方法突破31 换参法与配速法-最火爆热点再现联考试卷（蜻蜓点水与马赫锥） 讲义 -2025届高考物理二轮复习

2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法31 换参法与配速法——最火爆热点再现联考试卷 （“蜻蜓点水”与“马赫锥”） 目 录 与 提 纲 （一）换参法与“同时线” 2025年5月7日金太阳大联考第6题（理解难度：★★★★★；解题难度：★★★★★） （1）匀速波源“同时线” （2）匀速波源“最先同时线”——马赫锥 【例1】 解法1：联考所给——难以看懂的迷糊解法 解法2：函数法——不用怀疑的严谨解法 解法3：换参法—— 一看就懂的秒杀法 解法4：临界条件分析法—— 柳暗花明又一秒杀法 解法5：马赫锥（“最先同时线”）分析法—— 原来妙法这么多 （二）近年高考火爆热点“配速法” 2025年5月7日金太阳大联考第10题（理解难度：★★★★★；解题难度：★★★★★） 【例2】 综合难点与方法：聚集圆、旋转圆+放缩圆、配速法 （三）“蜻蜓点水”与“马赫锥” 1．匀速波源问题三种基本情况（波源做匀速直线运动，发出的波匀速向周围传播） ( （ 1） v 物 ＜ v 波 （ 2 ） v 物 ＝ v 波 物 （ 3 ） v 物 ＞ v 波 物 ) ( 1 2 3 1 2 3 )（1）v物＜v波：包围波纹 （2）v物＝v波：内切波纹 （3）v物＞v波：波面为马赫锥包络面 注意：波源做匀速直线运动，前方波面的包络面 才是圆锥面，而且波源一定处在锥尖处 2．与马赫锥相关的4个相似三角形及4个倍数 （1）4个相似直角三角形 （2）4个常用比例及倍数 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法31 换参法与配速法——最火爆热点再现联考试卷 （“蜻蜓点水”与“马赫锥”） （一）换参法与“同时线” 2025年5月7日金太阳大联考第6题（理解难度：★★★★★；解题难度：★★★★★）： 【例1】6．中国国产隐身战斗机歼-20是一款具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的隐形第五代制空战斗机。某次试飞过程中，歼-20飞机以2.6马赫（声音在空气中传播速度的2.6倍）的速度沿水平方向匀速飞行，已知飞机距地面的高度为4080m，声音在空气中传播的速度为340m/s，则当飞机运动轨迹正下方的人最先听到飞机声音时，飞机与人之间的距离为（ ） A．8160m B．9792m C．10608m D．11366m （1）匀速波源“同时线” 波源沿直线MN匀速运动，经A、B、C、D各点时依次发 出某种波匀速向周围传播 当波源运动到D点时，若从A点发出的波同时传到a点 连接aD，作Aa的平行线Bb、Cc、… 则从A、B、C、…各点发出的波沿这些平行线同时传到直线aD上 即A→a，A→B→b，A→C→c，…，A→D的时间都相等 证明： 因图形相似，则： 同理得： 即： 也就是说，波同时到达直线aD上，aD为一条“同时线” （注意：“同时线”在波的传播方式上有要求，一定要平行传播） ( M N A B C D a b c v 波 v 波 v 波 v 物 v 物 v 物 a ′ ) （2）匀速波源“最先同时线”——马赫锥 在“同时线”的基础上进一步分析 当波源从A点运动到D点时，从A点发出的波同 时传到图中的虚线圆上 从D点向圆引切线，切于a′点， 则a′D为满足上述规律的“同时线”， 比较Aa′与Aa可见，A→a′时间最短，波最先到达 即圆的切线为“最先同时线” ▲最先同时线在整个空间中形成一个开口向后的圆锥面，称为“马赫锥” （二）近年高考火爆热点“配速法” 2025年5月7日金太阳大联考第10题（理解难度：★★★★★；解题难度：★★★★★）： 【例2】10．