专题05 函数与导数（七大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（安徽专用）

专题05 函数与导数 一、指对幂函数及其应用 1．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 2．（2025·安徽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·一模）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 4．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 5．（2025·安徽·一模）若函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、切线方程 6．（2025·安徽·一模）曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为 ． 7．（2025·安徽·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 三、函数图象 8．（安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 四、函数及其性质 9．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．与的奇偶性相同 B．曲线关于直线对称 C．的最小正周期是最小正周期的2倍 D．在上单调递减 12．（2025·安徽黄山·一模）已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，都有成立．若m，n是关于x的方程的两个不等实根，则关于t的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·安徽黄山·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为 ． 五、导数及其应用小题综合 14．（2025·安徽黄山·一模）（多选）设函数，则（   ） A．存在，函数仅有一个极值点 B．曲线关于点对称 C．当时，是曲线的切线方程 D．当时，函数有唯一零点 15．（2025·安徽滁州·一模）（多选）已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（ ） A． B． C．是的极小值点 D． 16．（2025·安徽·一模）设表示有限集合中元素的个数，已知函数，若，其中为常数，且，则的取值范围为 . 六、导数在立体几何中的应用 17．（2025·安徽合肥·一模）已知P为圆上的动点不在坐标轴上，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·安徽·一模）如图，在五面体中，菱形的边长为，，. (1)证明：且. (2)求五面体体积的最大值. (3)当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 七、导数解答题 19．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 20．（2025·安徽·一模）已知函数. (1)若，求在上的极大值； (2)若函数，讨论函数在上零点的个数. 21．（2025·安徽黄山·一模）已知函数． (1)当时，求函数在上的最值； (2)若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 22．（2025·安徽滁州·一模）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围; (2)若，求证：有且只有1个零点. 23．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数． (1)若，求函数的最大值； (2)若函数有两个不同的零点m，n． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数与导数 一、指对幂函数及其应用 1．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 2．（2025·安徽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性比较对数值的大小 【详解】，A，B均错误. ，C正确，D错误. 故选：C 3．（2025·安徽·一模）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】先由等差数列前n项和公式结合下标性质求出，进而求出等比数列的公比即可计算求解. 【详解】由题得， 所以，设等比数列的公比为，所以， 则. 故选：B 4．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【答案】 【分析】由函数的单调性即可求解. 【详解】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为： 5．（2025·安徽·一模）若函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，利用求出的取值范围验证取舍可得结果. 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵，∴， ∵且，∴，则， ∵，∴，解得， 当时，，，不合题意， ∴的取值范围是. 故选：B. 二、切线方程 6．（2025·安徽·一模）曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】试题分析：因为，所以切线斜率为，切线方程为， 考点：导数几何意义 7．（2025·安徽·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求斜率，进而得切线方程； （2）将函数的单调性转化为关于导函数的恒成立问题，再参变分离求最值即可. 【详解】（1）因为，所以，得， 由，得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得. （2）若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 所以“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 三、函数图象 8．（安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性和单调性,利用排除法求解. 【详解】解：由 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故故排除D项； 当时，，故故排除B项， 故选：A. 四、函数及其性质 9．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用奇偶性定义及导数研究函数的奇偶性和区间单调性，再结合相关基本初等函数的性质及单调性判断函数值的大小关系. 【详解】函数定义域为R，且， 故函数为偶函数， 又在上，即在上单调递增， 因为，且， 所以，即. 故选：D 10．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数和即可依次分析判断ABC，由题设依次求出即可判断D. 【详解】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以 ，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是求出函数和是周期为6的函数. 11．（2025·安徽·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．