专题02 数列（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·拓展模块一下册）

专题02 数列 一．数列的概念 1．数列及其有关概念 (1) 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 3．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 4．数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 5．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 6．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 7．数列的前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 二．等差数列 1．等差数列的概念及通项 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2)等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 (4)等差数列的判定 ① (定义法); ②(中项法); ③(通项法, 一次函数); ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 2．等差数列前n项和 (1) ； (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . 3．等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． (3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 三．等比数列 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 2．等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 3．等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 4．等比数列的前项和公式 5．等比数列的性质 设等比数列的公比为 (1) 若，且，则，特别地，当时，． (2) 下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． (3) 若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； (4) 连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 题型一、数列的概念 【例1】下列叙述正确的是（       ） A．数列与是相同的数列 B．数列可以表示为 C．数列是常数列 D．数列是递增数列 【例2】已知数列，3，，…，，…，那么9在此数列中的项数是（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式1】以下说法正确的是（ ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列中的项与顺序无关 C．数列0，1，2，3，4，5，6，7，……的第八项为7 D．数列0，2，4，6，……可记为{2n} 【变式2】已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（ ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 题型二、数列前n项和Sn与an的关系 【例1】 已知数列的前n项和，则的值为（ ） A．15 B．37 C．27 D．64 【例2】数列的前项和，则 . 【变式1】已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 【变式2】若数列的前项和为，则数列的通项公式 ． 题型三、等差数列的通项公式 【例1】已知是等差数列，且，则（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 【例2】在等差数列中，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】在等差数列中，，，若，则正整数（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】已知等差数列的前三项分别为，则这个数列的通项公式为 . 题型四、等差数列的前n项和 【例1】在等差数列中，已知，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例2】已知等差数列的前项和为，若，则__________. 【变式1】已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A．90 B．135 C． D． 【变式2】记等差数列的前项和为，若，则 ． 题型五、等差数列的性质 【例1】在等差数列中，若，则 ． 【例2】等差数列中，，的前项和为，则 ． 【变式1】记为等差数列的前项和，若，则 ． 【变式2】设等差数列的前项和为，且，，则 ． 题型六、等比数列的通项公式 【例1】正项等比数列满足，，则其通项公式（     ） A． B． C． D． 【例2】在等比数列中，，，则公比的值为（     ） A．4 B． C．2 D． 【变式1】等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的通项公式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】在等比数列中，，，则（     ） A．2 B．±2 C．2或 D． 题型七、等比数列的前n项和 【例1】设首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则 （ ） A. B. C. D. 【例2】在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【变式1】设等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 题型八、等比数列的性质 【例1】正项等比数列中，，，则（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【例2】记为等比数列的前项和．若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】在等比数列中，已知 ，则_____． 【变式2】等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数列 一．数列的概念 1．数列及其有关概念 (1) 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 3．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 4．数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 5．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 6．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 7．数列的前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 二．等差数列 1．等差数列的概念及通项 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2)等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 (4)等差数列的判定 ① (定义法); ②(中项法); ③(通项法, 一次函数); ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 2．等差数列前n项和 (1) ； (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . 3．等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． (3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 三．等比数列 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 2．