如图所示，真空中直角坐标系xOy的第二、三象限内有一圆形区域，直径OP＝2L，该区域内存在垂直于坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在第一、四象限内有一矩形ABCD区域，AB＝CD＝，OA＝OD＝，该区域内存在垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场和沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场。第二象限内有一垂直y轴、宽度为2L的离子源MN，离子源在极短时间内沿y轴负方向均匀地射出速度相同的同种带电粒子，正对圆心射出的粒子经磁场偏转后恰好能沿直线OQ通过矩形区域，不计粒子受到的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是 A．带电粒子的比荷为 B．粒子从CD边离开时的速度大小为 C．Q点持续有粒子经过的时间间隔为 D．有三分之二的粒子能够到达x轴上的Q点 （三）“蜻蜓点水”与“马赫锥” ( O 1 O 2 )【例3】生活中常见“蜻蜓点水”的现象，设蜻蜓贴近水面在水平方向匀速 飞行，蜻蜓每次点水后会在水面上激起一个极细的波纹。某同学在研究蜻蜓的运 动时获得一张蜻蜓点水的俯视照片，如图所示，该照片记录了蜻蜓连续两次点水 时激起的波纹在拍照时的情形。若照片上两个圆的半径之比为3:1，波纹的圆心 就是蜻蜓点水的位置，则蜻蜓水平飞行速度大小与波速大小之比为（ ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．4:1 ( - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 m )【例4】生活中常见“蜻蜓点水”现象，设蜻蜓贴近水面在水平 方向匀速飞行，蜻蜓每次点水后会在水面上激起一个极细的波纹。某 同学在研究蜻蜓的运动时获得一张蜻蜓点水的俯视照片，如图。该照 片记录了蜻蜓连续两次点水时激起的波纹在拍照时的情形。若蜻蜓每 0.5s点一次水，波纹的圆心就是蜻蜓击水的位置。 （1）蜻蜓飞行速度 （填“大于”或“小于”）水波速度； （2）蜻蜓飞行方向是向 （选填“左”或“右”）； （3）蜻蜓飞行的速度是 m/s； （4）水波的速度是 m/s。 1．匀速波源问题三种基本情况（波源做匀速直线运动，发出的波匀速向周围传播） ( （ 1） v 物 ＜ v 波 （ 2 ） v 物 ＝ v 波 物 （ 3 ） v 物 ＞ v 波 物 ) （1）v物＜v波：包围波纹 后发出的波，总是包围在之前发出的波围成的圆形（或球形）空间范围内 最先发出的波纹形成的圆（或球）逐渐扩大 （2）v物＝v波：内切波纹 各个时刻发出的波总是相切于同一点，波源处在切点处 ( 1 2 3 1 2 3 马赫锥 与锥面相切的声波2最先到达切点 Y 而此时，之前发出的波1和之后发出的波3未到 Y 再过一段时间，波1和波3扩大，有可能同时传到 Y )后发出的波，也总是包围在之前发出的波围成 的圆形（或球形）空间范围内 由于所有时刻发出的波都在波源处相切，导致 波源相切处振动能量极高，声源（如超音速飞机） 运动突破声速时，就会在声源处产生音爆现象 （3）v物＞v波：波面为马赫锥包络面 当波源运动速度大于波速时，前方波面的包络 面呈圆锥状，称为马赫锥（平面传播的波，如水面 上的水波，形成的是一个锥角），波源总是处在圆 锥的锥尖上，波源向前运动时，这个圆锥的锥角保 持不变，整个圆锥跟随波源向前运动，圆锥的后方 不断扩大。