18.2.1 矩形（精讲）2024-2025学年人教版数学八年级下册

18.2.1 矩形 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】矩形性质的应用 3 【题型2】直角三角形斜边上中线的性质 6 【题型3】矩形的判定 10 【题型4】矩形中的折叠问题 14 【题型5】矩形中的最值问题 17 【题型6】矩形的判定和性质综合 23 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2．矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （2）矩形的性质： ①矩形的对边平行且相等； ②矩形的对角相等且四个角都是直角； ③矩形的对角线互相平分且相等； ④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴． ⑤矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 3．直角三角形斜边上的中线的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 4．矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的四边形是矩形． （1）判定矩形的常见思路 （2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． （3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 【题型1】矩形性质的应用 例1 （2025春•河北区期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，，则大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ； 故选：． ◄ 点拨 ► 1．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． 2．矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 3．利用矩形的对称性进行面积的转化，进而可根据面积的相等关系求解． 【变式1】　（2025•沈阳模拟）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为　　 A．4 B． C．2 D． 【变式2】　（2025春•福清市期中）已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2025春•红桥区期中）在矩形中，对角线，相交于点，，，那么矩形的面积为　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】根据矩形的性质以及，可以得到△是等边三角形、，再根据等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：矩形中，， ， ，， △是等边三角形， ． 故选：． 2．【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，，可得，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， 故选：． 3．【答案】 【分析】由矩形的性质可得，可证△是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，由矩形的面积解答即可． 【解答】解： 四边形是矩形， ， ， ， △是等边三角形 ， ， ， 故选：． 【题型2】直角三角形斜边上中线的性质 例2 如图，在△中，于点，，是△的中线，若，，则的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】判定△是等腰三角形，推出，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到． 【解答】解：于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是△的中线， ． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等． 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质． 【变式4】　（2025春•东莞市期中）如图，在△中，，，点为斜边上的中点，则为　　 A．4 B．5 C．6 D．10 【变式5】　（2025•景德镇模拟）如图，△中，，点为的中点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式6】　（2025春•合肥月考）在△中，，，是边上的中线，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．【答案】 【分析】直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【解答】解：，，点为斜边上的中点， 是斜边的中线， ， 故选：． 5．【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【解答】解：△中，，点为的中点， ， ， ． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到． 【解答】解：在△中， ，， ， 是边上的中线， ， ， 故选：． 【题型3】矩形的判定 例3 （2025•秦淮区校级模拟）已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，，证明四边形形是平行四边形，，而，则，求得，则四边形是矩形，可判断不符合题意；由，，证明四边形形是平行四边形，则，所以，求得，则四边形是矩形，可判断不符合题意；四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，可判断符合题意；由，，得，由，得，则，所以，则四边形是矩形，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，，， 四边形形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 故不符合题意； 如图1，，， 四边形形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故不符合题意； 四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形， 不能保证四边形是矩形， 故符合题意； 如图1，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故不符合题意， 故选：． ◄ 点拨 ► 1．定义法； 2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的三角形是矩形． 【变式7】　（2025春•丹阳市期中）如图，下列条件中，不能判定平行四边形为矩形的是　　 A． B． C． D． 【变式8】　（2025•南安市一模）如图，四边形是平行四边形，是边上一点，点在的延长线上，且，． 求证：四边形是矩形． 【变式9】　（2025春•同安区期中）如图，在平行四边形中，，求证：四边形是矩形． 7．【答案】 【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：、四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形为矩形，故选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， ， 平行四边形是矩形，故选项不符合题意； 、四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形，故选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项符合题意； 故选：． 