专题03 磁场（考点清单）--2024-2025学年高二物理下学期期末考点大串讲（人教版）

专题03 磁场 【思维导图】 2 【知识讲解】 2 考点01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 2 考点02 带电粒子在匀强磁场中的运动 4 【经典例题】 7 考点01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 7 角度1：左手定则的内容及其应用 7 角度2：安培力的计算式及简单应用 8 角度3：计算非直导线的安培力的大小 9 角度4：倾斜轨道上的导体棒的受力分析 11 角度5：电磁炮 12 角度6：洛伦兹力的大小 13 考点02 带电粒子在匀强磁场中的运动 15 角度1：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 15 角度2：带电粒子在直线边界磁场中的运动 17 角度3：带电粒子在弧形边界磁场中的运动 19 角度4：根据粒子的运动确定磁场区域的范围 21 角度5：带电粒子电性不确定形成的多解问题 24 角度6：磁场方向不确定形成的多解问题 26 角度7：临界状态不唯一形成的多解问题 28 角度8：带电粒子在复合场中的运动 30 角度9：带电粒子在组合场中的运动 33 考点01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 1．磁场的产生与叠加 2．地磁场的主要特点 （1）地磁场的N极在地球南极附近，S极在地球北极附近，磁感线分布如图所示。 （2）地磁场B的水平分量Bx总是从地球南极指向北极，而竖直分量By则南北相反，在南半球垂直地面向上，在北半球垂直地面向下。 （3）在赤道平面上，距离地球表面高度相等的各点，磁感应强度相等且方向水平向北。 3．安培力的分析与计算 方向 左手定则 大小 直导线 F＝BIL sin θ，当θ＝0时，F＝0；当θ＝90°时，F＝BIL 导线为曲线时 等效为ac直线电流 4.两个二级结论 （1）同向平行电流相互吸引，反向平行电流相互排斥。 （2）两个电流不平行时，有转动到相互平行且电流方向相同的趋势。 5．判别物体在安培力作用下的运动方向的常用五种方法 （1）电流元受力分析法：即把整段电流等效为很多段直线电流元，先用左手定则判断出每小段电流元受安培力的方向，从而判断出整段电流所受合力方向，最后确定运动方向。 （2）特殊值分析法：把电流或磁体转到一个便于分析的特殊位置（如转过90°）后再判断所受安培力方向，从而确定运动方向。 （3）等效分析法：环形电流可以等效成条形磁体、条形磁体也可等效成环形电流、通电螺线管可等效成很多的环形电流来分析。 （4）推论分析法：两电流相互平行时无转动趋势，方向相同相互吸引，方向相反相互排斥；两电流不平行时有转动到相互平行且方向相同的趋势。 （5）转换研究对象法：因为电流之间、电流与磁体之间的相互作用满足牛顿第三定律。这样，定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动的问题，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，再确定磁体所受电流的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向。 6．求解安培力作用下的动力学问题的一般思路 考点02 带电粒子在匀强磁场中的运动 1．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动问题的处理关键 （1）圆心的确定 ①速度和轨道半径垂直。 ②轨迹上两点连线的垂直平分线过圆心。 （2）轨道半径的计算 方法一：由物理公式求：由于qvB＝，所以轨道半径r＝。 方法二：由几何关系求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）通过计算来确定。 （3）运动时间的确定 方法一：由对应的圆心角α求：t＝T＝。 方法二：由对应的弧长s求：t＝。 2．带电粒子在有界匀强磁场中运动时轨迹圆的几个基本特点 （1）粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，出射角等于入射角。（如图1所示，θ1＝θ2＝θ3） 并且粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角。（如图1所示，α1＝α2） （2）在圆形匀强磁场区域，若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应磁场半径的夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应磁场半径的夹角也为θ，如图2所示。 特例：沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时也沿半径方向，如图3所示。 （3）磁聚焦与磁发散 ①磁聚焦：带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，且该点切线与入射方向平行。 ②磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行。 3．临界问题 （1）许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语暗示临界状态，审题时，一定要抓住这些特定的词语，挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。例如粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 （2）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界状态（一般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大），常用方法如下： 放缩圆 旋转圆 平移圆 适用条件 粒子速度方向一定，速度大小不同 粒子的速度大小一定，轨迹半径一定，速度方向不同 粒子的速度大小、方向均一定，从同一直线边界进入匀强磁场的入射点位置不同 运动分析 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件 将一半径为R＝的圆 以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件。 将半径为R＝的圆进行平移 （轨迹圆的所有圆心在一条直线上） 图例 4.多解问题 （1）产生多解现象的四种因素 带电性不确定 磁场方向不确定 临界状态不唯一 运动周期性（往复性） 图例 原因分析 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解 有些题目只给出了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁感应强度方向不确定而形成的多解 如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往具有往复性，因而形成多解 （2）解决多解问题的一般思路 考点01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 角度1：左手定则的内容及其应用 【典例1】（多选）（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，长直导线与心形金属线框放在光滑绝缘的水平面上，且长直导线与心形线框的对称轴MN垂直。当长直导线中通以图示方向的电流I，且电流增大时，下列关于心形线框的说法正确的是（    ） A．线框有面积缩小的趋势 B．线框中产生顺时针方向的感应电流 C．线框在水平面内沿逆时针方向旋转 D．线框沿垂直于直导线方向向右平动 【答案】AD 【详解】AB．直导线中的电流增大，导线框中向里的磁通量增大，由楞次定律知，线框有面积缩小的趋势，线框中产生逆时针方向的感应电流。故A正确；B错误； CD．由对称性知，线框对称轴MN上、下两部分受到平行于直导线方向上安培力的合力为零，导线框受到安培力沿对称轴向右，线框沿垂直于直导线方向向右平动。故C错误；D正确。 故选AD。 【典例2】（多选）（23-24高二下·广东广州·期末）如图，用轻质导线将一根硬直金属棒与电源、开关连接，并将金属棒与平行地搁在正方体的上表面，正方体处在匀强磁场中。