问2详解】 因为，，数列从第三项起，每一项与前一项的差为， 所以当时，数列是单调递减数列， 当，所以当时，有最大值， 最大值为，所以. 18. 已知函数，． （1）若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图； （2）若在上单调递减，求． 【答案】（1）图象见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据五点法作图，列出表格，描点连线即可； （2）解法1：根据单调性知，解出的范围，根据范围有，再根据的范围得，最终确定的值； 解法2：根据和范围得，从而有，列出不等式组，用表示出的范围，最后求出值即可得到值. 【小问1详解】 ，由，得． 列表如下： 0 2 0 0 描点连线，得f（x）在[0，π）内的图象简图： 【小问2详解】 解法1： 由f（x）在上是减函数知，因为，所以代入解得． 因为，，所以． 由得，， 由题意只能，从而． 解法2：因为，，所以． 由题设知，， 从而 解得． 因为，所以 故，因为，所以，于是． 19. 如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． （1）证明：CD⊥AE； （2）点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直进而得线线垂直，由二面角定义可得，进而根据中点得线线垂直即可求， （2）由线面平行的性质可得线线平行，由线线角的几何法可利用三角形的边角关系求解，或者建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 （1）因为平面平面，且两平面交线为,，平面 所以平面，所以，是二面角的平面角，故 ． 连接，E为棱的中点，则，从而． 又，，平面AED，所以平面，平面,因此． 【小问2详解】 解法1：设，则，所以． 连交于点，连接交于点G，连．因为平面，平面AEC,平面AEC平面BDF=OG 所以，因为为中点， 所以G为中点，故．且直线与所成角等于直线与所成角． 在中，，因为， 所以． 因此直线AE与DF所成角的余弦值为． 解法2；设，则，所以． 取中点为，连接交于点，则． 连接交于点，连，因为平面，平面AGE，平面AGE平面BDF=IH，所以． 与所成角等于直线与所成角． 正方形中，，，所以，故． 在中，，， 由余弦定理．在中，． 因此直线与所成角的余弦值为． 解法3:由（1）知平面，以为坐标原点，为x轴正方向，为2个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系． 由（1）知，得，． 则，，，． 由，得． 因为平面BDF，所以存在唯一的，， 使得， 故，解得， 从而． 所以直线与所成角的余弦值为． 20. 已知为函数的极值点． （1）求； （2）证明：当时，． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再检验即可； （2）设，求出函数的导函数，即可得到，再由零点存在性定理得到存在唯一，使，即可得到的单调性，再结合特殊值，即可证明. 【小问1详解】 定义域为，， 由，解得， 若时，则， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意，因此． 【小问2详解】 设，则，又， 因为，，所以存在唯一，使， 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 由得，所以， 因此当时，，而， 于是当时，． 21. 某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲乙两地一些小白鼠体内，小白鼠血样某项指标X值满足12.2≤X≤21.8时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层抽样的方法抽取了210只进行X值检测，其中甲地120只小白鼠的X值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的X值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的X值平均数与方差分别为，（与均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设． （1）求，； （2）小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗N只小白鼠中有102只产生抗体，试估计N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作为N的估计值）； （3）对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X值进行分组检测，若每组n（n≤50）只小白鼠混合血样的X值在特定区间内，就认为这n只小白鼠全部产生抗体，否则要对n只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，n只小白鼠混合血样的检测费用为n+9元．试给出n的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）． 附：若，则，． 参考数据：，，，． 【答案】（1）17，23 （2）N的估计值为149或150 （3）每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元，n的估计值为10 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式或者利用方差的性质即可求解， （2）利用二项分布的概率计算公式，利用单调性即可求解，或者列不等式求解的范围即可求解， （3）利用二项式定理求解近似值，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 法1： 记甲地小白鼠样本X值的平均数为，方差为；记乙地小白鼠样本X值的平均数为，方差为，则，，，，所以 ．, 法2：记甲地小白鼠样本的X值为x1，x2，…，x120，平均数为，方差为；记乙地小白鼠样本的X值为y1，y2，…，y90，平均数为，方差为． 因为，，，．所以． 由，，可得 ． 同理，于是 ． 【小问2详解】 法1：因为，所以． 从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有K只，则K～B（N，0.68）， ． 当N<102时，P（K=102）=0；当N≥102时，． 记，则． 由等价于N-101<0.32（N+1），当且仅当，知当103≤N≤148时，α（N）<α（N+1）；当N=149时，α（N）=α（N+1）；当N>149时，α（N）>α（N+1）；故N=149或N=150时，α（N）最大，所以N的估计值为149或150． 法2：因为，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μ-σ≤X≤μ-σ）≈0.68． 从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有K只，则K～B（N，0.68）， ． 当N<102时，P（K=102）=0；当N≥102时，． 若N=102，则． 若N≥103，则 化简得解得149≤N≤150． 综上，N的估计值为149或150． 【小问3详解】 记n只小白鼠检测费用为Y元，当n只小白鼠全部产生抗体时，Y=n+9，当n只小白鼠不都产生抗体时，Y=11n+9，则 P（Y=n+9）=0.991n，P（Y=11n+9）=1-0.991n． 因此． 因为n≤50，所以． 故，当且仅当n=10时取等号． 于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元，n的估计值为10． 【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 22. 已知椭圆的离心率为，C上点M到C外点的距离最小值为2． （1）求C的方程； （2）设A，B为C的左右顶点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线与的斜率之积为．记和的面积分别为S1，S2，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率以及最值即可求解， （2）根据两点斜率公式结合点在椭圆上可得斜率为斜率的3倍，进而可根据共线关系得，．由对称性得经过定点．根据弦长以及三角形面积公式可得面积函数，利用导数或者不等式即可求解最值. 【小问1详解】 由点在轴上，所以椭圆的右顶点到的距离最小， 故 ．由，得b=1． 所以C的方程为． 【小问2详解】 ，设，则， 所以直线与的斜率之积为． 因为直线与的斜率之积为，所以直线斜率为斜率的3倍． 因为，设，由得，． 由对称性知经过x轴上的定点，因为， 由，得且，所以，所以经过定点． 解法1：所以 ． 设，因为，所以． 设，，因为当时，，单调递减， 当 时，，单调递增，所以． 因此， 当且仅当取等号，取等号时，，． 于是当，时，取最大值． 解法2： 可知MN不垂直于y轴，设，联立得， 因为，所以, 因此． 由，得，当，时等号成立， 于是取最大值． 【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$