所有时刻发出的波，都是同时传播到圆 锥最外面的锥面上。 圆锥的半锥角（称为马赫角）θ： 注意：波源做匀速直线运动，前方波面的包络面才是圆锥面，而且波源一定处在锥尖处 【例5】 ( 1 2 3 4 5 )在广阔平静的湖面上，一只蜻蜓沿直线飞行掠过湖面， 依次在1、2、3、4、5五个位置“点水”，每一次点水形成一圈细 小的圆形波纹向外传播。如图是刚好在位置5点水时竖直向下拍下 的一张照片，从照片发现五个点水位置间隔不均匀，但圆形波纹的 公共切线是直线且都过点水位置5。下列说法正确的有（ ） A．五个点水位置间隔不均匀，说明蜻蜓在做变速飞行，飞到 5位置时速度正好为0 B．圆形波纹的公共切线为直线且过位置5，说明蜻蜓在做匀速 飞行，点水位置间隔不均匀，是因为点水的时间间隔不均匀 C．蜻蜓匀速飞行，且根据照片可得飞行速度约为水波传播速度的3倍 D．随着时间的推移，每一圈圆形波纹对应的圆心位置1、2、3、4、5也都是跟着蜻蜓向前运动的 ( 1 2 3 4 )【例6】在广阔平静的湖面上，一只蜻蜓沿直线飞行掠过湖面， 依次在1、2、3、4四个位置“点水”，每一次点水形成一圈细小的 圆形波纹向外传播。如图是刚好在位置4点水时竖直向下拍下的一 张照片，三个圆形波纹正好依次相外切连成一串，且三个圆的半径 之比为3:2:1。下列说法正确的有（ ） A．蜻蜓不可能是匀速飞行 B．蜻蜓有可能是匀速飞行，点水的时间间隔之比为5:3:1 C．蜻蜓有可能是匀减速飞行，该情况下点水的时间间隔相同 D．若蜻蜓是匀减速飞行，飞到位置4时速度正好减为0 2．与马赫锥相关的4个相似三角形及4个倍数 ( v 波 D A B C v 物 E F θ θ θ 马赫角 )如图所示，波源沿AB匀速运动，波源速度v物等于波速v波的k倍（k＞1），发出的波形成马赫锥 （1）4个相似直角三角形 速度矢量△EAF∽△DAC∽△DCB∽△CAB （2）4个常用比例及倍数 三角形相似对应边成比例，则： 可能需要用到的4个倍数： 、、、 【例7】在大广场上儿童们做一个夺旗游戏。一辆电动观光汽车载着几个小朋友从O点出发沿直轨道OP做匀速直线运动，车速v1＝3.4m/s，小旗子的位置如图所示。在行车过程中，小朋友自行决定从何处下车（不计下车时间及对车行驶的影响），下车后都以大小v2＝1.6m/s的向着旗子做匀速直线运动。 （1）为能最先到达旗子位置夺得小旗，应在汽车出发后多远下车？ （2）在以最短时间夺得旗子时，汽车行驶了多远？ （3）在以最短时间夺得旗子的情况下，从汽车出发到夺得小旗共用多长时间？ ( O P A B 小旗 115 m 120 m ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法31 换参法与配速法——最火爆热点再现联考试卷 （“蜻蜓点水”与“马赫锥”） （一）换参法与“同时线” 2025年5月7日金太阳大联考第6题（理解难度：★★★★★；解题难度：★★★★★）： 【例1】6．中国国产隐身战斗机歼-20是一款具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的隐形第五代制空战斗机。某次试飞过程中，歼-20飞机以2.6马赫（声音在空气中传播速度的2.6倍）的速度沿水平方向匀速飞行，已知飞机距地面的高度为4080m，声音在空气中传播的速度为340m/s，则当飞机运动轨迹正下方的人最先听到飞机声音时，飞机与人之间的距离为（ ） A．8160m B．9792m C．10608m D．