闭合开关，发现金属棒竖直向上跳起，由此可知，该区域的磁场方向可能是（    ） A．垂直平面 B．平行平面 C．平行平面 D．垂直平面 【答案】ACD 【详解】A．若磁场方向垂直abc'd'平面，由左手定则得，金属棒所受安培力的方向可能竖直向上或竖直向下，当安培力方向竖直向上时，金属棒竖直向上跳起，故A正确； B．若磁场方向平行平面，则金属棒与磁场平行，金属棒可能不受安培力也可能安培力沿水平方向，金属棒不会竖直向上跳起，故B错误； C．若磁场方向平行平面，金属棒所受安培力的方向可能竖直向上或竖直向下，当安培力方向竖直向上时，金属棒竖直向上跳起，故C正确； D．若磁场方向垂直abb'a'平面，由左手定则得，金属棒所受安培力的方向可能竖直向上或竖直向下，当安培力方向竖直向上时，金属棒竖直向上跳起，故D正确。 故选ACD。 角度2：安培力的计算式及简单应用 【典例3】（23-24高二下·内蒙古·期末）研究磁铁对通电导线作用力的装置如图所示。当轻质细导线中通入电流时，细导线下端的金属棒受到水平方向的磁场力，平衡时细导线偏离竖直方向的角度为。已知金属棒的质量为，两细导线间的距离为，把磁极之间的磁场看作匀强磁场，重力加速度大小为，下列说法正确的是（    ） A．金属棒受到的磁场力大小为 B．金属棒受到的磁场力大小为 C．金属棒所在位置磁场的磁感应强度大小为 D．金属棒所在位置磁场的磁感应强度大小为 【答案】C 【详解】AB．对导体棒受力分析，受到重力，水平向右的安培力及轻质细导线的拉力，根据共点力平衡可知，，故AB错误； CD．根据，解得，故C正确，D错误。 故选C。 【典例4】（多选）（23-24高二下·青海西宁·期末）如图所示为电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度．它的右臂挂着矩形线圈，匝数为n，线圈的水平边长为l，处于匀强磁场内，磁感应强度B的方向与线圈平面垂直。当线圈中通过电流I时，调节砝码使两臂达到平衡。然后使电流反向，大小不变。这时需要在左盘中增加质量为m的砝码，才能使两臂再达到新的平衡。已知重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．电流未反向时，安培力的方向竖直向上 B．电流反向时，安培力的方向竖直向上 C．若用n、m、l、I、g表示磁感应强度B的大小，则 D．若用n、m、l、I、g表示磁感应强度B的大小，则 【答案】AC 【详解】A B．由左手定则，电流未反向时，安培力的方向竖直向上，电流反向后，安培力的方向竖直向下，故A正确，B错误； C D．设左盘砝码质量为，右盘砝码质量为，电流方向未改变时，因安培力的方向向上，故 同理，电流方向改变后 联立解得，故C正确，D错误。 故选AC。 角度3：计算非直导线的安培力的大小 【典例5】（多选）（23-24高二下·山东临沂·期末）将粗细均匀、边长为L的正三角形铜线框用两根不可伸长的绝缘线a、b悬挂于天花板上，置于垂直线框平面向外的大小为B的磁场中，现用细导线给三角形线框通有大小为I的电流，则（　　） A．通电后两绳拉力变大 B．通电后两绳拉力变小 C．三角形线框安培力大小为BIL D．三角形线框安培力大小为2BIL 【答案】AC 【详解】AB．根据题意，由左手定则可知，通电后线框所受安培力向下，则通电后两绳拉力变大，故A正确，B错误； CD．根据题意可知，间折线是直线长度的2倍，且并联接入电路中，则通过直线电流是折线的倍，即通过直线的电流为，通过折线的电流为，三角形线框安培力大小为 故C正确，D错误。 故选AC。 【典例6】（多选）（2024·福建·高考真题）如图，用两根不可伸长的绝缘细绳将半径为的半圆形铜环竖直悬挂在匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外，铜环两端、处于同一水平线。若环中通有大小为、方向从到的电流，细绳处于绷直状态，则（　　） A．两根细绳拉力均比未通电流时的大 B．两根细绳拉力均比未通电流时的小 C．铜环所受安培力大小为 D． 铜环所受安培力大小为 【答案】AC 【详解】方法一：微元法 AB．如图，取通电半圆形铜环的一小段，可将其视为直导线，根据左手定则可知，改小段导线受到的安培力方向如图所示，其大小 根据对称性苛刻的，如图所示，对称的两小段所受的安培力在水平方向的分力大小相等，方向相反，相互抵消，则通电后半圆形铜环受到的安培力竖直向下，根据受力分析可知，通电后两绳拉力变大，故A正确，B错误； CD．对每小段导线所受安培力在竖直方向的分力求和，可得，故C正确，D错误。 故选AC。 方法二：等效法 通电半圆形铜环可等效为等效长度为直径，电流方向，根据左手定则可知半圆形铜环受到的安培力方向竖直向下，大小 根据受力分析可得，通电后，绳子拉力，两根细绳拉力均比未通电流时的大。 故选AC。 角度4：倾斜轨道上的导体棒的受力分析 【典例7】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，电阻不计的金属框宽度，固定在倾角的斜面上，下端接一电动势，内阻的电源。金属框所在的区域加一磁感应强度大小的匀强磁场，磁场方向垂直斜面向下。现把一根质量的金属杆ab垂直放在导轨上，ab接入电路的有效电阻，当开关闭合后ab处于静止状态。取重力加速度，，，求： (1)金属杆ab受到的安培力大小； (2)金属杆ab给导轨的摩擦力。 【答案】(1)8N；(2)4N，方向沿斜面向下 【详解】（1）根据闭合电路欧姆定律 根据安培力大小公式，有 （2）对金属杆ab受力分析如图所示 根据沿斜面方向受力平衡有，解得 根据牛顿第三定律，金属杆ab给导轨的摩擦力大小为4N，方向沿斜面向下。 【典例8】（23-24高二下·四川广安·期末）如图所示，两光滑导轨ABC、平行放置，间距为L，其中BC、与水平面间的夹角为，AB，水平。一电阻为r的导体杆ab，垂直于AB、固定在导轨上，并处在边长为L的正方形有界磁场I区域的正中间，磁场方向垂直于导轨平面向上、磁场均匀分布但随时间线性增大，质量为m电阻也为r的金属棒cd垂直于BC、置于导轨上，处在磁感应强度大小为B，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场II区域中，金属棒与两导轨接触良好，不计其余电阻，若金属棒cd恰好处于静止状态，求： （1）流过金属棒cd的电流I的大小和方向； （2）磁场I区域磁感应强度随时间的变化率。 【答案】（1）；由c到d；（2） 【详解】（1）依题意，金属棒cd恰好处于静止状态，有，解得，根据楞次定律可知电流方向由c到d； （2）根据法拉第电磁感应定律，可得 由闭合电路欧姆定律，有，联立，解得 角度5：电磁炮 【典例9】（23-24高二下·陕西·期末）如图所示为电磁炮的基本原理图（俯视图）。水平平行金属直导轨a、b充当炮管，金属弹丸放在两导轨间，与导轨接触良好，两导轨左端与一恒流源连接，可使回路中的电流大小恒为 I，方向如图所示，两导轨中电流在弹丸所在处产生的磁场视为匀强磁场。若导轨间距为 d，弹丸质量为m，弹丸在导轨上运动的最大距离为s，弹丸能加速的最大速度为v，不计摩擦，则下列判断正确的是（　　） A．导轨间的磁场方向向上 B．导轨间的磁场磁感应强度大小为 C．弹丸克服安培力做功获得动能 D．弹丸先做加速度越来越小的加速运动，最后做匀速运动 【答案】B 【详解】A．弹丸在安培力作用下做加速运动，故安培力方向向右，根据左手定则得出导轨间的磁场方向向下，故A错误； B．根据加速过程动能定理得出，得出，故B正确； C．安培力做正功获得动能，故C错误； D．根据牛顿第二定律得出得出，故加速度恒定，故D错误。 故选B。 【典例10】（23-24高二下·福建泉州·期末）如图甲，电磁炮是当今世界强国争相研发的一种先进武器，我国电磁炮研究处于世界第一梯队。如图乙为某同学模拟电磁炮的原理图，间距为L=0.5m的两根倾斜导轨平行放置，导轨平面与水平地面的夹角为θ=37°，导轨下端接电动势为E=18V、内阻为r=1Ω的电源。整个装置处于磁感应强度大小为B=0.2T、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。为了研究方便，将待发射的炮弹视为一个比导轨间距略长的导体棒，导体棒的质量为m=0.1kg﹑电阻为R=1Ω，导体棒与导轨接触面间的动摩擦因数为μ=0.25，重力加速度大小取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。现将导体棒无初速度地放在导轨上且与导轨垂直，最终导体棒从导轨上端发射出去，不计其他电阻。