专题02 集合综合与充分必要条件（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第2个专题集合综合与充分必要条件。本专题涵盖集合综合、充分必要条件知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 充分必要条件（讲义） 一、集合 1.元素与集合 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 3.集合的基本运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 二、充分必要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为 ， 简称条件；称 q 为 ，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 　条件，q是p的 　条件 p是q的 　条件 p⇒q且qp p是q的 　条件 pq且q⇒p p是q的 　条件 p⇔q p是q的 　条件 pq且qp 知识点1 集合的综合问题 1.（2024年河北）集合，假设，且，求的所有值组成的集合. 2. （2023年河北）已知集合集合，若求a的取值范围. 3.（2022年河北）设集合，，且，求实数a的取值范围. 4．（2021年河北）设集合，，若，，求的值. 5．（2020年河北）设集合，，若为某个实数，求． 1.设集合，，求A∩B. 2.设，，求. 3.设集合，若，求的取值范围. 4.已知集合 若，求实数m的取值范围. 5.已知集合，若，且，求的所有值组成的集合. 6.已知集合，且，求 7. 已知集合，，且，求m的取值范围. 8.已知集合，，其中，如果，求实数的取值范围. 知识点2 充分必要条件 【考点1】与集合有关 1. （2024年河北）“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. （2020年河北）. 设A、B为两个集合，则是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点2】与三角函数有关 3. （2023年河北）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点3】与初中知识有关 4. （2022年河北）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.（2021年河北）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1. 与“”等价的命题是（    ） A． B．且 C．或 D．， 2. 下列关于不等式的命题中，为真命题的是（    ） A． B． C． D． 3.命题“是8的倍数”是命题“是4的倍数”的（ ） A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.命题“关于的方程有实根”是命题“”的（ ） A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.设，，，是实数，则“，，，成等差数列”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 9.使不等式成立的充分条件为（ ） A. B. C. D. 10．“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第2个专题集合综合与充分必要条件。本专题涵盖集合综合、充分必要条件知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 充分必要条件（讲义） 一、集合 1.元素与集合 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 3.集合的基本运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 二、充分必要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 知识点1 集合的综合问题 1.（2024年河北）集合，假设，且，求的所有值组成的集合. 【答案】 【解析】【分析】分类考虑和，根据方程根的情况，结合即可求解. 【详解】因为，又， 当时，方程变为，解为，即，满足， 当，方程的判别式，得到， 又，所以， 所以的所有值组成的集合为 2.（2023年河北）已知集合集合，若求a的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由可知A、B有重合部分，然后利用集合端点值间的关系列不等式得答案. 【详解】， ， 因为，则， 所以或，且， 即或，且，所以. 故a的取值范围为：. 3.（2022年河北）设集合，，且，求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由可知无解，即可解答. 【详解】由题分析可知，若那么方程组无解， 即无解， 即，那么有， 解得. 4．（2021年河北）设集合，，若，，求的值. 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再结合集合的交集和并集求出集合，根据一元二次不等式和一元二次方程的关系求出对应方程的两根，结合二次方程根与系数的关系求出，最后代入所求式子，利用对数的运算即可求解. 【详解】由或， 所以或， 又因为，，所以， 即和是方程的两根， 由二次方程根与系数的关系可知，即， 所以. 5．（2020年河北）设集合，，若为某个实数，求． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】解绝对值不等式得到，分类讨论集合，再根据交集的定义运算即可. 【详解】由知，或，故， 若，则，所以． 当时，由得，即，且． 所以，当，即时，． 当，即时，． 1.设集合，，求A∩B. 【分析】本题考查集合的交集运算. 【解析】因为，解得 而，有，，解得 所以。 2.设，，求. 【分析】本题考查集合的交集运算. 【解析】因为，解得 而，有，，解得 所以。 3.设集合，若，求的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，再由集合的并集结果求解参数即可. 【详解】因为集合或. 集合. 又因为集合. 所以，解得. 所以的取值范围为. 4.已知集合 若，求实数m的取值范围. 【解析】解不等式得， 所以由解得或， 所以. 又因为， ，. 5.已知集合，若，且，求的所有值组成的集合. 解：（1）当时， （2）当时，欲使，须使方程有两个相等的实根或两个不等的实根， 即，解得. 