专题01 集合 （讲义）- 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第1个专题集合。本专题涵盖概念及其表示、集合间的基本关系、集合间的基本运算等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3) 五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 知识点1 元素与集合 1．（2020年河北）下列集合中不是空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解每个集合中的元素即可判断. 【详解】对于A，由可得：且，有1个元素，故A不是空集； 对于B，即，该方程无解，故是空集； 对于C，恒成立，故是空集； 对于D，即空集的符号表示. 故选：A. 2．（2024年河南）已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分析集合的元素，根据元素与集合的关系进行判断. 【解析】∵集合，故集合A的元素有，，. 则，，，，即ABD正确. 不是集合A的元素，故. 故选：C. 3．（2025年河北样卷）下列关系正确的是（ ） A． 3 N B． 0.5 Z C. D． π R 【答案】D 【解析】本题考查集合与元素之间的关系， A选项：-3不是自然数，错误。 B选项：0.5不是整数，错误。 C选项： 不是有理数，错误。 D选项：π是实数，正确。 故答案为：D. 4．（2024年新疆）若集合，则下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，即可求解. 【详解】因为集合， 所以，，，， 即选项ABD错误，选项C正确， 故选：C. 5．（2024年全国模拟）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案. 【详解】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4. 故选：C. 1．己知集合，则下列结论正确的是（ ） A．集合M中共有2个元素 B．集合M中共有2个相同元素 C．集合M中共有1个元素 D．集合M为空集 【答案】D 【解析】，其中从而方程无解，即集合M为空集． ∴答案选D． 2．设集合，则下列结论正确的是（ ） A. B． C. D. 【答案】C 【解析】本题考查集合与元素之间的关系，集合之间的关系. A选项：是集合，而0是元素，集合与元素要用或者进行连接，错误。 B选项：有元素而没有元素，不能用等号连接，元素与元素要用或者进行连接，错误。 C选项：是集合，而0是元素，中有0这个元素，集合与元素要用或者进行连接，正确。 D选项：同B选项，错误。 故答案为：C. 3．集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举法表示集合，可得解. 【详解】，该集合中的元素有个， 故选：B. 4．设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的概念求解即可. 【详解】因为集合， 所以集合. 故选：D. 6. 集合中的最小整数为 . 【答案】 【分析】根据含绝对值的不等式求解化简集合，进而求解即可； 【详解】因为，所以，即， 故集合， 所以集合中的最小整数为, 故答案为： 7．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 8．下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合与元素，集合与集合之间的关系即可求解 【详解】对A: 为自然数集，为整数集，所以，故A正确； 对B：为有理数集，为无理数，所以，故B错误； 对C: 没有任何元素，所以，故C错误； 对D：为自然数集，所以，故D错误. 故选：A. 9．若为一个集合，则a的取值范围是 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性求解即可. 【详解】因为为一个集合， 所以，即， ，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 10．设集合，则集合 ． 【答案】 【分析】由得的取值，求出所有满足题意的即可. 【详解】因为，所以， 解得，又， 则.即 故答案为：. 知识点2 集合间的基本关系 1．（2019年河北）设集合，则集合的子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】列出集合的子集即可求解. 【详解】因为集合， 所以集合A的子集有，共8个. 故选：D. 2. （2024年湖北）已知集合，，记，则中元素的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】因为集合，，所以，所以中元素的个数是， 故选：. 3.（2023年重庆）与集合相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查集合的相等关系。 两集合相等要求两个集合的元素完全相同，所以对于 故选D 4．（2022年山东）已知集合，，若，则实数的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合之间包含关系直接求得. 【详解】若,集合中元素一定在集合中， 因为,所以, 又因为,所以. 故选：A. 5．（2023年宁夏）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系进行求解即可. 【详解】对于A选项：集合与元素不能相等，故错误； 对于B选项：集合与集合之间应该为，，不能用，故错误； 对于C选项：空集是任何集合的子集，故C选项正确； 对于D选项：元素和集合之间不能用，，故错误； 故选：C. 1．集合{0,1}的所有子集为：( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查集合的子集. 因为{0,1}的子集应有个，只有D选项符合。 故答案为：D. 2．下列集合中是集合的子集是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查集合的子集. 由题可知，只要是这个集合的子集就行，因为，所以集合取的正整数，即：1，2.所以只有B选项符合。 故答案为：D. 3．已知集合，，且，则满足条件的实数x的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合间的包含关系写出等式，再由集合中元素的互异性即可解得. 【详解】∵，∴或， 当时，或， 其中当时，不满足集合M中元素的互异性，故舍去； 当时，，均满足题意， ∴满足条件的实数x的个数为3． 故选：C. 4．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合关系的表示及子集的概念判断. 【详解】A，，故A错误； B，是集合中的元素，，故B错误； C，因为，所以，故C正确； D，，故D错误. 故选：C. 5．若集合，，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据相等集合的概念即可解答. 【详解】已知集合，， 由，可得， 故选：A. 6．已知集合，则A的子集的个数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集个数的公式，即可求解. 【详解】由题意知集合， 所以集合A的子集2个数是个. 故选：D. 7．下列集合中是集合的子集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合中的元素，求出集合的所有子集，即可得出结论. 【详解】集合， 其子集有，只有B选项符合题意， 故选：B. 8．已知集合，则集合的子集和真子集的个数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据含有个元素的集合，其子集个数为个和真子集个数为个可得答案． 【详解】集合含有个元素，其子集个数为个， 真子集的个数为个. 故选：C. 9．集合，，若，则实数a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．2或3 【答案】C 【分析】利用集合包含关系得到元素的值，从而得解. 【详解】因为，，， 所以是集合中的元素，故. 故选：C. 10．下列集合中表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相等集合的概念逐个分析即可. 【详解】中元素为不同的点，则，故A错误， 中元素相同，则，故B正确， 中元素为点，中元素为实数， 则，故C错误， 中的元素会存在负数，而中元素均为正数， 则，故D错误， 故选：B. 知识点3 集合的基本运算 1．（2024年河北对口高考）设集合，集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式求出集合，再由并集的概念运算即可. 【详解】已知集合， 集合，则， 故选：C. 2．（2023年河北对口高考）设集合M=，N=，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解一元二次方程可以求出集合N，再根据集合并集运算易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C 3．（2022年河北对口高考）已知全集，，则集合M的补集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】已知全集，， 根据补集的定义可知：补集中的元素x满足且 所以集合M的补集为. 故选：B 4．