专题05 成对数据的统计分析（三大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题05 成对数据的统计分析 题型概览 题型01相关系数 题型02一元线性回归模型 题型03独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则（     ） A． B． C．1 D．3 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建泉州·期末）某同学根据变量x与y的六组数据（，2，…，6）绘制了如下散点图，并选择一元线性回归模型进行拟合，若去掉B点，则下列说法正确的是（    ） A．残差平方和变小 B．相关系数r越趋于1 C．决定系数变大 D．y与x线性相关程度变强 4．（23-24高二下·福建·期末）对具有相关关系的两个变量x和进行回归分析时，下列结论正确的是（   ） A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强 B．若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为1 C．若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为0.3 D．以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和2 ( 题型02 ) 一元线性回归模型 5．（23-24高二下·福建三明·期末）2023年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数与第天的数据如表所示. 1 2 3 4 5 21 95 109 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则以下说法错误的是（    ） A．该样本相关系数在内 B．当时，残差为 C．点在经验回归直线上 D．第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130 6．（23-24高二下·福建泉州·期末）某公司为了解年研发资金x（单位：亿元）对年产值y（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，且经数据处理得到，，，则（    ） A． B．49.92 C．62.08 D．120.98 7．（23-24高二下·福建福州·期末）假如女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，已知父亲身高为，则（    ） A．女儿的身高必为 B．女儿的身高估计为 C．女儿的身高必为 D．女儿的身高估计为 8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知在某次试验中获得数据如下： 2 3 4 10 25 19 15 12 4 与线性相关，且回归方程为，则下列正确的是（    ） A．与具有负的线性相关关系 B． C．点落在回归直线下方 D．估计时的值为 ( 题型03 ) 独立性检验 9．（23-24高二下·福建三明·期末）某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男､女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了100份有效问卷，统计数据如下表： 性别 购买意愿 合计 有愿意 无愿意 男性 22 18 40 女性 48 12 60 合计 70 30 100 (1)试依据小概率值的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？ (2)企业随机致电8位无愿意购买新能源车的车主（其中3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为，求的分布列及数学期望. 下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 10．（23-24高二下·福建泉州·期末）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表： 年龄因素 对该程序的态度 合计 不喜欢该程序 喜欢该程序 青少年 7 中老年 16 30 合计 21 注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”. (1)请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系; (2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差; (3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 11．（23-24高二下·福建福州·期末）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件：主动预习．据统计显示，，，． (1)求和，并证明A与不独立； (2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校抽取了一定容量的样本，得到如下列联表： 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将上表中所有数据都调整为原来的倍，使得在犯错误的概率不超过的条件下认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校共1000名学生，其中男生500人，女生500人，在一次调查“体育迷”的活动中，采用分层随机抽样的方法从中抽取100人，统计得到如下等高堆积条形图. (1)求抽取的男生人数和女生人数； (2)根据已知条件完成下面的2×2列联表： 体育迷 非体育迷 合计 男生 女生 合计 (3)据小概率值的独立性检验，能否认为性别是否与体育迷有关联？ 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.789 10.828 13．（23-24高二下·福建漳州·期末）2024年5月1日，“花样漳州啤酒之夜群星演唱会”在漳州激情开唱，为现场2万名观众带来一场音乐盛宴.现随机抽取200名现场观众，对他们的年龄和是否购买周边产品进行了统计，得到以下数据： 年龄（岁） 购买周边 不购买周边 总计 小于30 40 30及以上 45 80 总计 200 (1)请完成上面列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否购买周边产品有关？ (2)已知现场观众对某首歌曲的喜爱程度得分（单位：分），请估计现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分在内的人数约为多少？ （参考公式及表格：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，.） 一、单选题 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（    ） X Y 合计 100 a d 200 b e 合计 300 c n A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建福州·期末）在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高二下·福建宁德·期末）根据分类变量 X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于95%的把握认为 X 和Y 有关，则的值不可能为（    ） 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 A．2.819 B．5.512 C．6.635 D．