与的奇偶性相同 B．曲线关于直线对称 C．的最小正周期是最小正周期的2倍 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】利用奇偶函数的定义可以判断出其奇偶性可判断A，利用抽象函数的对称性区证明即可判断B选项，求出的最小正周期再去验证是否满足即可判断, 【详解】因为，， 所以与均为偶函数，A正确. 因为，所以曲线关于直线对称，B正确. 因为，所以的最小正周期为， 又，所以的最小正周期不是，C错误 由，得， 所以在上单调递增，则在上单调递减，D正确. 故选： 12．（2025·安徽黄山·一模）已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，都有成立．若m，n是关于x的方程的两个不等实根，则关于t的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由韦达定理可得出，，由对称性可得，分析函数的单调性，对称性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】因为是关于的方程的两个不等的实根， 所以，解得，且， 由，， 所以，函数的图象关于点对称，则，且， 又对任意的，都有成立， 所以在上单调递增，则该函数在上也为增函数， 从而可知，函数在R上为增函数， 由，可得， 解得，又， . 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由函数的对称性得到，并结合函数单调性求解. 13．（2025·安徽黄山·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合单调性和偶函数性质解不等式即可. 【详解】因为，则， 又因为，即，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得， 又为偶函数，则，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变换成，利用的单调性和奇偶性进行求解. 五、导数及其应用小题综合 14．（2025·安徽黄山·一模）（多选）设函数，则（   ） A．存在，函数仅有一个极值点 B．曲线关于点对称 C．当时，是曲线的切线方程 D．当时，函数有唯一零点 【答案】BC 【分析】求导即可判断函数极值点个数，从而判断A，利用函数对称性的定义代入计算，即可判断B，利用导数的几何意义即可判断C，借助函数单调性以及极值，即可确定零点个数，从而判断D. 【详解】对于A，由题意可得，当时，恒成立， 函数在上单调递减，无极值点，当时，令， 即，解得，此时函数有两个极值点， 所以不存在，使函数仅有一个极值点，故A错误； 对于B，设是图像上任意一点，则， 点关于点对称的点为， 将代入函数可得， 而， 所以曲线关于点对称，故B正确； 对于C，当时，，， 若是切线方程，则其斜率为9， 令，解得， 当时，，切线方程为， 化简可得； 当时，，切线方程为， 化简可得； 所以是曲线的切线方程，故C正确； 对于D，由，当时，令，可得， 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ， ， 当时，，当时，， 所以函数在上各有一个零点， 即函数有三个零点，故D错误； 故选：BC 15．（2025·安徽滁州·一模）（多选）已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（ ） A． B． C．是的极小值点 D． 【答案】ACD 【分析】对函数求导，为研究导函数的正负，构造函数，通过对其求导，分段讨论研究函数的单调性，进而研究函数的极值点，判断各个选项即可. 【详解】，定义域为， 则，. 因为，所以，而， 所以，故选项A正确； 令，则. ①考虑的情况： 当时，；当时，； 则函数在上单调递增，在上单调递减. 又，，当且时，， 则存在，使得， 当时，， 此时，则，故； 当时，， 此时，则，故. ②考虑的情况： 当时，，，且等号不能同时取得， 则，此时. 结合①可知，在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，可知，故选项B错误； ③考虑的情况： 当时，；当时，； 则函数在上单调递增，在上单调递减， ，，当且时，， 则存在，使得， 当时，， 此时，则，此时； 当时，， 此时，则，此时； ④考虑的情况： 当时，，，且等号不能同时取得， 则，此时； 结合③可知，在上单调递减，在上单调递增， 综上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 可知，即是的极小值点，故选项C正确； ⑤考虑的情况： 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 同①可知，存在，使得， 当时，，此时； 当时，，此时； 综合可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 可知. 由题可知，，. 令，， 则，可得， ，可得， 由可得，则， 则，即， . 又，则，，， 可得，即， 则， 即，即， 可得. 又，，函数在上单调递减， 所以，即， 可得，故选项D正确. 故选：ACD. 16．（2025·安徽·一模）设表示有限集合中元素的个数，已知函数，若，其中为常数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数研究的单调性，进而求出极值，再作出函数图象，最后把给定条件转化为和，共有两个交点，再求解参数范围即可. 【详解】由题意得的定义域为， 因为，所以， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，而当时，，且， 令，则， 当时，， 则在上的图象越来越陡峭，我们作出和的图象， 结合图象可得与在上只有一个交点， 令，则，解得，而， 得到与的图象在上的交点的横坐标， 因为， 所以和，共有两个交点， 此时的取值范围为. 故答案为： 六、导数在立体几何中的应用 17．（2025·安徽合肥·一模）已知P为圆上的动点不在坐标轴上，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定几何体，并表示体积公式，结合导数求解. 【详解】设，不妨设， 则过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周， 所得几何体为同底等高的一个圆柱体与圆锥的组合体，底面半径为，高为， 则所得几何体的体积为， 令，， 由，可得， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值， 即时，取得最大值，此时， 所以线段的长度为 故选：C 18．（2025·安徽·一模）如图，在五面体中，菱形的边长为，，. (1)证明：且. (2)求五面体体积的最大值. (3)当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知证得平面，即可证得；取的中点，的中点，连接，，，可得，进而得平面，则，即可证得； （2）分别作，，垂足分别为，，连接，，，，由已知和（1）中结论，可得，设，可得五面体的体积为，利用导数求出其最大值即可； （3）（方法一）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算分别求出平面和平面的一个法向量，利用公式即可求得两个平面夹角的余弦值. （方法二）过点作于，过点作于，连接， 可得平面，则，可得平面，则， 则为平面与平面的夹角，在中，由三角函数定义求出，进而求得其余弦值. 【详解】（1）在菱形中，，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以.      