等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 3．等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 4．等比数列的前项和公式 5．等比数列的性质 设等比数列的公比为 (1) 若，且，则，特别地，当时，． (2) 下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． (3) 若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； (4) 连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 题型一、数列的概念 【例1】下列叙述正确的是（       ） A．数列与是相同的数列 B．数列可以表示为 C．数列是常数列 D．数列是递增数列 【答案】D 【解析】对于A，数列与不是相同的数列，故A错误； 对于B，数列可以表示为，故B错误； 对于C，数列是摆动数列，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确. 故选：D. 【例2】已知数列，3，，…，，…，那么9在此数列中的项数是（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【解析】根据题意，， 由，解得， 即9是此数列的第14项， 故选：C． 【变式1】以下说法正确的是（ ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列中的项与顺序无关 C．数列0，1，2，3，4，5，6，7，……的第八项为7 D．数列0，2，4，6，……可记为{2n} 【答案】C 【解析】数列是按一定顺序排成一列的数，和项相同与否没有关系，故AB均错误； 数列0，1，2，3，4，5，6，7，……的第八项为7，故C正确； 数列0，2，4，6，……可记为{2n－2}，n∈，故D错误， 故选：C. 【变式2】已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（ ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【解析】令，解得， 故选：C． 题型二、数列前n项和Sn与an的关系 【例1】 已知数列的前n项和，则的值为（ ） A．15 B．37 C．27 D．64 【答案】B 【解析】由题意得，， 故选：B． 【例2】数列的前项和，则 . 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 当时上式也符合，所以， 故答案为：. 【变式1】已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】， ， 故， 故选：B. 【变式2】若数列的前项和为，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，， ，也满足上式， ∴， 故答案为：6n－5． 题型三、等差数列的通项公式 【例1】已知是等差数列，且，则（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， 由得，， 则 故选：B. 【例2】在等差数列中，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】等差数列中,,， 由通项公式可得 ， 解得 ， 故选：A． 【变式1】在等差数列中，，，若，则正整数（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【解析】因为，， 所以，， 则， ，. 故选：C 【变式2】已知等差数列的前三项分别为，则这个数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】∵等差数列的前三项分别为， ∴，解得． ∴， ∴数列是以1为首项，4为公差的等差数列， ． 故答案：． 题型四、等差数列的前n项和 【例1】在等差数列中，已知，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】因为等差数列中，， 所以， 即， 解得或（舍去）， 所以， 故选：C. 【例2】已知等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】63 【解析】等差数列的首项为，公差为， 所以，， 所以， 所以，即， 所以. 故答案为：63. 【变式1】已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A．90 B．135 C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的首项为，公差为d， 因为，， 所以，， 解得，， 故， 故选：C. 【变式2】记等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】33 【解析】等差数列中，， 由得， 则公差，首项， 所以， 故答案为：33. 题型五、等差数列的性质 【例1】在等差数列中，若，则 ． 【答案】 【解析】在等差数列中， 因为， 又， 所以， 解得， 故答案为：. 【例2】等差数列中，，的前项和为，则 ． 【答案】30 【解析】在等差数列中，所以， 所以. 故答案为：30. 【变式1】记为等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】14 【解析】由等差数列的性质可知， ，即， . 故答案为：14. 【变式2】设等差数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【解析】∵是等差数列，∴、、、成等差数列， ∴， 即，解得， 又， 即，解得， 故答案为：114． 题型六、等比数列的通项公式 【例1】正项等比数列满足，，则其通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是正项等比数列，所以， 又因为，，所以， 故，所以， 故选：B. 【例2】在等比数列中，，，则公比的值为（     ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】， ， 得， ∴． 故选：A． 【变式1】等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的通项公式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，成等比数列， 则，即， 将代入计算可得或（舍）， 则通项公式为， 故选：A. 【变式2】在等比数列中，，，则（     ） A．2 B．±2 C．2或 D． 【答案】A 【解析】设的公比为q，由，则， 解得（舍去），故， 所以，. 故选：A. 题型七、等比数列的前n项和 【例1】设首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题知：， ， 所以， 故选：D. 【例2】在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， 故选：B. 【变式1】设等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】等比数列的前项和为， 由，得， 而，则有， 解得，所以. 故选：C. 【变式2】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设数列的公比为， 则，得， 解得或（舍）， 所以， 故选：A. 题型八、等比数列的性质 【例1】正项等比数列中，，，则（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【解析】因为是等比数列， 所以， 故选：D. 【例2】记为等比数列的前项和．若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】∵为等比数列的前n项和， ∴，，等成比数列， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 【变式1】在等比数列中，已知 ，则_____． 【答案】． 【解析】由等比数列的性质知成等比数列， 可得＝， 故答案为：． 【变式2】等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且为等比数列， 故为等比数列， 故， 解得， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$