11366m 【答案】C 解法1：联考所给——难以看懂的迷糊解法 ( v 2 v 1 v 1 t 2 v 2 t 1 人 v 2 t 2 h d O A B C t 时间 t 1 时间 t 2 0 - t 1 t 时间 t 时刻 → ) 解法2：函数法——不用怀疑的严谨解法 声速设为v1，飞机速度v2＝2.6v1，h＝4080m 如图所示 取飞机经过人位置C的正上方O点时作为0时刻 设飞机从A点飞到O点所用时间为t1 设飞机从A点发出的声音传到人耳所用时间为t2 声音传到人耳时设飞机到达了B点 则人听到声音的时刻 将t视为关于变量t1的函数，人耳最先听到声音，就是函数t取得最小值 即t对t1的导数为0，也就是： 则： （飞机从A到B的时间t2，等于声波从A到C的时间t2，速度为2.6倍，所以位移也为2.6倍） （人最先听到声音时，人与飞机间的距离），C正确 ( - v 2 v 1 人 h d A B C θ θ v 2 - v 2 飞机 声波 v 相 ) 解法3：换参法—— 一看就懂的秒杀法 取飞机飞经图中A点时发出的声波分析 以飞机为参考系，声波因飞机运动具有速度-v2 同时因自身传播具有速度v1 将-v2与v1按图中方式合成得声波对飞机的相对速度v相 人对飞机也具有速度-v2 也就是人相对于飞机以速度-v2沿地面运动 当人与声波相遇于B点时，人听到声音。 人最先听到声音，则声波传到地面相对于飞机传播的路程AB应最短，即图中θ角应最大 所以v相应与虚线圆相切， 则，C正确 ( v 2 v 1 v 1 t 2 人 v 2 t 2 h d O A B C v 2 θ θ )解法4：临界条件分析法—— 柳暗花明又一秒杀法 飞机飞行轨迹上必然存在一个位置A， 飞机经A点时，速度v2沿PC方向的 分量等于声速v1， 而这个分量会使声波传给人的时间提前， 但飞机继续飞行发出声波的时间又要滞后， 而v2沿PC方向的分量等于声速v1， 因而提前和滞后的效果正好抵消， 因而A点就是声波最先传到人耳的临界点， 此时图中 △ABC与过A点的速度矢量三角形中，，则两个三角形相似， 所以，C正确 ( M N A B C D a b c v 波 v 波 v 波 v 物 v 物 v 物 )解法5：马赫锥（“最先同时线”）分析法—— 原来妙法这么多 ▲先推导介绍两条重要的二级结论 （1）匀速波源“同时线” 波源沿直线MN匀速运动，经A、B、C、D各点时依次发 出某种波匀速向周围传播 当波源运动到D点时，若从A点发出的波同时传到a点 连接aD，作Aa的平行线Bb、Cc、… 则从A、B、C、…各点发出的波沿这些平行线同时传到直线aD上 即A→a，A→B→b，A→C→c，…，A→D的时间都相等 证明： 因图形相似，则： 同理得： 即： 也就是说，波同时到达直线aD上，aD为一条“同时线” ( M N A B C D a b c v 波 v 波 v 波 v 物 v 物 v 物 a ′ )（注意：“同时线”在波的传播方式上有要求，一定要平行传播） （2）匀速波源“最先同时线”——马赫锥 在“同时线”的基础上进一步分析 当波源从A点运动到D点时，从A点发出的波同 时传到图中的虚线圆上 从D点向圆引切线，切于a′点， 则a′D为满足上述规律的“同时线”， 比较Aa′与Aa可见，A→a′时间最短，波最先到达 即圆的切线为“最先同时线” ▲最先同时线在整个空间中形成一个开口向后的圆锥面，称为“马赫锥” ( v 2 v 1 C A B h d θ D (人） )下面用“最先同时线”分析联考第6题 用速度代表位移作图，引圆的切线得“最先同时线”BC 将离飞机高度为h的地面引入图中， 地面与同时线的交点C即为人所在位置， 人位于C点，飞机经A发出的声波最先传给人 声波传到C点时飞机到达B点，BC距离即为所求： ( θ v 2 v 1 θ h d C （人） A B )，C正确 也可用右下图方式作图： 先利用“最先同时线”规律确定声波最先传给人时 声波的传播方向，再延长到与地面相交得人的位置 （二）近年高考火爆热点“配速法” 2025年5月7日金太阳大联考第10题（理解难度：★★★★★；解题难度：★★★★★）： 【例2】10．