8.243 二、多选题 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）下列命题正确的是（    ） A．线性相关模型中，决定系数越大相关性越强，相关系数越大相关性也越强 B．经验回归直线至少会经过其中一个样本点 C．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则. D．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为3，4 5．（23-24高二下·福建厦门·期末）对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，，2，3，…，10，且，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近.利用最小二乘法求得经验回归方程：，分析发现样本数据对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则（    ） A．变量与变量具有正相关关系 B．剔除后，变量与变量的样本相关系数变小 C．新的经验回归直线经过点 D．若新的经验回归直线经过点，则其方程为 6．（23-24高二下·福建莆田·期末）对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和，方差分别为和.（    ） A．该样本相关系数越接近0时，其线性相关程度越弱 B．假设一组数据是，，…，，则该组数据的方差为 C．该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数 D．该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心 三、填空题 7．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了5天的数据: 5 6 8 9 12 （人） 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则当时，残差为 . 8．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则我们至少有 把握认为喜欢某种甜品与性别有关. 四、解答题 9．（23-24高二下·福建泉州·期末）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 10．（23-24高二下·福建厦门·期末）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某班级兴趣小组调查了全班50位同学，得到如下数据： 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男生 25 女生 10 合计 20 50 (1)完成上述列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢篮球运动与性别有关联？ (2)该班级要从甲、乙两人中选派1人参加篮球挑战赛.比赛设置5个挑战项目，参赛人员随机抽取3个项目进行挑战.已知甲只能挑战成功其中3个项目，乙每个项目挑战成功的概率均为，甲、乙两人挑战每个项目成功与否均互不影响.请根据挑战成功次数的期望和方差，分析派谁去参加挑战赛更合适. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 11．（23-24高二下·福建莆田·期末）人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.    （注：年份代码1~9分别对应年份2015~2023） (1)建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入； (2)为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 附注：参考数据：，.参考公式：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 12．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一次对外星文明的探索中，科学家发现了一种外星生物，它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量，发现繁殖数量与天数之间存在线性关系. (1)根据记录的数据，得到以下表格： 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 繁殖数量 13 15 18 19 20 20 22 25 请利用最小二乘法求出线性回归方程； (2)科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析，以研究其基因多样性，发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究，记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为，求的分布列与数学期望. （参考公式与数据：，，，，） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 成对数据的统计分析 题型概览 题型01相关系数 题型02一元线性回归模型 题型03独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用负相关性的定义求解即可. 【详解】由样本数据可知解释变量与响应变量之间具有负相关性， 所以 又因为对应的点均在直线上， 故，故A正确. 故选：A 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小. 【详解】由图可知，从左到右第一幅图、第三幅图是正相关，第二幅图、第四幅图是负相关， 且第一幅图、第二幅图的点相对更加集中，所以更加接近1，更加接近， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·福建泉州·期末）某同学根据变量x与y的六组数据（，2，…，6）绘制了如下散点图，并选择一元线性回归模型进行拟合，若去掉B点，则下列说法正确的是（    ） A．残差平方和变小 B．相关系数r越趋于1 C．决定系数变大 D．y与x线性相关程度变强 【答案】ACD 【分析】从图中可以看出B点较其他点，偏离直线远，所以去掉B点后，回归效果更好，再结合残差的定义、以及相关系数和决定系数的性质判断． 【详解】从图中可以看出B点较其他点，偏离直线远，所以去掉B点后，回归效果更好， A．残差平方和变小，拟合效果越好，故正确，符合题意； B．相关系数|r|越趋于1，拟合的回归方程越优， 所以去掉B点后，相关系数r的绝对值越趋于1，故B错误，不符合题意； C．决定系数R2越接近于1，拟合的回归方程越优， 即去掉B点后，变大，越趋于1，故正确，符合题意； D．解释变量x与预报变量y相关性增强，故正确，符合题意． 故选：ACD． 4．（23-24高二下·福建·期末）对具有相关关系的两个变量x和进行回归分析时，下列结论正确的是（   ） A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强 B．若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为1 C．若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为0.3 D．以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和2 【答案】BD 【分析】对于A，根据相关系数的性质分析判断，对于B，根据决定系数的性质分析判断，对于C，根据残差的定义计算判断，对于D，对两边取对数化简与比较可求出c，k的值. 