（2021年河北对口高考）设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算结合集合的表示即可求解. 【详解】因为，， 根据交集的运算性质可得. 故选:B. 5．（2024云南）设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合E、F，联立方程，得到方程组的解，并根据交集的概念求解. 【详解】因为集合，集合， 联立方程,解得， 所以则. 故选：C. 1．已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】集合，集合， 则， 故选：B. 2. 设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={5}，则(CuA)UB=（ ） A. {5} B. {3,4,5} C. {3,4} D. {1,2,5} 【答案】B 【分析】集合的补集与并集 【详解】 ，则 3．已知集合，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查集合的并集运算. 有Vim图可知，A选项正确， 故答案为：A. 4．已知集合M＝{1，3}，N＝{1﹣a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B 【解析】∵M＝{1，3}，N＝{1﹣a，3}，M∪N＝{1，2，3}， ∴1﹣a＝2，解得a＝﹣1． 故选：B． 5. 已知集合M＝{x|1<x<5}，N＝{x|－2<x<2}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|－2<x<2} C．{x|－2<x<5} D．{x|1<x<2} [答案] D [详解] 如图所示，M∩N即为集合M与集合N的公共部分构成的集合，∴M∩N＝{x|1<x<2}． 6．设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】考查集合的并集的定义。 【解析】由的定义知，集合的所有元素为,则=。∴选D. 7. 已知集合，，且，则( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【分析】并集定义 【详解】 则 或 8．若集合A＝{2，3，a}，B＝{1，4}，且A∩B＝{4}，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案］D [详解] ∵A∩B＝{4}，∴4∈A，∴a＝4. 故选：D. 9．设集合，，则下面选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由绝对值不等式求出集合，再由交集、并集的定义判断即可. 【详解】由，可解得， 则，又， 故，故A项正确，B项错误； ，故C项错误，D项错误. 故选：A. 10. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合与,再进行集合的交集运算易得答案. 【详解】因为, , 所以. 故选:B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第1个专题集合。本专题涵盖概念及其表示、集合间的基本关系、集合间的基本运算等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A， 或 ，二者必居其一． (3) 五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 　，Q表示 　，R表示实数集． (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都 A B 子集 A中的任意一个元素都是 A B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素 A B 注意：(1)空集用 表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为 ，非空真子集的个数为 . (3)空集是任何集合的子集，是任何 的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A C． 3.集合的基本运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 知识点1 元素与集合 1．（2020年河北）下列集合中不是空集的是（ ） A. B. C. D. 2．（2024年河南）已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 3．（2025年河北样卷）下列关系正确的是（ ） A． 3 N B． 0.5 Z C. D． π R 4．（2024年新疆）若集合，则下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（2024年全国模拟）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．己知集合，则下列结论正确的是（ ） A．集合M中共有2个元素 B．集合M中共有2个相同元素 C．集合M中共有1个元素 D．集合M为空集 2．设集合，则下列结论正确的是（ ） A. B． C. D. 3．集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 4．设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6. 集合中的最小整数为 . 7．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 8.下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若为一个集合，则a的取值范围是 ．（用区间表示） 10.设集合，则集合 ． 知识点2 集合间的基本关系 1．（2019年河北）设集合，则集合的子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2. （2024年湖北）已知集合，，记，则中元素的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3.（2023年重庆）与集合相等的是（ ） A. B. C. D. 4.（2022年山东）已知集合，，若，则实数的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（2023年宁夏）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 1．集合{0,1}的所有子集为：( ) A. B. C. D. 2.下列集合中是集合的子集是 A. B. C. D. 3. 已知集合，，且，则满足条件的实数x的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若集合，，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知集合，则A的子集的个数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 7．下列集合中是集合的子集的是（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，则集合的子集和真子集的个数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．集合，，若，则实数a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．2或3 10．下列集合中表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 知识点3 集合的基本运算 1．（2024年河北对口高考）设集合，集合，那么（ ） A. B. C. D. 2.（2023年河北对口高考）设集合M=，N=，则（ ） A. B. C. D. 3. （2022年河北对口高考）已知全集，，则集合M的补集为（ ） A. B. C. D. 4.（2021年河北对口高考）设集合，，则（ ） A. B. C. D. 5．（2024云南）设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={5}，则(CuA)UB=（ ） A. {5} B. {3,4,5} C. {3,4} D. {1,2,5} 3.已知集合，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 4.已知集合M＝{1，3}，N＝{1﹣a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 5. 已知集合M＝{x|1<x<5}，N＝{x|－2<x<2}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|－2<x<2} C．{x|－2<x<5} D．{x|1<x<2} 6.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，且，则( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8．若集合A＝{2，3，a}，B＝{1，4}，且A∩B＝{4}，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 9.设集合，，则下面选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$