如图所示，真空中直角坐标系xOy的第二、三象限内有一圆形区域，直径OP＝2L，该区域内存在垂直于坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在第一、四象限内有一矩形ABCD区域，AB＝CD＝，OA＝OD＝，该区域内存在垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场和沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场。第二象限内有一垂直y轴、宽度为2L的离子源MN，离子源在极短时间内沿y轴负方向均匀地射出速度相同的同种带电粒子，正对圆心射出的粒子经磁场偏转后恰好能沿直线OQ通过矩形区域，不计粒子受到的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是 A．带电粒子的比荷为 B．粒子从CD边离开时的速度大小为 C．Q点持续有粒子经过的时间间隔为 D．有三分之二的粒子能够到达x轴上的Q点 【答案】AC 【解析】聚焦圆、配速法 A：据题意可知，带电粒子在圆形磁场中为磁聚焦模型，做圆周运动的轨道半径R＝L 设粒子质量为m，电荷量为q（分析知粒子带正电），在二、三象限运动速率为v0，则： 沿直线OQ运动的粒子受力平衡，则 联立解得：，比荷，选项A正确； B：粒子从CD边离开时设速度大小为v， 据动能定理得： 解得：，选项B错误； C：用配速法 粒子从O点进入右边矩形区域内的速率均为v0，方向在右边整个180°范围内 将粒子通过O点进入右边的初速度v0分解为沿OQ方向的分速度v0和另一个分速度v1（或v2） 其中沿OQ方向的分速度v0因受电场力与洛伦兹平衡而沿OQ方向做匀速直线运动， 运动时间 另一分速度因受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动， 运动周期 由此可见，只要粒子未从上、下及左边离开矩形区域，粒子转一圈后就必然从Q点离开 ( v 0 (真实速度) v 0 v 2 =v 0 R=L O v 0 v 0 (真实速度) v 1 =v 0 R=L O （1） （2） （1） （2） 真实轨迹 配速法分解轨迹 （1） （2） ) （1）斜向下进入矩形区域的临界条件，是圆轨迹与DC相切 轨道半径R＝L，在左边圆形磁场中圆弧运动的圆心角为30° （2）斜向上进入矩形区域的临界条件，是圆轨迹也与DC相切 ( v 0 v 0 v 2 = v 0 )轨道半径R＝L，在左边圆形磁场中圆弧运动的圆心角为150° ▲还需要分析两点： ①上面两种情况下粒子会不会从左边界AD离开右边的矩形区域 因总具有沿OQ向右的速度v0，而v1与v2沿OQ方向的分量总不大于v0 所以粒子总是向右运动的，不会从左边界离开 ②斜向上进入的粒子会不会从上边界AB离开 分速度v2的最大值为v0，轨道半径也为L＜ 且圆心在中心线以下，所以粒子不会从上边界离开 （1）与（2）两种边界情况之间的所有粒子都从Q点离开，且只有在圆形磁场中的运动时间不同 则粒子经过Q点持续的时间，就等于（1）与（2）两种边界粒子在圆形磁场中的运动时间差 它们的轨迹圆心角之差为150°－30°＝120°，即相差在圆形磁场中的周期 由些得持续时间，C正确 D：由几何关系，易得能够到达Q点的粒子所占比例，D错误 （三）“蜻蜓点水”与“马赫锥” ( O 1 O 2 )【例3】生活中常见“蜻蜓点水”的现象，设蜻蜓贴近水面在水平方向匀速 飞行，蜻蜓每次点水后会在水面上激起一个极细的波纹。