又，且，故，，. 综上所述，的取值集合为. 6.已知集合，且，求 解： 7. 已知集合，，且，求m的取值范围. 【答案】 【解析】 【详解】解:解不等式，得或， 所以 当m0时，由得B=R.不合题意: 当m>0时,解不等式,得， 所以， 因为，所以，所以，解得. 所以m取值范围是. 8.已知集合，，其中，如果，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】结合题意分类讨论为空集和不是空集的情况，结合一元二次方程根与系数的关系即可得解. 【详解】由得，，， ，， ①当时，，解得， ②当或时，，解得， 当时，，解得，此时，符合题意； ③当时，，此不等式组无解； 综上所述，实数的取值范围是 知识点2 充分必要条件 【考点1】与集合有关 1. （2024年河北）“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判定. 【详解】解：若,则,反之若,则成立, 即是的充要条件. 故选：C 2. （2020年河北）. 设A、B为两个集合，则是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的关系和交集的运算和充要条件的概念分析即可. 【详解】因为A、B为两个集合， 所以由，可以得出集合A为集合B的子集，，所以充分性成立， 由，可以得出，所以必要性成立， 综上，是“”的充要条件. 故选：C. 【考点2】与三角函数有关 3. （2023年河北）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数值求角和特殊角的三角函数值来进行判断. 【详解】因为当时，或， 而当时，成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【考点3】与初中知识有关 4. （2022年河北）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件,必要条件的定义及平行四边形与菱形的性质即可得解. 【详解】因为菱形是特殊的平行四边形. 所以四边形是平行四边形四边形是菱形,不成立. 四边形是菱形四边形是平行四边形,成立. 所以为必要不充分条件. 故选:. 5.（2021年河北）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式条件判断充分必要性即可求解. 【详解】若，则，所以充分性具备， 若，则，所以必要性不具备， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 1. 与“”等价的命题是（    ） A． B．且 C．或 D．， 【答案】C 【分析】由推出或，逐项判断即可得解. 【详解】因为，则或， 选项，且，为的一种特殊情况，与命题不等价，故错误， 选项，且，为的一种特殊情况，与命题不等价，故错误， 选项，或，与命题等价，故正确， 选项，，为为的部分情况，与命题不等价，故错误， 故选：. 2. 下列关于不等式的命题中，为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质可判断B正确，取特殊值，可排除A、C、D. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，根据不等式的基本性质可知，，故B正确； 对于C，取，满足，但，故C错误； 对于D，取，满足，但，故D错误. 故选：B. 3.命题“是8的倍数”是命题“是4的倍数”的（ ） A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】本题考查命题的充要条件. 【解析】举例命题“是8的倍数”中，，而命题“是4的倍数”中， 有，所以小范围推大范围，条件能推结论，结论不能推条件，因此命题“”是命题“”的必要而不充分条件 故选C 4.命题“关于的方程有实根”是命题“”的（ ） A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】本题考查命题的充要条件. 【解析】因为命题关于的方程有实根，所以，而命题“”因此，右边命题范围小，左边命题范围大， 小范围推大范围，条件能推结论，结论不能推条件，因此“关于的方程有实根”是命题“”的必要而不充分条件 故选C 5. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的定义验证充分性、必要性即可. 【详解】在△ABC中，，，， 由，可得或（舍去），充分性成立 在△ABC中，当，可得，必要性成立. 所以在△ABC中，“”是“”的充要条件. 故选：C. 6.已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 7.设，，，是实数，则“，，，成等差数列”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查充分必要条件的定义,是基础题. 【解析】“，，，成等差数列” “”. 反之，“” “，，，成等差数列”，例如，但是不成等差数列. ∴“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件. 8. 在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】通过空间中直线与直线的位置关系分析得出结论即可. 【解析】因为空间中两直线垂直，分为相交垂直，异面垂直两种， 所以两直线互相垂直不能推出两直线相交. 反过来，两直线相交所成的角的范围是，不一定是垂直， 即两直线相交不能推出两直线垂直. 所以“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既非充分又非必要条件. 故选：. 9.使不等式成立的充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的单调性和充分条件判断即可. 【详解】由可得，， ，且，时，不等式不成立， 故且， 可设为指数函数， 当时， 所以函数单调递增，则， 所以或， 故是不等式成立的充分条件. 故选：C. 10．“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据圆与直线相交的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：若，则圆的圆心到直线的距离 ，因此直线与圆相交，充分性得证； 必要性：若直线与圆相交，则 圆心到直线的距离， 解得： ，必要性不成立， 因此“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$