求： （1）导体棒刚放在导轨上时所受安培力的大小和方向； （2）导体棒刚放在导轨上时的加速度大小。 【答案】（1），沿斜面向上；（2） 【详解】（1）导体棒刚放在导轨上时，根据闭合电路欧姆定律有，解得 导体棒刚放在导轨上时所受安培力的大小，解得F=0.9N 根据左手定则可知，导体棒所受安培力的方向沿斜面向上。 （2）导体棒刚放在导轨上时，对导体棒进行受力分析，根据牛顿第二定律有 其中，解得 角度6：洛伦兹力的大小 【典例11】（多选）（23-24高二下·福建厦门·期末）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能。现设计一电路测量某二维石墨烯样品单位面积的载流子（电子）数。如图所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间接入恒压直流电源、稳定时电流表示数为I，电极2、4之间的电压为U，已知电子电荷量为e，则（　　） A．电极2的电势比电极4的低 B．电子定向移动的速率为 C．电极2和4之间的电压与宽度b无关 D．二维石墨烯样品单位面积的载流子数为 【答案】ACD 【详解】A．根据左手定则，可知电子在洛伦兹力作用下向电极2所在一侧偏转，所以电极2的电势比电极4的低。故A正确； B．当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，则有，解得，故B错误； C．设样品每平方米载流子(电子)数为n，电子定向移动的速率为v，则时间t内通过样品的电荷量q=nevtb 根据电流的定义式得，联立，解得 即电极2和4之间的电压与宽度b无关。故C正确； D．根据C选项分析可知二维石墨烯样品单位面积的载流子数为，故D正确。 故选ACD。 【典例12】（多选）（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图所示，磁场方向水平向右，磁感应强度大小为B，甲粒子速度方向与磁场垂直，乙粒子速度方向与磁场方向平行，丙粒子速度方向与磁场方向间的夹角为θ。所有粒子的质量均为m，电荷量均为，且粒子的初速度方向在纸面内，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（    ） A．甲粒子受力大小为qvB，方向水平向右 B．乙粒子的运动轨迹是直线 C．丙粒子在纸面内做匀速圆周运动，其动能不变 D．从图中所示状态，经过时间后，丙粒子位置改变了 【答案】BD 【详解】A．由洛伦兹力的公式可得，甲粒子受力大小为qvB，根据左手定则可知甲粒子受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向里，故A错误； B．乙粒子速度方向与磁感应强度方向平行，不受洛伦兹力作用，所以运动轨迹是直线，故B正确； C．将丙粒子的速度在沿磁感应强度方向和垂直于磁感应强度方向分解为和，其中对应的分运动为水平向右的匀速直线运动，对应的分运动为垂直于纸面的匀速圆周运动，所以丙粒子的合运动为螺旋线运动，由于洛伦兹力不做功，所以其动能不变，故C错误； D．对丙粒子在垂直于纸面的匀速圆周运动，有，，解得 所以周期为 丙粒子在沿磁感应强度方向做匀速直线运动的速度为 经过一个周期的时间丙粒子圆周运动刚好一周，所以此时位置改变为，故D正确。 故选BD。 考点02 带电粒子在匀强磁场中的运动 角度1：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 【典例13】（多选）（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图所示，在正方形范围内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个电子以不同的速率，从点沿方向垂直磁场方向射入磁场，其中甲电子从点射出，乙电子从边中点射出。不计电子的重力，则甲、乙两电子（　　） A．动能之比2∶1 B．在磁场中运行的周期之比1∶2 C．在正方形磁场中运行的时间之比1∶2 D．速度偏转角之比为1∶2 【答案】CD 【详解】A．甲、乙电子在磁场中运动的轨迹如图所示 设正方形的边长为，甲电子从c点离开，由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力，可得 乙电子从ad边中点离开，由几何关系可 由洛伦兹力提供向心力，可得 则甲、乙两电子速度大小之比为 根据可得甲、乙两电子动能之比为，故A项错误； B．根据和可知电子的运行周期 与电子的速率无关，即甲、乙两电子在磁场中运行的周期之比1∶1，故B项错误； C．甲电子从c点离开，由几何关系可知运行的时间 乙电子从ad边中点离开，由几何关系可知运行的时间 整理可知，即甲、乙两电子在磁场中运行的时间之比1∶2，故C项正确； D．由图可知，甲电子的偏转角是90°，而乙电子的偏转角是180°，则甲、乙两电子的速度偏转角之比为 故D项正确。 故选CD。 【典例14】（23-24高二下·四川德阳·期末）如图所示，空间中存在一矩形磁场区域，在区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ，在区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为。，一带电粒子以大小为、方向沿的速度进入磁场Ⅰ，运动一段时间后从点离开磁场区域.不计粒子的重力，粒子的比荷为，则下列说法正确的是（    ） A．的长度可能为 B．粒子在磁场中运动的总时间可能为 C．粒子从磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ的位置距离点可能为 D．若粒子能通过边上距离点的一点，则粒子的发射速度大小可能为 【答案】D 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有，解得 由题意可知粒子不可能偏转一次就到达P点，假设粒子偏转一次到达P点可知                        ，故A错误； B．根据几何关系可知粒子在磁场Ⅰ运动的圆心角为120°，时间为 所以粒子在磁场中运动的总时间为，故B错误； C．画出粒子的运动轨迹如图 根据几何关系可知，粒子从磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ的位置距离点（n=0，1，2…） 不可能为，故C错误； D．若粒子能通过边上距离点的一点，则粒子的轨道半径满足（n=0，1，2…） 结合 可知（n=0，1，2…） 当n=2时，解得，故D正确； 故选D。 角度2：带电粒子在直线边界磁场中的运动 【典例15】（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）如图所示，在xOy平面的第一象限内存在磁感应强度方向垂直纸面向外、大小为B的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在x轴上的N点（图中未画出）垂直于x轴射出磁场，已知M点到原点O的距离为d，不计粒子的重力。求： (1)粒子的速度大小； (2)带电粒子在第一象限内运动的时间t。 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 根据洛伦兹力提供向心力有，解得 （2）粒子在第一象限内通过的弧长， 带电粒子在第一象限内运动的时间，解得 【典例16】（23-24高二下·青海·期末）如图所示，xOy坐标平面的第Ⅰ象限内存在平行于x轴负方向的匀强电场，第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q、带正电的粒子从匀强电场中的A点由静止开始释放，从y轴上的C点射入匀强磁场时粒子的速度大小为v，从x轴上的D点射出匀强磁场时粒子的速度方向与x轴负方向的夹角。已知A点到C点、C点到原点O的距离均为L，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)匀强磁场的磁感应强度大小B； (3)粒子从A点运动到D点所用的时间t。