专题03 解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线）（八大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（安徽专用）

专题03 解析几何 （直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线） 一、直线与圆 1．（2025·安徽·一模）已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先由直线方向向量定义结合直线方程求出直线的一个方向向量，再利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 所以若，则，解得. 故选：A. 2．（2025·安徽·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】先写出圆的圆心及半径，再根据圆心间距离和半径的关系判断圆与圆的位置关系. 【详解】圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为， 则，故圆O与圆M的位置关系是内切. 故选：A. 3．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 二、离心率 4．（2025·安徽·一模）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合倍角公式以及即可求解. 【详解】由题， 所以，即，所以，即. 故选：A 5．（2025·安徽滁州·一模）（多选）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则（ ） A．E的离心率 B．若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C．若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D．若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 【答案】ABD 【分析】对于A：根据方程可得，即可得离心率；对于B：根据双曲线的几何意义分析判断；对于C：联立方程求M，N两点坐标，进而可得面积；对于D：联立方程，利用韦达定理求，求弦AB的垂直平分线和点P的坐标，进而可得结果. 【详解】对于双曲线E：，可知，，， 则右焦点，渐近线方程为. 对于选项A：双曲线的离心率为，故A正确； 对于选项B：直线l：，过定点，斜率为， 若直线l与双曲线E的左右两支均有交点， 则直线l的斜率应满足，可得，故B正确； 对于选项C：联立，解得， 联立，解得， 可取，， 由点M，N在y轴右侧，可得，解得或，即， 则， 同理可得， 则， 因为，所以，故C错误； 对于选项D：联立，可得， 设，， 则，可得， 设弦AB的中点为，则，， 可知弦AB的垂直平分线的斜率为， 则弦AB的垂直平分线的方程为， 令，可得，即， 则， ， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 1.数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解； 2.构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解； 3.构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 三、轨迹方程 6．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的左、右焦点分别为，．从点发出的光线经双曲线C右支上的点反射，若反射光线垂直于直线，则点的横坐标为 ；过双曲线右支上任一点（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O作l的垂线，与直线交于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 ， 【分析】设，根据，可得，从而可求出，法1：求出在处切线的方程及斜率，进而可求出过原点且垂直的方程，再将点的坐标用这两条直线的交点坐标表示，代入双曲线方程即可得解；法2：过作平行于，求出，其他同方法1. 【详解】设，因为，所以，即， 又因为，解得， 解法1：在处切线斜率为， 设直线n过原点O且，则的方程：， 与交于， 联立得，， 代入得， 又在双曲线右支上（异于顶点），则， 所以， 综上点的轨迹方程为，． 解法2：过作平行于，由题易得， 因为，且，， 所以，所以， 所以在以为圆心半径为1的圆上，其他同解法1． 故答案为：；，. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 7．（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以， 所以. 所以的取值范围为. 8．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 (1)求曲线T的方程； (2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据定义确定曲线T为双曲线，求解a，b，c即可； （2）（ⅰ）设直线方程与双曲线方程联立结合韦达定理线段的中点即为线段中点得解；（ⅱ）运用斜率公式表示，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设圆，的交点为M，则，， 因为，所以， 故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线， 从而，，即，， 故曲线T的方程为 （2）（ⅰ）要证， 只要证线段的中点与线段的中点重合. 设，，其中， 由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为 因为直线l与圆相切， 所以，即 联立，消去y并整理得， 所以， 从而线段的中点横坐标为 又直线与直线和交点的横坐标分别为和， 则线段中点的横坐标为， 所以 （ⅰⅰ）由条件，，即， 所以， 由题意知，， 所以 ， 即为定值 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点； （2）联立直线与曲线方程，得到一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题关系转化为韦达定理的形式； （5）代入韦达定理求解. 四、距离问题 9．（2025·安徽·一模）已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是 【答案】 【分析】设出点坐标，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】设，则到直线的距离为： ， 所以当时，距离取得最小值为. 故答案为： 10．（2025·安徽滁州·一模）已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】设，由已知求得点M的轨迹方程，数形结合可求得的最小值. 