8．【答案】见解析． 【分析】根据平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在△与△中， ， △△， ，， ， 四边形是矩形． 9．【答案】证明见解析． 【分析】由平行四边形的性质得，则，再证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 【题型4】矩形中的折叠问题 例4 （2024春•沙坪坝区期中）如图，已知矩形，将沿对角线折叠，记点的对应点为，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由折叠的性质可知，故，根据，列方程求． 【解答】解：由折叠的性质，得， 则， ， ， 解得． 故选：． ◄ 点拨 ► 利用折叠前后的图形全等进行线段、角度的转化，结合矩形的边、角和对角线的特征进行计算或证明，常与勾股定理相结合． 【变式10】　（2024秋•吐鲁番市期末）将长方形纸片的两个直角和沿直线、折叠，得到如图，则互为余角的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【变式11】　（2024春•久治县期中）如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠为，点落在边上，若，则　　． 【变式12】　（2024春•临淄区期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在、的位置上，交于点，已知，那么　　度． 10．【答案】 【分析】根据角平分线的定义，邻补角的定义，角的计算逐一判断即可． 【解答】解：、根据题意得，与相等，故选项不符合题意； 、根据题意得，与相等，故选项不符合题意； 、根据题意得，与互补，故选项不符合题意； 、由题意得：得，， ， ， 与互为余角，故选项符合题意； 故选：． 11．【答案】． 【分析】根据四边形是矩形，可得，由翻折可得，进而可以解决问题． 【解答】解：四边形是矩形， ， 由翻折可知：， ， ， ． 故答案为：． 12．【答案】64． 【分析】由矩形的性质可知，可得，由折叠的性质可知，再由邻补角的性质求的度数． 【解答】解：， ， 由折叠的性质得：， ． 故答案为：64． 【题型5】矩形中的最值问题 例5 （2024秋•洪山区期末）如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为　　 A．10 B． C． D． 【答案】 【分析】要求，类似将军饮马模型，但是这里的和都是动点，所以考虑构造全等将将双动点问题转化为单动点问题，在上截取，先证△△，得到，从而得出，当且仅当、、三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【解答】解：如图，在上截取，连接，， 在△和△中， ， △△， ， ，当且仅当、、三点共线时取等， ，且， ， ， 四边形是矩形，， ，， 在△中，， 即， 的最小值为， 故选：． ◄ 点拨 ► 矩形中线段的最值问题往往和三角形、轴对称等知识综合考查，通常是作点（或线段）关于对称轴对称的点（或线段），从而将两条边转化到一个三角形中进行解题． 【变式13】　（2025•朝阳区校级开学）如图，在△中，，，，点是边上一点（不与点、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是　　 A．2 B．2.4 C．3 D．4 【变式14】　（2024秋•城阳区期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为　　 A． B．4 C． D．8 【变式15】　（2025春•江阴市期中）如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 　　 ． 13．【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【解答】解：连接，如图， ，，， 四边形是矩形， ， ，，， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ， ． ． 即的最小值是2.4． 故选：． 14．【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【解答】解：连接， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为， 故选：． 15．【答案】． 【分析】连接，交于，先求出，依题意得，由此可证明△和△全等，进而得，再根据“垂线段最短”得，由此得当点于点重合时，为最大，最大值为线段的长． 【解答】解：连接，交于，如图所示： 四边形是矩形， ，， 在△中，，， 由勾股定理得：， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 直线， 根据“垂线段最短”得：， 当点于点重合时，为最大，最大值为线段的长， 即的最大值为． 故答案为：． 【题型6】矩形的判定和性质综合 例6 （2025春•崇川区校级月考）如图，△中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点作于，若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【解答】（1）证明：△中，，平分， ，， ，， ，， 所以四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ， 所以的长为． ◄ 点拨 ► 进行证明时，可利用矩形对边平行、四个角都是直角、对角线平分且相等构造等腰三角形寻找角之间的等量关系；利用对边相等，对角线相等寻找线段之间的等量关系；根据各个等量关系构造全等三角形进行证明． 【变式16】　（2025春•江都区期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【变式17】　（2025春•通州区期中）如图，在平行四边形中，于点，，的平分线交于，连接． （1）求证：四边形为矩形． （2）若，，求的长． 【变式18】　（2025•宁夏模拟）如图，在等边△中，点是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边△，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求四边形的面积． 16．【答案】（1）证明见解析； （2）4.8． 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定△是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ， ，， ， △是直角三角形， △的面积， ， ． 17．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）平行线和角平分线相结合可得等腰三角形，根据，可得四边形为平行四边形，结合，可得四边形为矩形； （2）先用勾股定理解△求出，于是得到结论． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 又， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为矩形； （2）解：，，， ， ， 在△中，由勾股定理得， ， 四边形为矩形， ． 18．【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； （2）分别求出，，再根据矩形面积计算公式列式计算即可． 【解答】（1）证明：△是等边三角形， ， 点是的中点，是边的中线， ，，， ， △是等边三角形， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：，△是等边三角形， ， 是边的中线， ， 在△中，由勾股定理得：， 又四边形是矩形， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$