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）粒子在电场中做匀加速运动的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 根据运动规律有，解得 （2）设粒子做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 根据牛顿第二定律有，解得 （3）设粒子从A点运动到点所用的时间为，从点运动到点所用的时间为，根据运动规律有 粒子从点运动到点通过的弧长 时间 粒子从A点运动到D点所用的时间，解得 角度3：带电粒子在弧形边界磁场中的运动 【典例17】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，真空中xOy平面内存在半径为R的圆形区域，该圆形区域与y轴相切，x轴与其一条直径重合，P点为圆形区域边界上的一点，P点与圆心的连线与x轴正方向成角。已知圆形区域内只存在垂直于xOy平面的匀强磁场或只存在平行于y轴向上的匀强电场，一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从坐标原点O以初速度沿x轴正方向射入该圆形区域，粒子恰好从P点射出，不计粒子的重力。 (1)若圆形区域内只存在垂直于xOy平面的匀强磁场，求匀强磁场磁感应强度B的大小与方向； (2)若圆形区域内只存在平行于-轴向上的匀强电场，求粒子在圆形区域内运动过程中受到电场力的冲量I的大小。 【答案】(1)，方向重直于xOy平面向里；(2) 【详解】（1）（1 ）若圆形区域内只存在匀强磁场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，恰好从P点射出，则由左手定则知磁感应强度方向垂直于xOy平面向里。 设粒子轨迹圆半径为r，轨迹如图甲所示 由几何知识有 由洛伦兹力提供向心力有，解得 （2）若圆形区域内只存在匀强电场，粒子在平行于y轴向上的匀强电场区域内做类平抛运动，如图乙所示： 设粒子从O点运动到P点的时间为t，由平抛运动规律有 粒子受到电场力的冲量，解得 【典例18】（23-24高二下·湖南长沙·期末）在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，如图所示。第一象限内OBAD区域（，）有一水平向左的匀强电场E，第二象限内有一半径为R的垂直纸面的匀强磁场，边界与xy轴相切，与x轴的切点为C，与y轴的切点为P，第四象限内有垂直纸面的匀强磁场，如图（、均未知）。已知一个质量为m、电荷量为的带电粒子（可视为质点）从AB边界任意一点无初速度释放，经电场加速后获得速度v0，进入第二象限，再经磁场偏转后都从同一点C离开第二象限。（E、m、q、R、已知）求： （1）磁感应强度； （2）此粒子从坐标处无初速度释放，依次经过一二三四象限后恰好垂直与x轴再次射入第一象限，求该情况下磁感应强度及粒子在第四象限运动的时间。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，经磁场偏转后都从同一点C离开磁场，其中由P到C的粒子的轨迹恰好为圆周，可知运动半径等于R。由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）粒子从坐标为的F点（即）处无初速度释放的粒子的运动轨迹如图所示 粒子由G点出电场到H点进磁场的过程做匀速直线运动，粒子在磁场B1中运动半径与圆形磁场区域半径相等均为R，四边形O1CO2H为菱形，由几何关系可得，解得 粒子在M点进入第四象限，在第三象限由C到M的过程做匀速直线运动，设粒子在第四象限运动半径为r，由几何关系可得，解得 由洛伦兹力提供向心力得，解得 粒子在第四象限的磁场B2中运动轨迹的圆心角为150°，则此过程时间为 角度4：根据粒子的运动确定磁场区域的范围 【典例19】（多选）（2024·贵州·模拟预测）如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时运动方向与MN成角，MN长度为3L，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为 B．粒子从M到N所用的时间为 C．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L D．圆形匀强磁场区域的最小面积为 【答案】CD 【详解】C．如图所示 由几何关系可以得到 可得粒子圆周运动的半径为，C正确； A．从M到N，洛伦兹力冲量 又由，得，A错误； B．粒子从M到D时间 粒子从D到N时间 所以粒子从M到D时间，B错误； D．圆形磁场直径最小值为MD长度 所以圆形磁场最小面积为，D正确。 故选CD。 20．（22-23高二下·安徽六安·期末）如图所示，一个质量为m，带电量为的粒子沿y轴正方向以速度从O点射入第一象限磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为。其中m、q、、B为已知量，粒子的重力不计，试求： （1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）粒子在磁场中运动的时间t； （3）若在x轴下方充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，要使粒子从b射出后能直接回到O点，则？    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）作出轨迹如图所示：    带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力 由分析可知带电粒子从O处进入磁场，转过后离开磁场，再做匀速直线运动从b点射出，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为 要使圆形磁场区域面积最小，其半径刚好为的一半，即有 则圆形匀强磁场区域的最小面积 （2）粒子在磁场中运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间 （3）根据几何关系可知 要使粒子能直接从回到O点，的方向为垂直纸面向外，由几何关系知：轨道半径 解得 由洛伦兹力提供向心力得，解得 角度5：带电粒子电性不确定形成的多解问题 21．（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 【典例22】如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立方程，解得 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可和，粒子在磁场中的偏转角为 所以运动时间为 联立解得 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角为α2=90° 所以粒子在磁场中运动的时间为 角度6：磁场方向不确定形成的多解问题 【典例23】（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧） 由几何知识知，而 所以 所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得，故A错误，B正确； CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧） 由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。 由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出，所以得，故C错误，D正确。 故选BD。 【典例24】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】（1）；（2）（n=1，2，3，…） 【详解】（1）设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则 正离子做匀速圆周运动的周期 联立以上可得磁感应强度 （2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示 两板之间正离子只运动一个周期T0时，有 当两板之间正离子运动n个周期nT0时，有（n=1，2，3，…） 联立解得正离子的速度的可能值为（n=1，2，3，…） 角度7：临界状态不唯一形成的多解问题 【典例25】（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子可能在两个磁场间做多次的运动。