【详解】因为点M满足， 设，则， 两边平方整理得， 即点M的轨迹为圆心，半径为2的圆， 的最小值是M到准线的最短距离， 因为N可以选择在抛物线上，使得N到M的距离加上N到准线的距离最小， 圆心到准线的距离是， 圆的半径是2，所以M 到准线的最短距离是， 因此，的最小值是 故答案为： 五、曲线与方程 11．（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若为双曲线方程，则， 解得或， 故是“为双曲线方程”的充分不必要条件. 故选：A 12．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，心形曲线与y轴交于A，B两点，点P是上的一个动点，则（   ）    A．点和点均不在上 B．的最大值与最小值之和为22 C．点P的纵坐标的最大值为 D． 【答案】D 【分析】代入可得A错误；设曲线的参数方程，结合两点间距离公式和二倍角的正余弦公式以及辅助角公式可得B错误、D正确；由B结合辅助角公式可得C错误； 【详解】对于A，代入曲线方程可得， 即点在上，故A错误； 对于B，根据对称性不妨设，， ， 由正弦函数的值域可得最大值与最小值的差为24，故B错误； 对于C，由B可得， 点P的纵坐标的最大值为，故C错误； 对于D，当时，可得， 所以 ，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够将曲线方程化为参数方程，再结合三角恒等变换求解. 13．（2025·安徽·一模）（多选）曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（    ） A．当在第一象限时， B．当在第四象限时， C．直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D．直线与曲线恰有4个公共点 【答案】BC 【分析】去绝对值，结合椭圆、双曲线的性质、直线与椭圆、双曲线的位置关系，逐项判断即可. 【详解】当时，可化为，为椭圆的两个焦点，则，A错误. 当时，可化为，为双曲线的两个焦点，则，B正确. 当时，可化为，所以点不可能在第三象限. 当时，可化为，所以曲线由三段曲线组成，其图形如图所示， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以直线与曲线无公共点. 将代入，得， 由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为. 将代入，得，由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为， 所以直线+4与曲线的所有交点的横坐标之和为，C正确. 结合双曲线与的渐近线的斜率， 由图可知直线与曲线有2个公共点， 与曲线只有1个公共点， 与曲线没有公共点， 所以直线与曲线恰有3个公共点，D错误. 故选：BC 14．（2025·安徽合肥·一模）（多选）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线有4个顶点 C．曲线与直线有4个交点 D．曲线上动点到原点距离的最小值为 【答案】AC 【分析】根据新定义曲线的知识对选项进行分析，结合图象来确定正确答案. 【详解】对于A，将交换方程依然成立，所以曲线关于对称，A正确； 对于B，易得曲线有四条对称轴轴，轴，直线， 直线，共有8个顶点，B错误； 对于C，由得， 即， 可得， 对于方程，， 则方程有两不等实根，且方程的根不为0和3， 所以方程有4个不等实根， 从而曲线C与直线有4个交点，C正确； 对于D，由得， ， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为， 曲线C上动点P到原点距离的最小值，D错误； 故选：AC 【点睛】思路点睛： 遇到关于新定义曲线性质的问题，首先要明确新定义的内涵和要求.对于各选项，根据曲线方程的特点，分别从对称性、顶点个数、与直线的交点个数以及动点到定点距离最值等角度出发，运用相应的数学知识和方法进行分析.如判断对称性利用交换坐标法，求交点个数通过联立方程求解，求最值借助均值不等式等，逐步得出结论. 六、半径问题 15．（2025·安徽·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则 . 【答案】5 【分析】先由题意依次求出即可由求出，接着由正切函数定义和两角和的正切公式结合点P求出直线的方程，进而求出直线过点，再联立椭圆方程求出即可同理求出得解. 【详解】由题意可知， 所以由， 由上得，且 所以， 所以，所以即， 令得，故直线经过点， 联立， 所以， 所以同理可得， 所以. 故答案为：5. 16．（2025·安徽黄山·一模）如图，椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率为，且短轴长是4，点P是第一象限内C上一点，，的延长线分别交C于A，B两点，设，分别是，的内切圆半径．    (1)求C的方程； (2)若点P的横坐标为2，求内切圆的方程； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，列出方程运算得解； （2）由题可得轴，则内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，利用等面积法求出，得解； （3）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和等面积法得到内切圆半径的表达式，据此得到的表达式，然后利用基本不等式求最值即可． 【详解】（1）由题意，，，又， 解得，， 所以椭圆的方程为. （2）点的横坐标为2，，又， 轴， 由对称性，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点， ，又的周长为， 又， ，内切圆的圆心为， 内切圆的方程为. （3）设，，，， 因为点在椭圆上，所以，即， 由，即， 解得， 同理可得，，， ，直线的方程为， 由，化简得， ，得， 同理可得，， ， 由， ， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是由等面积法求出，，进而得到. 七、面积问题 17．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍. 【答案】 【分析】通过设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到一些关系式，再结合向量关系求出相关量，进而计算三角形面积并求出它们之间的比例关系. 【详解】设直线， 代入抛物线C方程，消元可得， 设，， 则，，， 由，得，，，则， 因为， ， 所以 ， 由抛物线定义得，， 则， 得， 所以， 即， 又， 则 故答案为：. 18．（2025·安徽滁州·一模）已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点 (1)求C的标准方程; (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，求解即可； （2）设与直线PM平行的直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用时，求得切线方程，进而求得椭圆上的点到直线PM的距离的最大值，进而求得面积的最大值. 