【详解】对于A，因为相关系数的绝对值越大，数据的相关性越强，而， 所以B组数据比A组数据的相关性较强，所以A错误， 对于B，因为所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，所以两个变量x和之间是一次函数，所以决定系数的值为1，所以B正确， 对于C，因为样本点的经验回归方程为，所以当时，， 所以残差为，所以C错误， 对于D，由，得，因为，所以， 因为，所以，得，所以D正确. 故选：BD ( 题型02 ) 一元线性回归模型 5．（23-24高二下·福建三明·期末）2023年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数与第天的数据如表所示. 1 2 3 4 5 21 95 109 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则以下说法错误的是（    ） A．该样本相关系数在内 B．当时，残差为 C．点在经验回归直线上 D．第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130 【答案】B 【分析】由题意，x，y具有较强的正相关关系，可判断相关系数的范围，即可判断A；计算x，y的平均值，代入回归直线方程求出a的值，即可求出时的预测值，求得残差，即可判断B；看是否满足回归直线方程，即可判断C；将代入回归直线方程，求出预测值，即可判断D. 【详解】由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故A正确； 根据题意得， 故，解得， 故当时，，残差为，故B错误； 点即点，当时，， 即点在经验回归直线上，故C正确； 当时，，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，故D正确, 故选：B. 6．（23-24高二下·福建泉州·期末）某公司为了解年研发资金x（单位：亿元）对年产值y（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，且经数据处理得到，，，则（    ） A． B．49.92 C．62.08 D．120.98 【答案】A 【分析】首先利用换元转化为，再求样本点中心，代入回归方程，即可求解. 【详解】设，则， ，则，， 则，所以. 故选：A 7．（23-24高二下·福建福州·期末）假如女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，已知父亲身高为，则（    ） A．女儿的身高必为 B．女儿的身高估计为 C．女儿的身高必为 D．女儿的身高估计为 【答案】B 【分析】根据经验回归方程求解即可. 【详解】由，， 代入得， 故选：B 8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知在某次试验中获得数据如下： 2 3 4 10 25 19 15 12 4 与线性相关，且回归方程为，则下列正确的是（    ） A．与具有负的线性相关关系 B． C．点落在回归直线下方 D．估计时的值为 【答案】AD 【分析】先求出，再根据经验回归方程的知识求解即可. 【详解】,，故A对； ，经验回归方程经过样本中心点， ，故B错； 把代入经验回归方程得，点落在回归直线上方，故C错； 当时，，故D对. 故选：AD. ( 题型03 ) 独立性检验 9．（23-24高二下·福建三明·期末）某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男､女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了100份有效问卷，统计数据如下表： 性别 购买意愿 合计 有愿意 无愿意 男性 22 18 40 女性 48 12 60 合计 70 30 100 (1)试依据小概率值的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？ (2)企业随机致电8位无愿意购买新能源车的车主（其中3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为，求的分布列及数学期望. 下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)购买意愿与性别有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据公式和列联表求出并与表格的值对比即可判断； （2）根据服从超几何分布求出其分布列，根据超几何分布的数学期望公式或数学期望的定义即可计算数学期望. 【详解】（1）零假设为：购买意愿与性别无关联， 根据列联表的数据可得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01. （2）的可能取值为， 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以. 或根据超几何分布的数学期望有. 10．（23-24高二下·福建泉州·期末）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表： 年龄因素 对该程序的态度 合计 不喜欢该程序 喜欢该程序 青少年 7 中老年 16 30 合计 21 注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”. (1)请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系; (2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差; (3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)年龄因素与喜欢该程序有关系 (2)， (3)分布列见详解， 【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论； （2）依题意可得，即可求得和； （3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值． 【详解】（1）根据题意可得列联表如下； 性别 不喜欢该程序 喜欢该程序 合计 青少年 7 23 30 中老年 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：年龄因素与是否喜欢该程序无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即年龄因素与喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． （2）由题意可知：随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作”的概率， 可知， 所以，． （3）易知10名高中生有7名男生，3名女生， 则Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布： ，， ， 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得 11．（23-24高二下·福建福州·期末）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件：主动预习．据统计显示，，，． (1)求和，并证明A与不独立； (2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校抽取了一定容量的样本，得到如下列联表： 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将上表中所有数据都调整为原来的倍，使得在犯错误的概率不超过的条件下认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，，不相互独立 (2) 【分析】（1）利用条件概率公式以及全概率公式计算即可； （2）作出新的列联表，然后求出新的值，列不等式求解即可. 【详解】（1）由已知， ， 又因为，所以， 所以， 又， 所以， 所以A与B不为独立事件； （2）根据原数据有 若将样本容量调整为原来的倍， 则新的列联表为： 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 则， 解得， 又因为，所以的最小值为. 12．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校共1000名学生，其中男生500人，女生500人，在一次调查“体育迷”的活动中，采用分层随机抽样的方法从中抽取100人，统计得到如下等高堆积条形图. (1)求抽取的男生人数和女生人数； (2)根据已知条件完成下面的2×2列联表： 体育迷 非体育迷 合计 男生 女生 合计 (3)据小概率值的独立性检验，能否认为性别是否与体育迷有关联？ 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.789 10.828 【答案】(1)男生人数50，女生人数50； (2)答案见解析； (3)性别与体育迷有关联. 【分析】（1）根据抽样比，计算抽取的男生和女生人数； （2）根据等高条形图的比例关系，计算男生和女生的体育迷和非体育迷的人数，填写列联表； （3）根据列联表计算，再和表中数据比较大小，即可得到结论. 【详解】（1）根据分层抽样，得抽取的男生人数为， 抽取的女生人数为； （2）男生中“体育迷”的人数为， “非体育迷”的人数为20， 女生中“体育迷”的人数为， “非体育迷”的人数为30， 故2×2列联表如下： 体育迷 非体育迷 合计 男生 30 20 50 女生 20 30 50 合计 50 50 100 （3）零假设为：性别与体育迷无关联． 根据残联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与体育迷有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 13．（23-24高二下·福建漳州·期末）2024年5月1日，“花样漳州啤酒之夜群星演唱会”在漳州激情开唱，为现场2万名观众带来一场音乐盛宴.现随机抽取200名现场观众，对他们的年龄和是否购买周边产品进行了统计，得到以下数据： 年龄（岁） 购买周边 不购买周边 总计 小于30 40 30及以上 45 80 总计 200 (1)请完成上面列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否购买周边产品有关？ (2)已知现场观众对某首歌曲的喜爱程度得分（单位：分），请估计现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分在内的人数约为多少？ （参考公式及表格：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，.） 【答案】(1)列联表见解析，没有的把握； (2)16372. 【分析】（1）求解卡方，与临界值比较即可求解， （2）根据正态分布的对称性，即可求解概率得解. 【详解】（1）列联表如下： 年龄（岁） 购买周边 不购买周边 总计 小于30 80 40 120 30及以上 45 35 80 总计 125 75 200 假设年龄与是否购买周边产品无关， 因为，所以没有的把握认为年龄与是否购买周边产品有关. （2）依题意正态分布的均值，标准差， 人， 现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分在内的人数约为16372. 一、单选题 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（    ） X Y 合计 100 a d 200 b e 合计 300 c n A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，同一个样本中，越大，说明两个变量的关系越强，然后分别计算各选项，即可得到结果. 【详解】同一个样本中，越小，说明两个变量的关系越弱， 越大，说明两个变量的关系越强， 对于A，当时，， 对于B，当时，可得，则， 对于C，当时，， 对于D，当时，，即，此时， 由以上分析可知，选项C能说明X与Y有关联. 故选：C 2．（23-24高二下·福建福州·期末）在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用散点图可直观看出是否线性相关和正相关． 【详解】对于A，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A错误； 对于B，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B正确； 对于C，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C错误； 对于D，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D错误； 故选：B． 3．（23-24高二下·福建宁德·期末）根据分类变量 X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于95%的把握认为 X 和Y 有关，则的值不可能为（    ） 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 A．2.819 B．5.512 C．6.635 D．8.243 【答案】A 【分析】利用独立性检验的观测值对应临界表可得答案． 【详解】因为有不少于95%的把握认为 X 和Y 有关， 所以，只有A不满足要求. 故选：A 二、多选题 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）下列命题正确的是（    ） A．线性相关模型中，决定系数越大相关性越强，相关系数越大相关性也越强 B．经验回归直线至少会经过其中一个样本点 C．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则. D．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为3，4 【答案】CD 【分析】根据决定系数的概念和相关系数的概念判断A，根据回归直线方程的性质判断B，根据回归方程及残差的概念判断C，根据线性回归方程与非线性之间的转化关系可判断D. 【详解】对于A：在线性相关模型中，决定系数越大，即残差平方和越小，所以拟合效果越好，相关系数越大，相关性越强，故A错误； 对于B：回归直线方程不一定过样本点，故B错误； 对于C：回归直线方程为，且样本点与的残差相等， 则，化简得，故C正确； 对于D：因为，所以两边取对数，可得， 令，可得，因为，所以， 即，故D正确. 故选：CD. 5．（23-24高二下·福建厦门·期末）对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，，2，3，…，10，且，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近.利用最小二乘法求得经验回归方程：，分析发现样本数据对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则（    ） A．变量与变量具有正相关关系 B．剔除后，变量与变量的样本相关系数变小 C．新的经验回归直线经过点 D．若新的经验回归直线经过点，则其方程为 【答案】AD 【分析】根据给定条件，由正负相关性和样本相关系数的概念可判断A、B；求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再判断C、D. 