画出可能的粒子轨迹如图所示 分析可知，由于粒子从b点从左侧磁场进入右侧磁场，粒子在ab间做匀速圆周运动的圆弧数量必为偶数个，且根据几何关系可知，圆弧对应的圆心角均为120°，根据几何关系可得粒子运动的半径为 解得 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 A．当时，。符合条件，故A正确； B．当时，。不符合条件，故B错误； C．当时，。不符合条件，故C错误； D．当时，。不符合条件，故D错误。 故选A。 【点睛】画出粒子运动的轨迹图，确定粒子可能存在的运动情况及粒子做圆周运动的半径和L的关系，再根据牛顿第二定求出速度的可能值。 【典例26】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则以下说法正确的是（    ）    A．质子的速度可能为 B．质子的速度可能为 C．质子由A到C的时间可能为 D．质子由A到C的时间可能为 【答案】C 【详解】AB．因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示    所有圆弧所对圆心角均为，质子可能的运动半径（n=1，2，3，…） 由洛伦兹力提供向心力得 即（n=1，2，3，…），质子的速度不可能为和，故AB错误； CD．质子由A到C的时间可能为（n=1，2，3，…），故C正确；D错误。 故选C。 角度8：带电粒子在复合场中的运动 【典例27】（24-25高二上·河南南阳·期末）如图所示，y轴右侧有一半径为的圆形匀强磁场区域，磁场圆与y轴相切于原点O，磁场方向垂直于xOy平面向里，y轴左侧有沿y轴正方向的匀强电场。P是x轴上一点，P与原点O的距离为L，一质量为m、电荷量大小为q的带负电粒子从P点以初速度射出，速度方向与x轴正方向夹角，粒子经过y轴时速度方向与y轴垂直，从磁场离开时速度方向与x轴垂直，不计粒子重力。求： (1)粒子经过y轴的位置与原点O的距离； (2)电场强度和磁感应强度分别为多大； (3)粒子从出发到离开磁场的总时间。 【答案】(1)；(2)，；(3) 【详解】（1）粒子在电场中的运动为类平抛运动的逆运动，水平方向 竖直方向，解得 （2）粒子在电场中的加速度大小 竖直分位移 解得电场强度 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，以沿轴负方向的速度射出磁场，运动轨迹如图所示 由几何知识可知与竖直方向的夹角为，则 刚好为圆形边界的直径，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径 粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律有 粒子的速度，解得 （3）粒子在电场中的运动时间 粒子离开电场后进入磁场前做匀速直线运动，位移 粒子做直线运动的时间 粒子在磁场中做圆周运动的时间 粒子从M点出发到穿出磁场所用的总时间 【典例28】（24-25高二下·海南儋州·阶段练习）如图所示，直角坐标系Oxy位于竖直平面内。在第三象限存在沿x轴正方向、大小为E的匀强电场；在第四象限存在垂直纸面向外的、大小为B的匀强磁场，以及沿竖直方向、大小也为E的匀强电场。现有一个可视为质点的质量为m、电荷量为q的带正电小球，从图中M点（0，l）处以初速度沿x轴正方向抛出，小球经过x轴上的N点（2l，0）进入第四象限，小球进入第四象限后恰能做匀速圆周运动。已知第一次进入第三象限时速度方向与y轴正方方向成45°角，不计空气阻力，求： (1)重力加速度g的大小及小球运动到N点时的速度大小； (2)E和B的大小； (3)小球抛出后第四次经过y轴时对应的位置坐标，以及从抛出到运动至该点所花时间。 【答案】(1)， (2)， (3)位置坐标（0，－12l）， 【详解】（1）小球从M到N做平抛运动，x方向有 y方向有，解得， 在N点有： （2）小球在第四象限中受重力、电场力和洛伦兹力，其能做匀速圆周运动，则，解得 其运动轨迹如下图所示，可得： 又洛伦兹力提供向心力有，解得 （3）小球从抛出到第四次到y轴的过程中，在第四象限做圆周运动， 在第三象限做匀变速直线运动 在第四象限做圆周运动， 在第三象限做类平抛运动，水平方向有 竖直方向上有 所以 可见待求位置坐标为（0，－12l） 时间 角度9：带电粒子在组合场中的运动 【典例29】（24-25高二上·广东广州·期末）东方超环（EAST），俗称“人造小太阳”，是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置。高速粒子束（包含带电离子和中性粒子）中的带电离子对实验装置有很大的破坏作用，因此需要利用“偏转系统”将带电离子从粒子束剥离出来。“偏转系统”的原理简图如图所示，混合粒子中的中性粒子继续沿原方向运动，被接收器接收；而带电离子一部分打到下极板被吸收（极板边缘不吸收离子），剩下的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬。已知离子带正电，电荷量为，质量为，两极板间电压为，间距为，极板长度为。均匀分布的高速粒子束宽度为，以平行于极板的初速度全部进入两极板间，离子和中性粒子的重力可忽略不计，不考虑混合粒子间的相互作用，，。 (1)要使离子能直线通过两极板，则需在两极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场，求的大小； (2)若撤去极板间磁场，能进入磁场的带电离子数为，打在下极板离子数为，求； (3)若撤去极板间磁场，边界足够大，取值范围为。从两极板正中央点平行于极板射入的离子经偏转后均落在吞噬板上被吞噬，求落点间的最大距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）要使离子能直线通过两极板，需在两极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场，根据受力平衡可得 其中 解得 （2）若撤去极板间磁场，对于能进入磁场的带电离子，在偏转电场中，水平方向有 竖直方向有， 联立解得 则有 （3）若撤去极板间磁场，根据（2）分析可知，从两极板正中央点平行于极板射入的离子刚好从下极板边缘进入磁场中，设离子进入磁场的速度大小为，与水平方向的夹角为，则有 子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 可得 则离子在磁场中运动轨迹的弦长为 由于，可得 则落点间的最大距离为 【典例30】（24-25高二上·江苏泰州·期末）如图所示，A为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度大小为，两板间电压为U，间距为d；B区间有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，宽度为l；C为一内半径为r的圆筒，左右端面圆心处各开有一小孔，内部有水平向右的匀强电场E、匀强磁场（大小未知），C左端面紧贴B区间右边界。一带电粒子，以初速度（大小未知）水平射入速度选择器，沿直线运动射入B区间，偏转后从C左端面圆心处射入圆筒C，粒子恰好与筒壁不碰撞，最后从右端面圆心处射出。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求： (1)粒子初速度； (2)粒子的比荷及在B区间运动时间t； (3)圆筒长度s应满足的条件。