取的中点，的中点，连接，，，则， 所以，故，，，四点共面，                因为，， 所以，，即， 因为四边形为梯形，所以与相交，所以平面，                又平面， 所以，而，所以. （2）分别作，，垂足分别为，，连接，，，， 由（1）知，则， 又，，平面， 所以平面，同理平面.       因为菱形的边长为，， 为的中点，为的中点，， 则，，又， 所以四边形是等腰梯形，由对称性可知                                                                                           设，则，， 所以， 所以，， 所以五面体的体积为 ，                                                                                                                                                                      ， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减，      故当时，五面体体的最大，最大值为. （3）当五面体的体积最大时， ，， （方法一）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， ，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得， ，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. （方法二）过点作于，过点作于，连接， 由（2）知平面，则 又，平面， 所以平面， 又平面，则，， 因为，平面， 所以平面，又平面，则， 所以为平面与平面的夹角， 又，， 由（2）及已知，， 所以，，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 七、导数解答题 19．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性. （2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 20．（2025·安徽·一模）已知函数. (1)若，求在上的极大值； (2)若函数，讨论函数在上零点的个数. 【答案】(1)极大值为0， (2)答案见详解 【分析】（1）求出导数，列表分析随变化情况，根据单调性和极值定义求解； （2）化简得，令，得或，分或，，，讨论判断方程解得个数得解. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得或或， 因此，当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 + 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，有极大值，极大值为. （2） ， 当时，由，得或， 其中，，则， 当或时，方程无解，此时函数只有一个零点， 当时，方程只有一解为，此时函数只有一个零点， 当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点， 当时，方程有一解且不等于，此时函数有两个零点. 综上，当或时，函数只有一个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点. 21．（2025·安徽黄山·一模）已知函数． (1)当时，求函数在上的最值； (2)若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为0. (2) 【分析】（1）求导，判断单调性，根据单调性求出最值； （2）求出导数，分和讨论，判断单调性求出极小值，可得，构造函数，，利用导数求出答案. 【详解】（1）当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， ，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为0. （2），， 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 当时，由，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，有极小值，极小值为， 由，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则. 综上，的取值范围为. 22．（2025·安徽滁州·一模）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围; (2)若，求证：有且只有1个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，令，利用导数可得，进而可得，令，利用导数求得即可； （2）求导得，分，，三种情况讨论中可证得结论. 【详解】（1）由可得， 设，，， 当时，当时，， 所以在上单调调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以等价于， 设，，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故实数a的取值范围为； （2）， 当时，，， 所以在上单调递增，又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因，当时， ， 取，则，且， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 由于，所以，所以， 所以，所以 又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 综上可知，当时，有且只有1个零点，得证. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 23．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数． (1)若，求函数的最大值； (2)若函数有两个不同的零点m，n． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)-1 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，根据单调性求出最大值即可. （2）（ⅰ）求导，分和讨论单调性，结合有两个不同的零点，可得，继而可求解； （ii）由题意可得，令，即，成立，令，利用导数分、及讨论单调性即可求解. 【详解】（1），, 由得，由得, 所以在上单调递增，在上单调递减，则． （2）（ⅰ）令，则． 当时，，单调递增， 所以在上至多有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减， 令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，则， 易知当且趋向于0时，；当时，， 因为有两个不同的零点， 所以，解得． 所以的取值范围是. （ii），， 由得， 即， 令，则只需， 即，． 令， 则，令，则． 因为， 当时，，则单调递减，， 从而单调递增，故，不符合要求；    当时，在单调递减，， 从而单调递增，故，不符合要求． 当时，，则单调递增，， 从而单调递减，故，符合要求． 综上所述． 【点睛】方法点睛：破解双变量不等式的方法： ①转化，即由条件入手，寻找双变量满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式； ②巧构函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求其最值； 19 学科网（北京）股份有限公司 $$