19.1 函数（精讲）2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.1 函数 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】判断一个关系是否为函数 3 【题型2】求自变量的取值范围 7 【题型3】函数解析式及函数值 9 【题型4】从函数图象中获取信息 12 1．常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． （1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． （3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． （4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 2．函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： （1）有两个变量． （2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． （3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 3．自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题 有意义． 4．函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． （1）函数解析式是等式． （2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． （3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 5．函数的图象及其画法 （1）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． （2）用描点法画函数图象的一般步骤： ①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值． ②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点． ③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 在求复杂解析式中自变量的取值范围时，一定要保证自变量所在式子都有意义．另外，对于实际问题的函数关系式，求自变量的取值范围时，还要考虑实际情况． 【题型1】判断一个关系是否为函数 例1 （2025春•西城区校级期中）下列图象中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【解答】解：由函数的定义可知，选项中的图象不是的函数． 故选：． ◄ 点拨 ► 判断一个关系是不是函数关系的方法： 第一要看是不是一个变化过程； 第二要看在这个变化过程中是不是有两个变量； 第三要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应． 【变式1】　（2025春•西城区校级期中）下列图象中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2025春•海淀区校级期中）下列曲线中表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2025春•滨海新区期中）下列四个选项中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量” 【解答】解：由函数的定义可知，选项中的图象不是的函数． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【解答】解：由函数的定义可知，选项中的图象表示是的函数． 故选：． 3．【答案】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此进行判断即可． 【解答】解：对于函数，，来说，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数， 对于函数来说，当时，对于的每一个确定的值，都有两个值与其对应，那么不是的函数， 故选：． 【题型2】求自变量的取值范围 例2 （2025•鼓楼区校级一模）函数自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：已知函数， 则， 即该函数自变量的取值范围是， 故选：． ◄ 点拨 ► 函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围是使各部分均有意义的实数的公共部分，一定要满足每一种情况，不要出现遗漏． 【变式4】　（2025•玉溪一模）函数中，自变量的取值范围为　　 A． B． C．且 D． 【变式5】　（2025春•仓山区校级月考）函数中，自变量的取值范围是　　 ． 【变式6】　（2025•龙江县校级一模）函数的自变量取值范围是　　 ． 4．【答案】 【分析】根据分式的分母不等于0得到，根据二次根式的被开方数大于等于0得到，求解即可． 【解答】解：根据分式的分母不等于0得到，根据二次根式的被开方数大于等于0得到， ， 解得：， 故选：． 5． 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 6．【答案】． 【分析】根据题意得到，求出，即可得到函数的自变量的取值范围． 【解答】解：由二次根式及分式有意义的条件可得， 解得：， 故答案为：． 【题型3】函数解析式及函数值 例3 （2024秋•榆阳区期末）玩具厂要加工一批毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表所示： 每小时加工的件数 30 20 18 9 6 加工时间小时 12 18 20 40 60 用表示每小时加工毛绒玩具的件数，用表示加工时间．下面式子中，可以反映与之间关系的式子是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“工作时间工作效率工作总量”，且工作总量不变，即可作答． 【解答】解：加工时间与每小时加工件数乘积都是360，即乘积不变， ， 故选：． ◄ 点拨 ► （1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的． （2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的． （3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可． （4）根据函数值的意义，已知自变量的值，就可以求出相应的函数值；反过来，已知函数值，也可以运用方程思想，求出自变量的值． 【变式7】　（2025•山西模拟）某书店对外租赁图书．收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按0.5元收费，以后每天按0.7元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元和租赁天数之间的关系式为　　 A． B． C． D． 【变式8】　（2025•锡山区二模）已知函数，当时，其对应的函数值为　　 ． 【变式9】　（2025•钱塘区一模）已知二次函数，当时，函数值　　 ． 7．【答案】 【分析】根据“租金头两天的租金两天之后的租金”计算即可． 【解答】解：根据题意，得， 租金（元和租赁天数之间的关系式为． 故选：． 8．【答案】． 【分析】代入，求出值即可，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 【解答】解：由条件可知． 故答案为：． 9．【答案】0． 【分析】把直接代入函数解析式，计算即可求出函数值． 【解答】解：当时，． 故答案为：0． 【题型4】从函数图象中获取信息 例4 （2025春•闽清县期中）小明家、学校、书店在同一条直线上．某日小明骑车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续骑行去学校．如图反映了这个过程中，小明离家的距离与骑行时间之间的对应关系．根据图象，下列判断正确的是　　 A．小明家到学校的路程是 B．小明在书店停留了 C．小明一共行驶了 D．在整个上学的途中小明骑车的最快速度是 【答案】 【分析】选项根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，小明家到学校的路程；选项观察图象即可得小明在书店停留的时间； 选项观察小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，本次上学途中，小明一共行驶的路程，从离家至到达学校一共用的时间； 选项在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，根据路程除以时间即可求出最快的速度． 【解答】解：小明家到学校的路程是1500米，故选项符合题意； 小明在书店停留了（分钟），故选项不符合题意； 本次上学途中，小明一共行驶了（米，故选项不符合题意； 在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（米分），故选项不符合题意； 故选：． ◄ 点拨 ► （1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式． （2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上． （3）利用函数图象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势． 【变式10】　（2025春•天河区校级期中）一天，小明吃完晚饭出去散步，从家出发沿直线匀速走了20分钟到达离家900米的书店，看了10分钟的书后，原路原速返回家，则表示小明离家距离与时间之间关系的图象是　　 A． B． C． D． 【变式11】　（2025春•新华区校级期中）如图是某市某一天的温度随时间变化的图象，下列说法错误的是　　 A．15点时温度最高 B．3点时温度最低 C．最高温度与最低温度的差是 D．21点时的温度是 【变式12】　（2025春•思明区校级期中）如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是　　 A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时到达当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 10．【答案】 【分析】因为在书店里花了10分钟看书，应是一段平行于轴的线段，是10分钟，而是20分钟，依此即可作出判断． 【解答】解：根据题意，从第20分钟到30分钟在书店里看书，离家距离没有变化，是一条平行于轴的线段． 故选：． 11．【答案】 【分析】根据图象，解答时，确定横坐标的意义和单位长度，明确纵坐标的意义和单位长度，解答即可． 【解答】解：由函数图象可知： ．15点时温度最高，说法正确，不符合题意； ．3点时温度最低，说法正确，不符合题意； ．最高温度与最低温度的差是，原说法错误，符合题意； ．21点时的温度是，说法正确，不符合题意； 故选：． 12．【答案】 【分析】根据函数图象的纵坐标，可得气温，根据函数图象的增减性，可得答案． 【解答】解：由函数图象可知： ．早上6时至9时气温逐渐下降，故选项不符合题意； ．当日温度为的时间点有三个，故不符合题意； ．当日气温均在以上，故选项符合题意； ．由函数图象看出，当日气温在以下的时长超过12个小时，故不符合题意； 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $$