专题01 三角计算（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·拓展模块一下册）

专题01 三角计算 一．和角公式 1．两角和与差的余弦公式 2．两角和与差的正弦公式 3．两角和与差的正切公式 二．二倍角公式、降幂公式、辅助角公式 1．二倍角公式 （1）正弦的二倍角公式： （2）余弦的二倍角公式： （3）正切的二倍角公式： 2．两个降幂公式 ， 3．辅助角公式 == （其中和） 三．正弦型函数 1．正弦型函数的相关概念 (1)定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. (2)对函数图像的影响 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 (3)的实际意义 ①的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； ②在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； ③周期表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 2．正弦型函数的性质 (1)定义域：R (2)值域： (3)周期： (4)奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； (5)单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 4．三角函数图像变换 (1)振幅变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． (2)平移变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． (3)周期变换 要得到函数（其中且）的图像，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． (4)函数的图像经变换得到的图像的两种途径 四．解三角形 1．正弦定理: ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 适用范围：两角及一边 变形形式：(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 2．余弦定理: a＝b＋c－2bc·cos A；cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B；cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C；cos C＝ 适用范围：两边及一角、三边 3．三角形常用面积公式 (1) S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2) S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． 4．常用公式 A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C) 题型一、两角和与差的余弦公式 【例1】 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A． 【变式1】 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A. 【变式2】 在中，若，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在中，，， 则， ， 故选：D. 题型二、两角和与差的正弦公式 【例2】 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 故选：. 【变式1】 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 【变式2】 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 题型三、两角和与差的正切公式 【例3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 解得， 故选：A. 【变式1】已知，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】∵， ∴， ， ∴， 故选：A． 【变式2】已知是第四象限角，且，则（ ） A． B． C． D．7 【答案】A 【解析】由得：，即， 而是第四象限角，则有，， 所以. 故选：A. 题型四、二倍角公式 【例4】 已知角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由角终边上一点，得， . 故选：C. 【变式1】 若，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】因为， 所以， 即， ， 故选：D. 【变式2】下列各式中，值不为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A符合，； B不符合，； C不符合，； D不符合，. 故选：A. 题型五、辅助角公式 【例5】计算的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 ， 故选：B． 【变式1】的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B． 【变式2】已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， 故选：B． 题型六、正弦型函数的图像和性质 【例6】 函数的振幅为 ， 最小正周期为 ，初相为 . 【答案】4，， 【解析】根据振幅、周期、初相的概念可知： 振幅为4，周期==，初相为 . 故答案为：4，，. 【例7】要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】∵=， ∴要得到的图像，只需将的图像向左平移个单位. 故选：B． 【变式1】 函数的最小正周期是，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵=，∴=. 故选C. 【变式2】函数（其中＞0）的最小正周期为. （1）求的值； （2）求函数的最小值及取得最小值时相应的值. 【答案】(1)=2 ； (2)当时， 【解析】解：(1)∵=，∴=2. (2)由(1)知=2，， 当=时，取得最小值， 此时解得. 【变式3】为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（ ） A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】B 【解析】对于A，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得图像的解析式为，故A错误； 对于B，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故B正确； 对于C，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位,所得图像的解析式为，故C错误； 对于D，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故D错误； 故选：B. 题型七、正弦定理 【例8】在中，已知，，，则__________． 【答案】 【解析】由正弦定理有：，． 故答案为：. 【变式1】的内角，，的对边分别为，，.若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理及， 得，解得， 在中，，，于是为锐角， 所以. 故选：C. 【变式2】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】根据题意，在中，， 则， 又由，， 则有， 即， 故选：． 题型八、余弦定理 【例9】在中,已知三边，，，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵中,已知三边，，满足， ∴，即， ∴， 又由，得， 故选：D． 【变式1】在中，若，，，则=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】在中，由余弦定理得： ， ， 化简得，，， ∴， 故选：C. 【变式2】 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则b=（ ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为， 所以，即. 又，所以， 由余弦定理得： , 从而， 故选：B. 题型九、面积公式 【例10】在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 则， 故选：A. 【变式1】在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得 整理得：， 由余弦定理得：， 即，即， 又，解得. 故选：C. 【变式2】已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为 . 【答案】 【解析】已知，，， ∵，∴，， 由余弦定理得，解得， ∴的面积， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角计算 一．和角公式 1．两角和与差的余弦公式 2．两角和与差的正弦公式 3．两角和与差的正切公式 二．二倍角公式、降幂公式、辅助角公式 1．二倍角公式 （1）正弦的二倍角公式： （2）余弦的二倍角公式： （3）正切的二倍角公式： 2．两个降幂公式 ， 3．辅助角公式 == （其中和） 三．正弦型函数 1．正弦型函数的相关概念 (1)定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. (2)对函数图像的影响 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 (3)的实际意义 ①的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； ②在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； ③周期表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 2．正弦型函数的性质 (1)定义域：R (2)值域： (3)周期： (4)奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； (5)单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 4．三角函数图像变换 (1)振幅变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． (2)平移变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． (3)周期变换 要得到函数（其中且）的图像，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． (4)函数的图像经变换得到的图像的两种途径 四．解三角形 1．正弦定理: ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 适用范围：两角及一边 变形形式：(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 2．余弦定理: a＝b＋c－2bc·cos A；cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B；cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C；cos C＝ 适用范围：两边及一角、三边 3．三角形常用面积公式 (1) S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2) S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． 4．常用公式 A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C) 题型一、两角和与差的余弦公式 【例1】 （ ） A． B． C． D． 【变式1】 （ ） A． B． C． D． 【变式2】 在中，若，，则等于（ ） A． B． C． D． 题型二、两角和与差的正弦公式 【例2】 （ ） A． B． C． D． 【变式1】 （ ） A． B． C． D． 【变式2】 （ ） A． B． C． D． 题型三、两角和与差的正切公式 【例3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则（ ） A． B． C． D．3 【变式2】已知是第四象限角，且，则（ ） A． B． C． D．7 题型四、二倍角公式 【例4】 已知角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】 若，则（ ） A． B． C． D．1 【变式2】下列各式中，值不为的是（ ） A． B． C． D． 题型五、辅助角公式 【例5】计算的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（ ） A. B. C. D. 题型六、正弦型函数的图像和性质 【例6】 函数的振幅为 ， 最小正周期为 ，初相为 . 【例7】要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【变式1】 函数的最小正周期是，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】函数（其中＞0）的最小正周期为. （1）求的值； （2）求函数的最小值及取得最小值时相应的值. 【变式3】为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（ ） A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 题型七、正弦定理 【例8】在中，已知，，，则__________． 【变式1】的内角，，的对边分别为，，.若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则　 　 A． B． C． D． 题型八、余弦定理 【例9】在中,已知三边，，，满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】在中，若，，，则=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则b=（ ） A．4 B． C． D．2 题型九、面积公式 【例10】在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（ ） A． B． C． D． 【变式1】在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$