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）在速度选择器 中，粒子沿直线运动，说明粒子所受电场力和洛伦兹力平衡，即，又因为，所以 （2）粒子在 区间做匀速圆周运动，根据几何关系可知，粒子在 区间运动的轨迹半径 满足，则，由洛伦兹力提供向心力，将和，代入可得， 粒子在 区间运动的圆心角 （弧度制），粒子做圆周运动的周期，将 ，代入可得，根据 可得 （3）粒子进入圆筒 后，在水平方向受电场力 和洛伦兹力的共同作用，粒子竖直方向以的速度在的磁场里做匀速圆周运动，粒子水平方向以的速度在电场力 的作用下作匀加速直线运动，因为粒子恰好与筒壁不碰撞，所以竖直方向的圆周运动，同时可知，代入可得，即，粒子水平方向作匀加速直线运动，加速度为，即，代入值可得 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 磁场 【思维导图】 2 【知识讲解】 2 考点01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 2 考点02 带电粒子在匀强磁场中的运动 4 【经典例题】 7 考点01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 7 角度1：左手定则的内容及其应用 7 角度2：安培力的计算式及简单应用 7 角度3：计算非直导线的安培力的大小 8 角度4：倾斜轨道上的导体棒的受力分析 9 角度5：电磁炮 10 角度6：洛伦兹力的大小 11 考点02 带电粒子在匀强磁场中的运动 12 角度1：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 12 角度2：带电粒子在直线边界磁场中的运动 13 角度3：带电粒子在弧形边界磁场中的运动 13 角度4：根据粒子的运动确定磁场区域的范围 14 角度5：带电粒子电性不确定形成的多解问题 15 角度6：磁场方向不确定形成的多解问题 16 角度7：临界状态不唯一形成的多解问题 17 角度8：带电粒子在复合场中的运动 18 角度9：带电粒子在组合场中的运动 19 考点01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 1．磁场的产生与叠加 2．地磁场的主要特点 （1）地磁场的N极在地球南极附近，S极在地球北极附近，磁感线分布如图所示。 （2）地磁场B的水平分量Bx总是从地球南极指向北极，而竖直分量By则南北相反，在南半球垂直地面向上，在北半球垂直地面向下。 （3）在赤道平面上，距离地球表面高度相等的各点，磁感应强度相等且方向水平向北。 3．安培力的分析与计算 方向 左手定则 大小 直导线 F＝BIL sin θ，当θ＝0时，F＝0；当θ＝90°时，F＝BIL 导线为曲线时 等效为ac直线电流 4.两个二级结论 （1）同向平行电流相互吸引，反向平行电流相互排斥。 （2）两个电流不平行时，有转动到相互平行且电流方向相同的趋势。 5．判别物体在安培力作用下的运动方向的常用五种方法 （1）电流元受力分析法：即把整段电流等效为很多段直线电流元，先用左手定则判断出每小段电流元受安培力的方向，从而判断出整段电流所受合力方向，最后确定运动方向。 （2）特殊值分析法：把电流或磁体转到一个便于分析的特殊位置（如转过90°）后再判断所受安培力方向，从而确定运动方向。 （3）等效分析法：环形电流可以等效成条形磁体、条形磁体也可等效成环形电流、通电螺线管可等效成很多的环形电流来分析。 （4）推论分析法：两电流相互平行时无转动趋势，方向相同相互吸引，方向相反相互排斥；两电流不平行时有转动到相互平行且方向相同的趋势。 （5）转换研究对象法：因为电流之间、电流与磁体之间的相互作用满足牛顿第三定律。这样，定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动的问题，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，再确定磁体所受电流的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向。 6．求解安培力作用下的动力学问题的一般思路 考点02 带电粒子在匀强磁场中的运动 1．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动问题的处理关键 （1）圆心的确定 ①速度和轨道半径垂直。 ②轨迹上两点连线的垂直平分线过圆心。 （2）轨道半径的计算 方法一：由物理公式求：由于qvB＝，所以轨道半径r＝。 方法二：由几何关系求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）通过计算来确定。 （3）运动时间的确定 方法一：由对应的圆心角α求：t＝T＝。 方法二：由对应的弧长s求：t＝。 2．带电粒子在有界匀强磁场中运动时轨迹圆的几个基本特点 （1）粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，出射角等于入射角。（如图1所示，θ1＝θ2＝θ3） 并且粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角。（如图1所示，α1＝α2） （2）在圆形匀强磁场区域，若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应磁场半径的夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应磁场半径的夹角也为θ，如图2所示。 特例：沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时也沿半径方向，如图3所示。 （3）磁聚焦与磁发散 ①磁聚焦：带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，且该点切线与入射方向平行。 ②磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行。 3．临界问题 （1）许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语暗示临界状态，审题时，一定要抓住这些特定的词语，挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。例如粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 （2）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界状态（一般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大），常用方法如下： 放缩圆 旋转圆 平移圆 适用条件 粒子速度方向一定，速度大小不同 粒子的速度大小一定，轨迹半径一定，速度方向不同 粒子的速度大小、方向均一定，从同一直线边界进入匀强磁场的入射点位置不同 运动分析 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件 将一半径为R＝的圆 以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件。 将半径为R＝的圆进行平移 （轨迹圆的所有圆心在一条直线上） 图例 4.多解问题 （1）产生多解现象的四种因素 带电性不确定 磁场方向不确定 临界状态不唯一 运动周期性（往复性） 图例 原因分析 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解 有些题目只给出了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁感应强度方向不确定而形成的多解 如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往具有往复性，因而形成多解 （2）解决多解问题的一般思路 考点01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 角度1：左手定则的内容及其应用 【典例1】（多选）（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，长直导线与心形金属线框放在光滑绝缘的水平面上，且长直导线与心形线框的对称轴MN垂直。当长直导线中通以图示方向的电流I，且电流增大时，下列关于心形线框的说法正确的是（    ） A．线框有面积缩小的趋势 B．线框中产生顺时针方向的感应电流 C．线框在水平面内沿逆时针方向旋转 D．线框沿垂直于直导线方向向右平动 【典例2】（多选）（23-24高二下·广东广州·期末）如图，用轻质导线将一根硬直金属棒与电源、开关连接，并将金属棒与平行地搁在正方体的上表面，正方体处在匀强磁场中。闭合开关，发现金属棒竖直向上跳起，由此可知，该区域的磁场方向可能是（    ） A．垂直平面 B．平行平面 C．平行平面 D．垂直平面 角度2：安培力的计算式及简单应用 【典例3】（23-24高二下·内蒙古·期末）研究磁铁对通电导线作用力的装置如图所示。当轻质细导线中通入电流时，细导线下端的金属棒受到水平方向的磁场力，平衡时细导线偏离竖直方向的角度为。已知金属棒的质量为，两细导线间的距离为，把磁极之间的磁场看作匀强磁场，重力加速度大小为，下列说法正确的是（    ） A．金属棒受到的磁场力大小为 B．金属棒受到的磁场力大小为 C．金属棒所在位置磁场的磁感应强度大小为 D．