某同学在研究蜻蜓的运 动时获得一张蜻蜓点水的俯视照片，如图所示，该照片记录了蜻蜓连续两次点水 时激起的波纹在拍照时的情形。若照片上两个圆的半径之比为3:1，波纹的圆心 就是蜻蜓点水的位置，则蜻蜓水平飞行速度大小与波速大小之比为（ ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．4:1 【答案】B 【解析】 设大圆的半径为R1，小圆的半径为R2； 根据图示，蜻蜓连续两次点水过程中激起的波纹，圆圈越小，时间越短，所以飞行方向为从大圆到小圆； 若蜻蜓飞行的速度和水波的速度相同，那么蜻蜓的每一次点水的时候都会是在上一个水波的边线上， 而第二个水波和第一个水波都在以相同的速度运动，所以每个圆都应该是相内切的。 题图则说明蜻蜓飞行的速度比水波的速度大； 水波传递的速度相同，由图可知，当蜻蜓飞到O2时，水波传递的路程为R1-R2； 蜻蜓飞过的距离为R1+R2， 由于它们所用的时间相同，两个圆的半径比为R1:R2＝3:1，即R1＝3R2； 则蜻蜓水平飞行速度大小与波速大小之比:＝:＝2:1，B正确 ( - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 m )【例4】生活中常见“蜻蜓点水”现象，设蜻蜓贴近水面在水平 方向匀速飞行，蜻蜓每次点水后会在水面上激起一个极细的波纹。某 同学在研究蜻蜓的运动时获得一张蜻蜓点水的俯视照片，如图。该照 片记录了蜻蜓连续两次点水时激起的波纹在拍照时的情形。若蜻蜓每 0.5s点一次水，波纹的圆心就是蜻蜓击水的位置。 （1）蜻蜓飞行速度 （填“大于”或“小于”）水波速度； （2）蜻蜓飞行方向是向 （选填“左”或“右”）； （3）蜻蜓飞行的速度是 m/s； （4）水波的速度是 m/s。 【答案】（1）大于；（2）右；（3）2.5m/s；（3）1.5m/s 1．匀速波源问题三种基本情况（波源做匀速直线运动，发出的波匀速向周围传播） ( （ 1） v 物 ＜ v 波 （ 2 ） v 物 ＝ v 波 物 （ 3 ） v 物 ＞ v 波 物 ) （1）v物＜v波：包围波纹 后发出的波，总是包围在之前发出的波围成的圆形（或球形）空间范围内 最先发出的波纹形成的圆（或球）逐渐扩大 （2）v物＝v波：内切波纹 各个时刻发出的波总是相切于同一点，波源处在切点处 ( 1 2 3 1 2 3 马赫锥 与锥面相切的声波2最先到达切点 Y 而此时，之前发出的波1和之后发出的波3未到 Y 再过一段时间，波1和波3扩大，有可能同时传到 Y )后发出的波，也总是包围在之前发出的波围成 的圆形（或球形）空间范围内 由于所有时刻发出的波都在波源处相切，导致 波源相切处振动能量极高，声源（如超音速飞机） 运动突破声速时，就会在声源处产生音爆现象 （3）v物＞v波：波面为马赫锥包络面 当波源运动速度大于波速时，前方波面的包络 面呈圆锥状，称为马赫锥（平面传播的波，如水面 上的水波，形成的是一个锥角），波源总是处在圆 锥的锥尖上，波源向前运动时，这个圆锥的锥角保 持不变，整个圆锥跟随波源向前运动，圆锥的后方 不断扩大。所有时刻发出的波，都是同时传播到圆 锥最外面的锥面上。 圆锥的半锥角（称为马赫角）θ： 注意：波源做匀速直线运动，前方波面的包络面才是圆锥面，而且波源一定处在锥尖处 【例5】 ( 1 2 3 4 5 )在广阔平静的湖面上，一只蜻蜓沿直线飞行掠过湖面， 依次在1、2、3、4、5五个位置“点水”，每一次点水形成一圈细 小的圆形波纹向外传播。