【详解】依题意，经验回归方程：， 因此相关变量x，y具有正相关关系，A正确； 由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强， 即样本相关系数的绝对值变大，B错误； 原样本中，， 剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，， 因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C错误； 由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为， 设，将点代入，得，所以其方程为，D正确. 故选：AD 6．（23-24高二下·福建莆田·期末）对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和，方差分别为和.（    ） A．该样本相关系数越接近0时，其线性相关程度越弱 B．假设一组数据是，，…，，则该组数据的方差为 C．该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数 D．该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心 【答案】ABD 【分析】选项A，利用相关系数的意义，即可求解；选项B，根据条件，利用方差的计算公式，即可求解；选项C，由题知，所以选项C错误；选项D，由最小二乘法知，样本中心在线性回归方程上，即可判断正误. 【详解】对于选项A，由样本相关系数的意义可知，样本相关系数越接近0时，其线性相关程度越弱，所以选项A正确， 对于选项B，因为，，…，的平均数为， 方差为， 所以选项B正确， 对于选项C，该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数，所以选项C错误， 对于选项D，由最小二乘法知，样本中心在线性回归方程上，所以选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了5天的数据: 5 6 8 9 12 （人） 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则当时，残差为 . 【答案】/ 【分析】计算出，将代入回归方程，得到，求出回归方程，当时，，计算出残差. 【详解】，， 将代入中得，， 解得， 故，当时，， 故残差为. 故答案为： 8．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则我们至少有 把握认为喜欢某种甜品与性别有关. 【答案】 【分析】根据，再利用题设条件，即可求出结果. 【详解】因为，又，， 所以我们至少有把握认为喜欢某种甜品与性别有关， 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高二下·福建泉州·期末）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】(1)证明见详解 (2)，预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可下结论； （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解. 【详解】（1）由，，， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2）由题意可得：， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5. 10．（23-24高二下·福建厦门·期末）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某班级兴趣小组调查了全班50位同学，得到如下数据： 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男生 25 女生 10 合计 20 50 (1)完成上述列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢篮球运动与性别有关联？ (2)该班级要从甲、乙两人中选派1人参加篮球挑战赛.比赛设置5个挑战项目，参赛人员随机抽取3个项目进行挑战.已知甲只能挑战成功其中3个项目，乙每个项目挑战成功的概率均为，甲、乙两人挑战每个项目成功与否均互不影响.请根据挑战成功次数的期望和方差，分析派谁去参加挑战赛更合适. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，认为篮球运动与性别无关联. (2)派甲去参加挑战赛更合适. 【分析】（1）列出列联表后，进行独立性检验即可. （2）求出甲乙得分的方差后，比较得到甲的成绩更加稳定即可. 【详解】（1）列联表如下： 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 零假设为：喜欢篮球运动与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为篮球运动与性别无关联. （2）设甲挑战成功项，可能取值为1，2，3 ；；. 所以的分布列为： 1 2 3 ， . 设乙挑战成功项，则， 所以，， 所以，， 即甲和乙的水平相当，但甲发挥更稳定，所以派甲去参加挑战赛更合适. 11．（23-24高二下·福建莆田·期末）人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.    （注：年份代码1~9分别对应年份2015~2023） (1)建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入； (2)为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 附注：参考数据：，.参考公式：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1)，约为万元； (2)分布列见解析，期望. 【分析】（1）求出，再利用最小二乘法求出经验回归方程并进行预测. （2）求出随机变量的可能值，再求出各个值对应概率，列出分布列并计算出期望. 【详解】（1）依题意，，，而，， 则， ， 所以关于的经验回归方程为， 2024年即，， 所以预测2024年该市城镇居民人均可支配收入约为万元. （2）2015~2023年中，人均可支配收入超过4.5万元的年份数有3个，的可能取值为， ，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望. 12．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一次对外星文明的探索中，科学家发现了一种外星生物，它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量，发现繁殖数量与天数之间存在线性关系. (1)根据记录的数据，得到以下表格： 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 繁殖数量 13 15 18 19 20 20 22 25 请利用最小二乘法求出线性回归方程； (2)科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析，以研究其基因多样性，发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究，记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为，求的分布列与数学期望. （参考公式与数据：，，，，） 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望. 【分析】（1）先求出，再根据公式结合已知数据求出，从而可求出线性回归方程； （2）由题意得，的可能取值为，，，求出相应概率，从而可求得的分布列与数学期望. 【详解】（1），， ， ， 所以，线性回归方程为. （2）依题意，随机变量服从超几何分布，的可能取值为，，. ，，， 的分布列为 0 1 2 的数学期望为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$