【详解】（1）由题，故， 把代入椭圆方程中得到， 解得：，， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题，直线PM的方程为， 设与直线PM平行的直线m的方程为， 当直线m与椭圆相切时，切点到直线PM距离取得最大值，Q为切点时，面积最大， 把代入椭圆方程中得：， 当直线m与椭圆相切时，距离最大， 故有，即， 所以，即， 当时，与之间的距离即为椭圆上点到直线PM距离的最大值， 此时， 所以面积最大值为 八、圆锥曲线解答题 19．（2025·安徽马鞍山·一模）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求出椭圆的标准方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况进行讨论，利用向量垂直的性质得到关于参数的方程，进而求出直线所过的定点. 【详解】（1）因为椭圆C离心率为，所以，    又因为点在椭圆C上，所以，解得，，    椭圆C的标准方程为： （2）①当斜率不存在时，设的方程为， 则，，，， 因为，所以，    因为，所以，    所以，解得或（舍）；    ②当斜率存在时，设的方程为， 联立消去y得，    即， 设，则，， ，，    因为，所以， 即，    代入化简得， 即，    当时，，此时方程为，过定点，舍去；    当时，，此时方程为，过定点．    综上，直线过定点．    20．（2025·安徽·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. (1)求的标准方程. (2)若，为坐标原点，证明：. (3)若为的焦点，且的周长为，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）将代入，设，利用韦达定理求出，证明即可； （3）设，联立方程，利用韦达定理求出，利用抛物线的焦半径公式和弦长公式求出的周长，进而可得出答案. 【详解】（1）的标准方程为， 由的准线方程为，得， 故的标准方程为； （2）将代入，得， 设，则， ， 所以， 所以，即； （3）联立，得， 设， 则，所以， 所以， ， 所以的周长为， 因为函数为增函数，且， 所以方程的解为， 所以.    19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解析几何 （直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线） 一、直线与圆 1．（2025·安徽·一模）已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2025·安徽·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 3．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、离心率 4．（2025·安徽·一模）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽滁州·一模）（多选）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则（ ） A．E的离心率 B．若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C．若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D．若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 三、轨迹方程 6．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的左、右焦点分别为，．从点发出的光线经双曲线C右支上的点反射，若反射光线垂直于直线，则点的横坐标为 ；过双曲线右支上任一点（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O作l的垂线，与直线交于点，则点的轨迹方程为 ． 7．（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 8．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 (1)求曲线T的方程； (2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 四、距离问题 9．（2025·安徽·一模）已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是 10．（2025·安徽滁州·一模）已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为 . 五、曲线与方程 11．（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，心形曲线与y轴交于A，B两点，点P是上的一个动点，则（   ）    A．点和点均不在上 B．的最大值与最小值之和为22 C．点P的纵坐标的最大值为 D． 13．（2025·安徽·一模）（多选）曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（    ） A．当在第一象限时， B．当在第四象限时， C．直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D．直线与曲线恰有4个公共点 14．（2025·安徽合肥·一模）（多选）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线有4个顶点 C．曲线与直线有4个交点 D．曲线上动点到原点距离的最小值为 六、半径问题 15．（2025·安徽·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则 . 16．（2025·安徽黄山·一模）如图，椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率为，且短轴长是4，点P是第一象限内C上一点，，的延长线分别交C于A，B两点，设，分别是，的内切圆半径．    (1)求C的方程； (2)若点P的横坐标为2，求内切圆的方程； (3)求的最大值． 七、面积问题 17．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍. 18．（2025·安徽滁州·一模）已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点 (1)求C的标准方程; (2)求面积的最大值. 八、圆锥曲线解答题 19．（2025·安徽马鞍山·一模）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 20．（2025·安徽·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. (1)求的标准方程. (2)若，为坐标原点，证明：. (3)若为的焦点，且的周长为，求的值. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$