如图是刚好在位置5点水时竖直向下拍下 的一张照片，从照片发现五个点水位置间隔不均匀，但圆形波纹的 公共切线是直线且都过点水位置5。下列说法正确的有（ ） A．五个点水位置间隔不均匀，说明蜻蜓在做变速飞行，飞到 5位置时速度正好为0 B．圆形波纹的公共切线为直线且过位置5，说明蜻蜓在做匀速 飞行，点水位置间隔不均匀，是因为点水的时间间隔不均匀 C．蜻蜓匀速飞行，且根据照片可得飞行速度约为水波传播速度的3倍 D．随着时间的推移，每一圈圆形波纹对应的圆心位置1、2、3、4、5也都是跟着蜻蜓向前运动的 【答案】BC 【解析】 AB：根据波传播马赫锥规律，可知A错误B正确； C：蜻蜓从1位置飞到5位置，1到5的距离为蜻蜓飞行的距离 与此同时，1位置发出的水波传到圆锥面上，对应的半径为水波传播的距离 通过对图片实际测量，可得C正确； D：在一个位置点水后，水波的圆形波纹以点水处为圆心不断向外扩大，圆心位置不变，D错误。 ( 1 2 3 4 )【例6】在广阔平静的湖面上，一只蜻蜓沿直线飞行掠过湖面， 依次在1、2、3、4四个位置“点水”，每一次点水形成一圈细小的 圆形波纹向外传播。如图是刚好在位置4点水时竖直向下拍下的一 张照片，三个圆形波纹正好依次相外切连成一串，且三个圆的半径 之比为3:2:1。下列说法正确的有（ ） A．蜻蜓不可能是匀速飞行 B．蜻蜓有可能是匀速飞行，点水的时间间隔之比为5:3:1 C．蜻蜓有可能是匀减速飞行，该情况下点水的时间间隔相同 D．若蜻蜓是匀减速飞行，飞到位置4时速度正好减为0 【答案】ACD 【解析】 AB：若波源为匀速直线运动，过波源所在位置4应能作出各圆形波纹的公共切线，显然A正确B错误； CD：三个圆的半径之比为3:2:1，则形成圆形波纹所用时间之比也为3:2:1，由此可得相邻两次点水的时间间隔相同 三个圆的半径之比为3:2:1，则相邻点水位置之间的距离之比为（3+2）:（2+1）:1＝5:3:1 若为匀减速直线，用逆向法，正好符合初速为0的匀加速度直线运动的比例规律，所以到达4位置时蜻蜓速度为0 故C正确，D正确 2．与马赫锥相关的4个相似三角形及4个倍数 ( v 波 D A B C v 物 E F θ θ θ 马赫角 )如图所示，波源沿AB匀速运动，波源速度v物等于波速v波的k倍（k＞1），发出的波形成马赫锥 （1）4个相似直角三角形 速度矢量△EAF∽△DAC∽△DCB∽△CAB （2）4个常用比例及倍数 三角形相似对应边成比例，则： 可能需要用到的4个倍数： 、、、 【例7】在大广场上儿童们做一个夺旗游戏。一辆电动观光汽车载着几个小朋友从O点出发沿直轨道OP做匀速直线运动，车速v1＝3.4m/s，小旗子的位置如图所示。在行车过程中，小朋友自行决定从何处下车（不计下车时间及对车行驶的影响），下车后都以大小v2＝1.6m/s的向着旗子做匀速直线运动。 （1）为能最先到达旗子位置夺得小旗，应在汽车出发后多远下车？ ( O P A B 小旗 115 m 120 m )（2）在以最短时间夺得旗子时，汽车行驶了多远？ （3）在以最短时间夺得旗子的情况下，从汽车出发到夺得小旗共用多长时间？ 【答案】（1）51m；（2）340m；（3）100s 【解析】用马赫锥规律秒解 最先夺得小旗，符合马赫锥规律 倍数 勾股数：172-82＝152，即直角开角形三边长度之比为8:15:17 ( O P A B 小旗 115 m 120 m C D )（1）则下车点C满足： 所以OC＝OB－BC＝51m （2）以最快方式夺得旗子时，汽车行驶到D处，则 所以OD＝OB+BD＝115+225＝340（m） （3）所求时间 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$