金属棒所在位置磁场的磁感应强度大小为 【典例4】（多选）（23-24高二下·青海西宁·期末）如图所示为电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度．它的右臂挂着矩形线圈，匝数为n，线圈的水平边长为l，处于匀强磁场内，磁感应强度B的方向与线圈平面垂直。当线圈中通过电流I时，调节砝码使两臂达到平衡。然后使电流反向，大小不变。这时需要在左盘中增加质量为m的砝码，才能使两臂再达到新的平衡。已知重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．电流未反向时，安培力的方向竖直向上 B．电流反向时，安培力的方向竖直向上 C．若用n、m、l、I、g表示磁感应强度B的大小，则 D．若用n、m、l、I、g表示磁感应强度B的大小，则 角度3：计算非直导线的安培力的大小 【典例5】（多选）（23-24高二下·山东临沂·期末）将粗细均匀、边长为L的正三角形铜线框用两根不可伸长的绝缘线a、b悬挂于天花板上，置于垂直线框平面向外的大小为B的磁场中，现用细导线给三角形线框通有大小为I的电流，则（　　） A．通电后两绳拉力变大 B．通电后两绳拉力变小 C．三角形线框安培力大小为BIL D．三角形线框安培力大小为2BIL 【典例6】（多选）（2024·福建·高考真题）如图，用两根不可伸长的绝缘细绳将半径为的半圆形铜环竖直悬挂在匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外，铜环两端、处于同一水平线。若环中通有大小为、方向从到的电流，细绳处于绷直状态，则（　　） A．两根细绳拉力均比未通电流时的大 B．两根细绳拉力均比未通电流时的小 C．铜环所受安培力大小为 D． 铜环所受安培力大小为 角度4：倾斜轨道上的导体棒的受力分析 【典例7】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，电阻不计的金属框宽度，固定在倾角的斜面上，下端接一电动势，内阻的电源。金属框所在的区域加一磁感应强度大小的匀强磁场，磁场方向垂直斜面向下。现把一根质量的金属杆ab垂直放在导轨上，ab接入电路的有效电阻，当开关闭合后ab处于静止状态。取重力加速度，，，求： (1)金属杆ab受到的安培力大小； (2)金属杆ab给导轨的摩擦力。 【典例8】（23-24高二下·四川广安·期末）如图所示，两光滑导轨ABC、平行放置，间距为L，其中BC、与水平面间的夹角为，AB，水平。一电阻为r的导体杆ab，垂直于AB、固定在导轨上，并处在边长为L的正方形有界磁场I区域的正中间，磁场方向垂直于导轨平面向上、磁场均匀分布但随时间线性增大，质量为m电阻也为r的金属棒cd垂直于BC、置于导轨上，处在磁感应强度大小为B，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场II区域中，金属棒与两导轨接触良好，不计其余电阻，若金属棒cd恰好处于静止状态，求： （1）流过金属棒cd的电流I的大小和方向； （2）磁场I区域磁感应强度随时间的变化率。 角度5：电磁炮 【典例9】（23-24高二下·陕西·期末）如图所示为电磁炮的基本原理图（俯视图）。水平平行金属直导轨a、b充当炮管，金属弹丸放在两导轨间，与导轨接触良好，两导轨左端与一恒流源连接，可使回路中的电流大小恒为 I，方向如图所示，两导轨中电流在弹丸所在处产生的磁场视为匀强磁场。若导轨间距为 d，弹丸质量为m，弹丸在导轨上运动的最大距离为s，弹丸能加速的最大速度为v，不计摩擦，则下列判断正确的是（　　） A．导轨间的磁场方向向上 B．导轨间的磁场磁感应强度大小为 C．弹丸克服安培力做功获得动能 D．弹丸先做加速度越来越小的加速运动，最后做匀速运动 【典例10】（23-24高二下·福建泉州·期末）如图甲，电磁炮是当今世界强国争相研发的一种先进武器，我国电磁炮研究处于世界第一梯队。如图乙为某同学模拟电磁炮的原理图，间距为L=0.5m的两根倾斜导轨平行放置，导轨平面与水平地面的夹角为θ=37°，导轨下端接电动势为E=18V、内阻为r=1Ω的电源。整个装置处于磁感应强度大小为B=0.2T、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。为了研究方便，将待发射的炮弹视为一个比导轨间距略长的导体棒，导体棒的质量为m=0.1kg﹑电阻为R=1Ω，导体棒与导轨接触面间的动摩擦因数为μ=0.25，重力加速度大小取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。现将导体棒无初速度地放在导轨上且与导轨垂直，最终导体棒从导轨上端发射出去，不计其他电阻。求： （1）导体棒刚放在导轨上时所受安培力的大小和方向； （2）导体棒刚放在导轨上时的加速度大小。 角度6：洛伦兹力的大小 【典例11】（多选）（23-24高二下·福建厦门·期末）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能。现设计一电路测量某二维石墨烯样品单位面积的载流子（电子）数。如图所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间接入恒压直流电源、稳定时电流表示数为I，电极2、4之间的电压为U，已知电子电荷量为e，则（　　） A．电极2的电势比电极4的低 B．电子定向移动的速率为 C．电极2和4之间的电压与宽度b无关 D．二维石墨烯样品单位面积的载流子数为 【典例12】（多选）（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图所示，磁场方向水平向右，磁感应强度大小为B，甲粒子速度方向与磁场垂直，乙粒子速度方向与磁场方向平行，丙粒子速度方向与磁场方向间的夹角为θ。所有粒子的质量均为m，电荷量均为，且粒子的初速度方向在纸面内，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（    ） A．甲粒子受力大小为qvB，方向水平向右 B．乙粒子的运动轨迹是直线 C．丙粒子在纸面内做匀速圆周运动，其动能不变 D．从图中所示状态，经过时间后，丙粒子位置改变了 考点02 带电粒子在匀强磁场中的运动 角度1：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 【典例13】（多选）（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图所示，在正方形范围内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个电子以不同的速率，从点沿方向垂直磁场方向射入磁场，其中甲电子从点射出，乙电子从边中点射出。不计电子的重力，则甲、乙两电子（　　） A．动能之比2∶1 B．在磁场中运行的周期之比1∶2 C．在正方形磁场中运行的时间之比1∶2 D．速度偏转角之比为1∶2 【典例14】（23-24高二下·四川德阳·期末）如图所示，空间中存在一矩形磁场区域，在区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ，在区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为。，一带电粒子以大小为、方向沿的速度进入磁场Ⅰ，运动一段时间后从点离开磁场区域.不计粒子的重力，粒子的比荷为，则下列说法正确的是（    ） A．的长度可能为 B．粒子在磁场中运动的总时间可能为 C．粒子从磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ的位置距离点可能为 D．若粒子能通过边上距离点的一点，则粒子的发射速度大小可能为 角度2：带电粒子在直线边界磁场中的运动 【典例15】（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）如图所示，在xOy平面的第一象限内存在磁感应强度方向垂直纸面向外、大小为B的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在x轴上的N点（图中未画出）垂直于x轴射出磁场，已知M点到原点O的距离为d，不计粒子的重力。求： (1)粒子的速度大小； (2)带电粒子在第一象限内运动的时间t。 【典例16】（23-24高二下·青海·期末）如图所示，xOy坐标平面的第Ⅰ象限内存在平行于x轴负方向的匀强电场，第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q、带正电的粒子从匀强电场中的A点由静止开始释放，从y轴上的C点射入匀强磁场时粒子的速度大小为v，从x轴上的D点射出匀强磁场时粒子的速度方向与x轴负方向的夹角。已知A点到C点、C点到原点O的距离均为L，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)匀强磁场的磁感应强度大小B； (3)粒子从A点运动到D点所用的时间t。 角度3：带电粒子在弧形边界磁场中的运动 【典例17】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，真空中xOy平面内存在半径为R的圆形区域，该圆形区域与y轴相切，x轴与其一条直径重合，P点为圆形区域边界上的一点，P点与圆心的连线与x轴正方向成角。已知圆形区域内只存在垂直于xOy平面的匀强磁场或只存在平行于y轴向上的匀强电场，一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从坐标原点O以初速度沿x轴正方向射入该圆形区域，粒子恰好从P点射出，不计粒子的重力。 (1)若圆形区域内只存在垂直于xOy平面的匀强磁场，求匀强磁场磁感应强度B的大小与方向； (2)若圆形区域内只存在平行于-轴向上的匀强电场，求粒子在圆形区域内运动过程中受到电场力的冲量I的大小。 【典例18】（23-24高二下·湖南长沙·期末）在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，如图所示。第一象限内OBAD区域（，）有一水平向左的匀强电场E，第二象限内有一半径为R的垂直纸面的匀强磁场，边界与xy轴相切，与x轴的切点为C，与y轴的切点为P，第四象限内有垂直纸面的匀强磁场，如图（、均未知）。已知一个质量为m、电荷量为的带电粒子（可视为质点）从AB边界任意一点无初速度释放，经电场加速后获得速度v0，进入第二象限，再经磁场偏转后都从同一点C离开第二象限。（E、m、q、R、已知）求： （1）磁感应强度； （2）此粒子从坐标处无初速度释放，依次经过一二三四象限后恰好垂直与x轴再次射入第一象限，求该情况下磁感应强度及粒子在第四象限运动的时间。 角度4：根据粒子的运动确定磁场区域的范围 【典例19】（多选）（2024·贵州·模拟预测）如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时运动方向与MN成角，MN长度为3L，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为 B．粒子从M到N所用的时间为 C．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L D．圆形匀强磁场区域的最小面积为 20．（22-23高二下·安徽六安·期末）如图所示，一个质量为m，带电量为的粒子沿y轴正方向以速度从O点射入第一象限磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为。其中m、q、、B为已知量，粒子的重力不计，试求： （1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）粒子在磁场中运动的时间t； （3）若在x轴下方充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，要使粒子从b射出后能直接回到O点，则？    角度5：带电粒子电性不确定形成的多解问题 21．（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【典例22】如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 角度6：磁场方向不确定形成的多解问题 【典例23】（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【典例24】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 角度7：临界状态不唯一形成的多解问题 【典例25】（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【典例26】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则以下说法正确的是（    ）    A．质子的速度可能为 B．质子的速度可能为 C．质子由A到C的时间可能为 D．质子由A到C的时间可能为 角度8：带电粒子在复合场中的运动 【典例27】（24-25高二上·河南南阳·期末）如图所示，y轴右侧有一半径为的圆形匀强磁场区域，磁场圆与y轴相切于原点O，磁场方向垂直于xOy平面向里，y轴左侧有沿y轴正方向的匀强电场。P是x轴上一点，P与原点O的距离为L，一质量为m、电荷量大小为q的带负电粒子从P点以初速度射出，速度方向与x轴正方向夹角，粒子经过y轴时速度方向与y轴垂直，从磁场离开时速度方向与x轴垂直，不计粒子重力。求： (1)粒子经过y轴的位置与原点O的距离； (2)电场强度和磁感应强度分别为多大； (3)粒子从出发到离开磁场的总时间。 【典例28】（24-25高二下·海南儋州·阶段练习）如图所示，直角坐标系Oxy位于竖直平面内。在第三象限存在沿x轴正方向、大小为E的匀强电场；在第四象限存在垂直纸面向外的、大小为B的匀强磁场，以及沿竖直方向、大小也为E的匀强电场。现有一个可视为质点的质量为m、电荷量为q的带正电小球，从图中M点（0，l）处以初速度沿x轴正方向抛出，小球经过x轴上的N点（2l，0）进入第四象限，小球进入第四象限后恰能做匀速圆周运动。已知第一次进入第三象限时速度方向与y轴正方方向成45°角，不计空气阻力，求： (1)重力加速度g的大小及小球运动到N点时的速度大小； (2)E和B的大小； (3)小球抛出后第四次经过y轴时对应的位置坐标，以及从抛出到运动至该点所花时间。 角度9：带电粒子在组合场中的运动 【典例29】（24-25高二上·广东广州·期末）东方超环（EAST），俗称“人造小太阳”，是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置。高速粒子束（包含带电离子和中性粒子）中的带电离子对实验装置有很大的破坏作用，因此需要利用“偏转系统”将带电离子从粒子束剥离出来。“偏转系统”的原理简图如图所示，混合粒子中的中性粒子继续沿原方向运动，被接收器接收；而带电离子一部分打到下极板被吸收（极板边缘不吸收离子），剩下的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬。已知离子带正电，电荷量为，质量为，两极板间电压为，间距为，极板长度为。均匀分布的高速粒子束宽度为，以平行于极板的初速度全部进入两极板间，离子和中性粒子的重力可忽略不计，不考虑混合粒子间的相互作用，，。 (1)要使离子能直线通过两极板，则需在两极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场，求的大小； (2)若撤去极板间磁场，能进入磁场的带电离子数为，打在下极板离子数为，求； (3)若撤去极板间磁场，边界足够大，取值范围为。从两极板正中央点平行于极板射入的离子经偏转后均落在吞噬板上被吞噬，求落点间的最大距离。 【典例30】（24-25高二上·江苏泰州·期末）如图所示，A为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度大小为，两板间电压为U，间距为d；B区间有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，宽度为l；C为一内半径为r的圆筒，左右端面圆心处各开有一小孔，内部有水平向右的匀强电场E、匀强磁场（大小未知），C左端面紧贴B区间右边界。一带电粒子，以初速度（大小未知）水平射入速度选择器，沿直线运动射入B区间，偏转后从C左端面圆心处射入圆筒C，粒子恰好与筒壁不碰撞，最后从右端面圆心处射出。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求： (1)粒子初速度； (2)粒子的比荷及在B区间运动时间t； (3)圆筒长度s应满足的条件。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$